CHAPITRE 2 : LES NOMBRES ENTIERS

CHAPITRE 2 : LES NOMBRES ENTIERS
Objectifs :
6.210 [S] Connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l'écriture d'un
nombre entier
6.211 [–] Organiser l'écriture d'un nombre pour le lire plus facilement
6.212 [–] Passer de l'écriture en chiffres à l'écriture en lettres pour un nombre entier et
inversement
6.230 [S] Connaître la signification du vocabulaire : somme, différence, produit, terme facteur
6.231 [S] Calculer mentalement : Connaître les tables d'addition et de multiplication et les résultats
qui s'en déduisent
6.232 [S] Additionner des nombres entiers ou décimaux.
6.233 [S] Soustraire des nombres entiers ou décimaux.
6.234 [S] Multiplier des nombres entiers ou décimaux.
6.240 [–] Connaître et utiliser le vocabulaire : dividende, diviseur, quotient, reste.
6.241 [S] Calculer une division euclidienne et Interpréter son résultat.
6.242 [–] Connaître la notion de multiple et de diviseur
6.243 [S] Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2 ; 5 ; 10 (et 3 ; 4 ; 9).
6.413 [S] Calculer des durées ou des horaires.
I. RAPPELS
a) Écriture des nombres entiers
Règle : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 sont les dix chiffres qui permettent d'écrire
tous les nombres entiers, de la même façon que les lettres de A à Z permettent
d'écrire tous les mots.
Exemple : 1 054 est un nombre de quatre chiffres.
7 est un nombre d'un seul chiffre.
Règle : Pour pouvoir lire les grands nombres entiers facilement, on regroupe les
chiffres par tranches de trois en partant de la droite.
Exemple : 1049658723 s'écrit 1 049 658 723
Carte d'identité de ce nombre :
Écriture en toutes lettres :
un milliard quarante-neuf millions six-cent-cinquante-huit mille sept-cent-vingttrois.
Décomposition :
1 049 658 723 = (1×1 000 000 000) + (4×10 000 000) + (9×1 000 000) + (6×100 000)
+ (5×10 000)
+ (8×1 000) + (7×100) + (2×10) + (3×1)
Nom des chiffres :
7 est le chiffre des centaines, et 4 est le chiffre des dizaines de millions.
Nombre de millions :
Le nombre de millions est 1 049. Le chiffre des millions est 9.
b) Comparaison et rangement
Définition : Comparer deux nombres, c'est trouver le plus grand (ou le plus petit)
ou dire s'ils sont égaux.
Définitions : Ranger des nombres dans l'ordre croissant signifie les ranger du plus
petit au plus grand.
Ranger des nombres dans l'ordre décroissant signifie les ranger du plus
grand au plus petit.
Exemple : Ranger dans l'ordre croissant la liste des nombres suivants :
25 342 ; 253 420 ; 25 243 ; 235 420 ; 25 324.
Solution : 25 243 < 25 324 < 25 342 < 235 420 < 253 420.
c) Repérage sur une demi-droite graduée
Définition :
Une demi-droite graduée est une demi-droite sur laquelle on a reporté
régulièrement une unité de longueur à partir de son origine.
Propriété :
A chaque point de la demi-droite qui correspond à une graduation, on associe un
nombre entier qu'on appelle son abscisse.
Exemples :
•
Avec un pas de 5 :
A
0
5
10 15 20 25 30
L'abscisse du point A est 35.
•
35
40
45
50
Avec un pas de 2 (sans voir l'origine) :
B
40
42
44
46
L'abscisse du point B est 44.
48
II. OPÉRATIONS
a) Addition
Définition :
Les nombres que l'on additionne s'appellent les termes.
Le résultat d'une addition s'appelle la somme.
Exemple : 1 856 + 525 = 2 381
termes
de la
somme
On dit qu'on ajoute 1 856 à 525.
Somme
de 1 856
et 525
Propriété :
Dans une addition, on a le droit de changer les termes de place et de les
regrouper.
Exemple : Calculer astucieusement 46 + 37 + 54 + 63.
46 + 37 + 54 + 63 = (46 + 54) + (37 + 63) = 100 + 100 = 200.
b) Soustraction
Définition :
Les nombres que l'on soustrait s'appellent les termes.
Le résultat d'une soustraction s'appelle la différence.
Exemple :
On dit qu'on enlève 67 à 233,
233 ­ 67 = 166
ou qu'on soustrait 67 à 233,
termes de
la
différence
Différence
de 233 et
67
ou qu'on ôte 67 à 233,
ou qu'on retranche 67 à 233.
c) Multiplication
Définition :
Les nombres que l'on multiplie s'appellent les facteurs.
Le résultat d'une multiplication s'appelle le produit.
Exemple : calculer 83 × 117.
83 x 117 = 9 711
facteurs
du produit
produit de
83 par 117
Propriété :
Dans une multiplication, on a le droit de changer les facteurs de place et de les
regrouper.
Exemple : Calculer astucieusement 4 × 56 × 25.
4 × 56 × 25 = (4 × 25) × 56 = 100 × 56 = 5 600
d) Division euclidienne
Définition : Effectuer la division euclidienne de deux nombres entiers, c'est
trouver le quotient entier et le reste entier.
dividende = diviseur × quotient + reste
Le reste de la division est inférieur au diviseur
Exemple :
dividende
4589
- 435
-
reste
87
diviseur
52
quotient
239
174
65
Dans cette division, on a : 4 589 = (87 × 52) + 65
III.DIVISIBILITÉ
a) Diviseurs et multiples d'un nombre entier
•
Après avoir effectué la division euclidienne de 3 577 par 49, on obtient 3 577
= 49 × 73.
•
Le reste étant nul, on dit que 3 577 est un multiple de 49 (et de 73 aussi !).
•
On dit également que 3 577 est divisible par 49, ou que 49 est un diviseur de
3 577, ou que 49 divise 3 577.
b) Critères de divisibilité
Propriétés :
Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres
est divisible par 4.
Exemples :
1 248 est divisible par 3 car 1 + 2 + 4 + 8 = 15 et 15 est divisible par 3.
1 912 est divisible par 4 car 12 est divisible par 4.
IV.OPÉRATIONS SUR LES DURÉES
Rappel : 1 heure = 60 minutes et 1 minute = 60 secondes
Symboles : heure (h) , minutes (min), secondes (s).
a) Conversions
Exemples :
•
Combien y a-t-il de minutes dans 5 h 27 min ?
5 h = 5 × 60 min = 300 min
5 h 27 min = 300 min + 27 min = 327 min.
•
Combien y a-t-il de secondes dans 2 h 47 min 53 s ?
2 h = 2 × 3 600 s = 7 200 s
47 min = 47 × 60 s = 2 820 s
2 h 47 min 53 s = 7 200 s + 2 820 s + 53 s = 10 073 s.
•
Combien y a-t-il d'heures, minutes et secondes dans 41 000 s ?
On convertit les secondes en minutes et secondes
en posant la division de 41 000 par 60.
On convertit alors les minutes en heures et minutes
en effectuant la division euclidienne de 683 par 60.
6
4
1
0
0
0
5
0
0
2
0
0
2
0
6
0
6
8
3
On a donc 41 000 s  683 min 20 s.
8
3
6
0
8
3
1
1
2
3
On a donc 41 000 s  11 h 23 min 20 s.
b) Addition ou soustraction de durées
Exemple 1 :
Calculer 5 h 23 min 42 s – 4 h 17 min 53
Calculer 2 h 38 min + 3 h 44 min
s
On dispose ainsi les durées :
On dispose ainsi les durées :
Exemple 2 :
22
2
h
38
min
+
3
h
44
min
=
5
h
82
min
–
102
5
h
23
min
42
s
4
h
17
min
53
s
1
h
05
min
49
s
On convertit 82 min en heures et
On ne peut pas soustraire 53 s à 42 s.
minutes :
On remplace alors 23 min 42 s par 22
82 min = 60 min + 22 min
min 102 s.
= 1h + 22 min
Donc :
Alors : 5 h 82 min = 6 h 22 min.
5 h 23 min 42 s – 4 h 17 min 53 s
Donc :
= 1 h 05 min 49 s.
2 h 38 min + 3 h 44 min = 6 h 22 min.