Examen d`optique physique I - Fabry

ESO 1 Optique Physique
H. Benisty
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mardi 19 janvier 2010
Examen d'optique physique
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durée 3h
documents et calculatrices autorisés
I - Fabry-Perot comme détecteur d’angle
Dans le domaine des grandes structures (génie civil, A380, grands bateaux,…) les armatures ne sont
pas parfaitement rigides. On cherche donc dans certains cas à mesurer les flexions en temps réel, qu’il
s’agisse de sécurité ou de mise au point. On se propose ici d’étudier la mise en œuvre d’un
interféromètre de Fabry-Perot comme détecteur d’angle d’une structure par rapport à un point de
référence desdites armatures. Le schéma général est celui de la Figure 1 page 2, dans lequel on
suppose que le FP est parfait, et qu’il donnera une réponse uniquement fonction de l’angle, même si la
zone d’impact du faisceau laser se déplace d’un bord à l’autre, dans une marge raisonnable. Notez que
dans la première partie (§1° « Sensibilité d’un FP à la phase »), on reste générique, et on n’utilise pas
encore les données de la Figure 1,.
On abrège Fabry-Perot en "FP" .
1°) Sensibilité d’un FP à la phase.
On étudie dans cette partie des propriétés de base de la fonction d’Airy en vue de cerner le point de
meilleur sensibilité du futur détecteur.
a) Rappeler la forme analytique de la fonction d’Airy décrivant la transmission globale TFP d’un
FP, en fonction de la réflectivité des miroirs R (supposés identiques et parfaits, R+T=1) et de
la phase ϕ entre deux rayons successifs (phase pour un aller-retour). On pourra exprimer le
résultat à l’aide de m = 4 R /(1 − R )2 .
b) Préciser pour l’instant sans approximation la sensibilité de la transmission à la phase, définie
par s= ∂ TFP / ∂ ϕ
c) Vérifier que cette sensibilité est nulle pour les phases ϕ = 2qπ et ϕ = (2 q + 1)π , q étant
un entier positif (dans le contexte de ce problème q est plutôt grand devant 1, mais ce n’est
pas utile ici). A quelles situations correspondent respectivement ces deux points de sensibilité
nulle ?
d) On se place à partir de maintenant dans le cas T<<1, R proche de 1. Dessiner l’allure de
∂ TFP / ∂ ϕ ainsi que TFP [on ne demande pas une étude de fonction détaillée]. Spécifier
qualitativement les régions de forte sensibilité.
e) Montrer qu’au voisinage de la résonance, TFP s’écrit sous la forme
1
1 + (2 δ ϕ / δ ϕ FP )2
où
est la différence δ ϕ = ϕ − 2qπ . A quoi correspond δ ϕ FP ? on pourra répondre
graphiquement. Donner l’expression de δ ϕ FP en fonction de m ainsi que l’expression de
δϕ
δ ϕ FP en fonction de la finesse F.
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au point TFP = 12 est
proportionnelle à la finesse F du Fabry-Pérot avec un coefficient que l’on précisera. Donner
une interprétation physique de ce résultat.
f) Montrer que la sensibilité
g) Calculer ∂ TFP / ∂ δ ϕ
s1 =
∂ TFP / ∂ ϕ ≡ ∂ TFP / ∂ δ ϕ
pour le cas (2 δ ϕ / δ ϕ FP ) = 0.5 en fonction de s1 , puis faire de
même pour une valeur de votre choix dans l’intervalle (2 δ ϕ / δ ϕ FP ) ∈
[ 0.5 , 1.0 ] .
On admettra après cela que l’inégalité ∂ TFP / ∂ δ ϕ ≥ s1 est satisfaite sur tout l’intervalle
(2 δ ϕ / δ ϕ FP ) ∈ [ 0.5 , 1.0 ] .
C’est l’intervalle qu’on utilisera donc par la suite.
h) Assurez vous que dans cet intervalle, la transmission vérifie TFP ∈ [ 12 , 45 ] .
i) Application numérique : pour des miroirs de réflectivité R=0,9968, que valent la finesse F et
la sensibilité s1 ?
j)
Justifier très brièvement à l’aide de la forme du terme d’interférence que la sensibilité d’une
interférence standard à deux ondes (par exemple à la sortie d’un Michelson) plafonne au
mieux à la valeur so = max( ∂ T / ∂ ϕ ) = 12 , et comparer à la valeur de s1 obtenue ci-dessus.
Figure 1 : schéma du montage d’un FP comme détecteur d’angle.
2°) Utilisation en détection angulaire
On utilise comme source un laser, dont le faisceau a une divergence ∆ θ las et une largeur spectrale
formulée en nombre d’onde ∆ σ las , autour d’une valeur centrale σ o = 1/ λ o . ( λ o étant la longueur
d’onde du laser). Cette largeur spectrale n’est utilisée que dans les toutes dernières questions de ce §2.
Le Fabry-Pérot est formé à l’aide des faces internes de deux lames de verres, séparées par des cales
adéquates, d’épaisseur e. On assimile l’air entre le miroirs au vide (indice de réfraction n=1).
L’angle d’incidence du faisceau sur le FP est noté θ , il fluctue d’un angle θ o non nul , qui sera
typiquement 30° (voir figure 1).
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a) Préciser l’expression de la phase ϕ à utiliser en fonction de σ o , θ et l’épaisseur e du FP (
∆ σ las → 0 ).
On suppose à partir de maintenant qu’il y a une résonance étroite centrée en θ o .
b) Exprimer la largeur angulaire de la résonance du FP, notée ∆ θ FP (largeur totale à mi hauteur
de TFP ) en fonction de F, e θ o et λ o . On supposera que ∆ θ FP < < 1 radian.
c) Justifier à l’aide du comportement de ∂ ϕ / ∂ θ
autour de θ o que la forme de la résonance
angulaire est la même que celle étudiée au §1-f (une Lorentzienne).
Faire un schéma qui montre que la largeur utilisable sur un flanc de la résonance est ∆ θ FP /4
(critères du §1-f et §1-g). On a ainsi défini la « dynamique » du détecteur.
d) Comment doit être ∆ θ las par rapport au domaine proposé ∆ θ FP /4 ?
e) La sensibilité angulaire s’écrit g =
∂T
. Expliciter cette quantité g en fonction de F,e, θ et
∂θ
λ o la sensibilité angulaire g du détecteur. On vérifiera que g ∆ θ FP = 1 . (on pourra entre
autres méthodes écrire g =
∂T
∂T ∂ϕ
=
)
∂θ
∂ϕ ∂θ
f) Le choix de longueur d’onde étant supposé fait, on peut sur le papier maximiser g en
maximisant e . En quoi ∆ θ las limite-t-il ce choix (cf. §d) ?
g) Quel est l’inconvénient pratique de travailler autour de l’angle θ o mathématiquement le plus
favorable pour g ?
h) On se contentera dans la suite de θ o =30°= π / 6 radians. On utilise la finesse F trouvée au §1°
et l’on précise que λ o =1500 nm (faisceau infrarouge sans danger pour l’œil). Déterminer le
rapport sans dimension e / λ o puis l’épaisseur e telle que l’on ait ∆ θ FP = 1 10− 4 radians.
i)
Récapituler quantitativement la performance obtenue en terme de sensibilité g (en radian − 1 )
et de dynamique (en radian).
j) A quel ordre approximatif p travaille la cavité ?
k) Raffiner et donner la valeur exacte de e à utiliser, sans changer trop notablement la
performance.
l) Préciser la largeur spectrale relative de la résonance ∆ σ / σ (A.N.) en vous basant sur son
lien avec l’ordre p et la finesse F.
m) Enoncer un critère raisonnable sur la largeur spectrale relative du laser, ∆ σ las / σ las = 1/ N
pour qu’il permette d’opérer avec une résolution du détecteur de 1% de son domaine
dynamique soit 1/400e de la largeur de résonance. Sera-t-il difficile à satisfaire avec un laser
usuel ?
3°) Immunité à la dilatation
a) Exprimer littéralement la variation de phase ∆ ϕ induite par un changement d’épaisseur ∆ e .
b) Pour quelle valeur littérale de ( ∆ e / e ) l’écart ∆ ϕ atteint-il 2π / F ?
c) Faire l’application numérique pour le jeu de valeurs du §2° de e / λ o (§2°-h), θ o et F .
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d) En déduire par règle de trois la valeur du rapport ( ∆ e / e ) lorsque le changement de phase
induit par ∆ e est égal au domaine dynamique du détecteur (c’est à dire égal au quart de la
résonance complète)
e) Suivant la même approche, quelle est numériquement la variation relative ( ∆ e / e ) pour une
variation de 1% du domaine dynamique ci-dessus (ce qui correspond à une résolution
raisonnable) ?
f) Pensez vous qu’une stabilisation thermique soit nécessaire au vu de ce résultat ? (on rappelle
que le coefficient de dilatation du silicium est de 2.6 10 -6 par degré). Si oui, quelle dynamique
résiduelle de température allez vous pouvoir autoriser une fois le système stabilisé en se
basant sur un coefficient de dilatation comme celui proposé ?
II – Changements d’interfrange avec des créneaux
On considère un ensemble de deux fines fentes dans le plan Oxy : Elles sont de taille a suivant x ,
leur centres sont situées aux abscisses x=-c et x=c. Elles sont très allongées suivant y, dimension
qu’on ignorera donc.
On s’intéresse dans ce qui suit à un faisceau uniforme incident suivant la direction Oz cohérent
incident sur cette fente, d’amplitude constante Ao .
On étudie la distribution d’amplitude A(x’) et d’intensité sur un écran à distance D .
On donne les valeurs numériques des grandeurs suivantes :
λ = 0,600 µm : longueur d’onde du faisceau incident, monochromatique.
c = 160 µm (2c = 320 µm entre les fentes)
a = 5,00 µm
D =2,40 m
On utilisera plus tard (§7° et suivants) une troisième fente, qui sera centrée au point O, et de largeur
b = 40,0 µm
Figure 2 : diffraction par deux fentes
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1°) a) Si l’on se place au point O’ (x’ = 0, z=D) de l’écran, quelle est la taille de la première zone de
Fresnel au niveau du plan des fentes (littéral et A.N.) ?
b) Commenter en comparant à la distance c . Justifier qu’on se trouvera plutôt dans le régime de
diffraction de Fraunhofer.
2°) Dans le régime de Fraunhofer, écrire littéralement à quoi est proportionnelle l’amplitude A(x’)
attendue sur l’écran sous forme d’une intégrale. On introduira la fréquence spatiale transverse du
problème, qu’on notera u .
3°) Les deux ouvertures en c et –c étant toutes les deux de transmission uniforme t=1 , expliciter
l’amplitude résultante. On favorisera l’utilisation des convolutions et Transformées de Fourier
connues.
4°) Expliciter le facteur qui correspond aux franges d’Young, et préciser
(ampl)
(a) l’interfrange correspondant en amplitude, noté ∆ x ' Young , (b) en faire l’A.N. ;
(int)
(c) l’interfrange en intensité, noté ∆ x ' Young . (d) Faire de même l’A.N. ;
5°) Expliciter la position du premier lobe latéral lié à la largeur de la fente a. (Littéral et A.N.)
6°) Représenter schématiquement la figure d’intensité I(x’) correspondante. On pourra représenter
d’abord (au-dessus par exemple) la répartition schématique de l’amplitude.
Figure 3 : diffraction par deux fentes et une
fente centrale atténuée de taille b.
7°) On rajoute au centre une fente de largeur b mais au lieu de la laisser vide, on y loge une lame
semi-transparente (cf Figure 3) de transmission en amplitude tb , et dont on néglige le déphasage (en
pratique on impose le même déphasage à toutes les fentes, et on n’a qu’une couche semi-transparente
très mince ( < < λ ) au niveau de cette fente n°3 de largeur b)..
Donner littéralement la somme des trois termes correspondant aux contributions en amplitude des
trois fentes sur l’écran, toujours dans le régime de Fraunhofer, en fonction de u,a,b,c puis de x’,
λ , a, b, c et D.
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8°) Quelle est la largeur ∆ x ' b entre les deux premiers zéros de la figure de diffraction de la fente de
(int)
largeur b ? Combien de franges espacées de ∆ x ' Young se trouvent dans ∆ x ' b ?
9°) Quand on prend les deux valeurs particulières de tb suivantes, tb = + 2a / b ou tb = − 2a / b ,
quelle simplification obtient-on pour l’amplitude résultante ?
10°) Quelle simplification peut-on proposer pour x ' << ∆ x ' b ? (faire un schéma pour vous
assister).
11°) Montrer que dans la figure de diffraction, pour les franges d’Young toutes proches du centre,
l’interfrange apparent liée à la distribution en intensité, est doublé.
12°) Quelle changement observe-t-on dans la figure d’interférence en intensité (on passera
néanmoins par l’amplitude) entre les deux choix d’amplitude tb = + 2a / b et tb = − 2a / b ? Un
schéma illustrant l’effet produit sera le bienvenu.