Homologie cellulaire 1. Degré de l`application antipodale - IMJ-PRG

Homologie cellulaire
1. Degré de l’application antipodale
On note rn la réflexion sur la première coordonnée dans la sphère Sn :
(x0 , . . . , xn ) → (−x0 , . . . , xn ).
— Calculer le degré de rn .
— En déduire que le degré de l’application antipodale sur Sn est (−1)n+1 .
2. Les espaces projectifs
Première partie : On considère d’abord les espaces projectifs complexes Pn (C) = (Cn+1 \
{0})/C∗ . L’inclusion standard S2n+1 ,→ Cn+1 induit une application f : S2n+1 → Pn (C).
1– Construire un homéomorphisme entre B2n ∪f Pn−1 (C) et Pn (C).
2– En déduire une décomposition cellulaire des espaces projectifs complexes.
3– Déterminer les groupes d’homologies (à coefficients dans Z) des espaces projectifs
complexes.
4– Déterminer leurs groupes fondamentaux.
Deuxième partie : On considère maintenant les espaces projectifs réels.
1– Etablir l’analogue des deux premières questions précédentes.
2– Montrer que le morphisme de bord CWi (Pn (R)) → CWi−1 (Pn (R)) est la multiplication par 1 + (−1)i+1 .
3– En déduire les groupes d’homologies (à coefficients dans Z) de Pn (R)).
4– Déterminer leurs groupes fondamentaux.
3. Homologie des produits d’espaces
1– Donner une décomposition cellulaire du produit P2 (R) × P2 (R).
2– Montrer que le Z-module des i-chaînes cellulaires associées est isomorphe à :
X
CWa (P2 (R)) ⊗ CWb (P2 (R)).
a+b=i
3– Montrer qu’avec l’écriture précédente l’opérateur bord s’écrit ∂ ⊗ id + (−1)a id ⊗ ∂.
4– Calculer l’homologie (à coefficients dans Z) de P2 (R) × P2 (R).
4. Prescrire les groupes d’homologie
Soit n > 2 et (Ai )16i6n une suite de groupes abéliens de type fini.
1– Soit k un entier. Montrer qu’il existe une application S1 → S1 de degré k.
2– Montrer qu’il existe une application Sn → Sn de degré k.
3– Montrer qu’il existe un espace topologique connexe Xn,k dont tous les groupes d’homologie Hi (Xn,k , Z) s’annulent sauf pour i = 0 et i = n et tel que pour ce dernier,
Hn (Xn,k ) ' Z/kZ.
4– Montrer qu’il existe un complexe cellulaire X de dimension n tel que, pour tout
1 6 i 6 n, on a Hi (X, Z) ' Ai .
5– Peut-on prendre pour X une variété topologique ?
1
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Topologie différentielle et algébrique des variétés différentielles - M2 2014-2015
5. Calcul des groupes d’homologie d’une 3-variété - tiré de l’examen de 2013-2014
Soit V le complexe cellulaire fini obtenu en identifiant les faces opposées d’un cube par
une translation suivie d’une rotation d’angle π/2.
1– Déterminer le nombre de 0-cellules, 1-cellules, 2-cellules et 3-cellules de V . En déduire
que V est une variété. Indication : on pourra utiliser un critère vu en TD.
2– Montrer que le complexe cellulaire associé à V est de la forme
d
d
d
0 → Z →3 Z3 →2 Z4 →1 Z2 → 0
et déterminer d3 , d2 et d1 .
3– Calculer les groupes d’homologie Hi (V ) pour i = 0, . . . , 3.