L`atome quantique

LectureNotes
L’atome quantique
L’atome d’hydrogène :
- un proton + un électron
- Force entre les deux particules : l’attraction Coulombienne
- Le proton est ≈1800 fois plus lourd que l’électron
⇒ Mettre l’origine à la position du proton, et
considérer mouvement électronique autour du proton
⇒ Symétrie sphérique
⇒ Mécanique quantique en trois dimensions
L’équation de Schrödinger en trois dimensions :
* Comparer avec le cas 1D :
- l’opérateur pour la quantité de mouvement :
d
p̂x = i~
dx
⇒ Le Hamiltonien :
1 2
~2 d 2
Ĥx =
p̂ + V (x) =
+ V (x)
2m x
2m dx2
* L’analogue en 3D :
1
Ĥ =
p̂2x + p̂2y + p̂2z + V (x, y, z)
2m
d
d
d
p̂x = i~
, p̂y = i~
, p̂z = i~
dx
dy
dy
1
LectureNotes
⇒ Ĥ =
~2
2m
✓
d2
d2
d2
+ 2+ 2
2
dx
dy
dz
◆
+ V (x, y, z)
~2 2
=
r + V (~r)
2m
✓ 2
◆
2
2
d
d
d
+ 2 + 2 ; “le Laplacian”
avec r2 =
2
dx
dy
dz
-> L’équation de Schrödinger, indepéndante du temps, en
3D :
~2 2
r (~r) + V (~r) (~r) = E (~r)
2m
Potentiel Coulombien :
- Le potentiel ne dépend que de la distance entre le proton
et l’électron : “le rayon”
e2 1
V (~r) =
4⇡"0 r
⇒ C’est possible de séparer la partie radiale et la partie
angulaire de la fonction d’onde : (x, y, z) = (r, ✓, ')
(r, ✓, ') = R(r) Y (✓, ')
2
LectureNotes
Séparation de variables :
- Le Laplacien en coordonnés sphériques :
✓
◆
1
@
@
1 ~2
r2 = 2
r2
l
r @r
@r
r2
~2
l =

1 @
sin ✓ @✓
✓
où
@
sin ✓
@✓
◆
1
@2
+
sin2 ✓ @'2
- L’équation de Schrödinger :
(substitution (r, ✓, ') ! R(r) Y (✓, ')
et division par R(r) Y (✓, ') )
1 @
R(r) @r
✓
@R(r)
r2
@r
◆
2mr2
(V (r)
~2
E) =
1
~l2 Y (✓, ') = const.
Y (✓, ')
Solutions :
- Il existent des solutions analytiques pour R(r) et pour
Y (✓, ') . Vous allez les voir en L3.
- Les solutions de Y (✓, ') sont “les harmoniques
sphériques”. L’énergie (les valeurs propres du Hamiltonien),
ne dépendent pas des paramètres angulaires ✓, '
- Les énergies sont déterminés par la solution de la fonction
radiale R(r)
1
En = hcR1 2
n
n : nombre quantique principal
3
LectureNotes
Avec la connaissance de R(r) , on peut calculer la
probabilité de présence de l’électron autour le proton
|R(r)|2 .
Il y a un “nuage” de probabilité, avec une symétrie qui
dépend de Y (✓, ') et une distance moyenne du noyau qui
depend de R(r)
Conclusions :
- Il n’y a pas des “orbites” de l’électron comme dans un point
de vue classique. Un atome n’a pas le comportement d’un
système planétaire.
- Cependant, il y a une distribution de charge et la valeur
moyenne du moment angulaire orbital peut être différente
de zero,
- L’énergie est donnée par la partie radiale de la fonction
d’onde et est en accord avec le modèle de Bohr.
- Pour un atome plus grand que H, le modèle de Bohr ne
donne pas grand chose et il n’y a pas de solution analytique
de l’équation de Schrödinger.
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