Trigonométrie I.Définitions On appelle cercle trigonométrique,le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on définit un sens de parcours appelé sens trigonométrique ( ou sens direct) , opposé au sens des aiguilles d'une montre. Remarque : Si on enroule la droite tangente au cercle au point I autour du cercle, à tout point M d'abscisse x de la droite, on obtient un point N du cercle. On dit que N est l'image de x . * Le périmètre du cercle étant 2Π, le point d'abscisse Π a pour image le point obtenu en parcourant un demi-cercle. *le point d'abscisse Π/2 a pour image le point obtenu en parcourant un quart-cercle. Définition : Dans un cercle de centre O et de rayon 1 Le radian est la mesure de l'angle au centre qui intercepte sur ce cercle un arc de longueur 1 Correspondance degré / radian : Les mesures d'un angle en degrés et en radians sont proportionnelles. Il suffit de retenir que Π radians correspond à 180° Exercice : Placer sur le cercle les points d'abscisse : Π/8 Π/12 9Π/2 -9Π/4 4Π/3 -21Π 15Π 23Π/6 -17Π/3 II.Mesure d'un angle orienté 1) Définition : Si B est l'image d'un nombre réel x et A l'image d'un nombre réel y Les mesures en radians de l'angle orienté ( ; ) sont les nombres x-y +2kΠ avec k entier relatif Remarques : * Soit ( ; ) un angle orienté de mesure x , alors l'ensemble des mesures de cet angle est égale à l'ensemble des x + 2kΠ avec k entier relatif *l'angle ( ; ) a une seule mesure comprise entre -Π et Π on l'appelle la mesure principale. 2) Exercices Ex1 : Donner les mesures principales des angles dont les mesures sont : 7Π/6 -13Π/6 -85Π/4 17Π/8 23Π 35Π/3 -13Π Ex2 : Dans le plan rapporté au repère ( O, ⃗i , ⃗j ) Placer les points M,N,P et Q tels que ⃗ ) = Π/4 ( ⃗i , OM et OM = 2 ⃗ ) = - Π/3 ( ⃗i , ON et ON = 1 ⃗ ) = Π/6 ( ⃗i , PO et OP = 3 ⃗ ) = Π/2 ( ⃗j , OQ et OQ = 1 Ex 3 : Soit un carré ABCD tel que ( ⃗ , AD ⃗ ) = Π/2 AB Déterminer en radian, la mesure des angles suivants : ( ⃗ , AD ⃗ ) AC ( ( ⃗ , CB ⃗ ) AO ⃗ , DA ⃗ ) DC ( ( ⃗ , BC ⃗ ) OC ⃗ , DA ⃗ ) CO III Propriétés des angles orientés : u , ⃗v et w Pour tout vecteurs ⃗ ⃗ on a : u , ⃗ u )= 0 [2Π] • ( ⃗ u ,- ⃗ u ) = Π [2Π] • ( ⃗ v , ⃗ u )= -( ⃗ u , ⃗v ) • ( ⃗ u ,- ⃗v )= ( ⃗ u , ⃗v ) • (- ⃗ • ( u ⃗ ,- ⃗v )=Π +( u⃗ , ⃗v ) [2Π] • si k >0 (k u ⃗ ,k ⃗v )= ( u⃗ , ⃗v ) • ( u ⃗ )= ( u⃗ , w ⃗ ) relation de Chasles ⃗ , ⃗v ) + ( ⃗v , w Remarque : Complèter u et ⃗v sont colinéaires alors( ⃗ u , ⃗v )= 0 ou Π si …..... • Si ⃗ Exercices : u , ⃗v )= Π/6 En déduire les angles suivants Ex1 : Soit ( ⃗ (- u ( u ⃗ , ⃗v ) ⃗ , - ⃗v ) v , u (- ⃗ ⃗ ) ⃗v ,- u⃗ ) (-2 u ⃗ , 3 ⃗v ) ( ⃗ , AC ⃗ )= -Π/3 Ex 2 : Soit ABC un triangle rectangle tel que ( AB et A', B' et C' milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB] Trouver les mesures des angles suivants : ⃗ , BA ⃗ ) ⃗ , CB ⃗ ) ⃗ , BA ⃗ ' ) ( BC ( CA ( BA ⃗ ' , CB ⃗ ' ) ⃗'A ) ( CA ( ⃗ A' C , C IV Trigonométrie : Définition : Dans un repère direct ( O, ⃗i , ⃗j ), soit un point M du cercle trigonométrique d'image x , alors il a pour coordonnées (cos x ; sin x) Propriétés : • cos x est compris entre -1 et 1 • sin x est compris entre -1 et 1 • cos²x + sin²x = 1 Définitions: On appelle la fonction cosinus définie sur R cos : x →cos x On appelle la fonction sinus définie sur R sin : x →sin x Remarques: A justifier avec les élèves • La fonction cosinus est paire et a pour période 2Π • La fonction sinus est impaire et a pour période 2Π Formules à retrouver à l'aide du cercle : cos -x = cos x sin -x = - sin x cos (Π -x) = - cos x sin (Π -x) = sin x cos (Π + x) = -cos x sin(Π +x) = - sin x cos (Π/2-x) = sin x sin(Π/2 -x) = - cos x cos(Π/2 +x) = -sin x sin(Π/2 +x) = cos x Travail avec élèves sur ses différents points ci dessus : • Tableau de valeurs • Etude et tracé des 2 fonctions sinus et cosinus , parité, périodicité, …. • Formules à retrouver avec cercle..... • Trouver les valeurs suivantes cos (-Π/2) sin (2 Π/3) cos(5 Π/6) sin( 9 Π/4) cos( 5 Π/3) V) Résolution d'équations : Recherche avec les élèves : Cos x = −1 2 sin x = √3 cos x = 0,2 2 Que peut on conjecturer ? Propriétés : les solutions de l'équation cos x = cos α sont x = α + 2kΠ ou x = - α +2kΠ les solutions de l'équation sin x = sin α sont x = α + 2kΠ ou x =Π - α +2kΠ Exercices : résoudre les équations suivantes : √2 cos x = -1 sin x = cos 5x = 1 2cos x + 1 = 0 cos 2x + cos x = 0 Hyperboles 1er S 19 , 20 p 194 22, 23, 25 31, 32, 35 p 195 44, 49 p 198 63, 64 p 202 2 cos x = cos( Π/7) cos 2x = sin 3x