Untitled

1/4
C01
17 points, ramenés sur 20 pour la note finale.
Exercice 1 —
Arbre et voile
7 points
Albert est un marin participant à une course à la voile en solitaire. Son bateau
est très rapide, mais fragile en cas de tempête.
Les prévisions météo permettent d’estimer que, durant la course, la probabilité
qu’une tempête survienne est égale à 0, 05.
En cas de tempête, on estime que la probabilité qu’Albert soit vainqueur de la
course est de 0, 02. En revanche, si aucune tempête ne survient, la probabilité
de victoire d’Albert est de 0, 8.
Pour tout événement E, on note E l’événement contraire de E.
On considère les événements :
T : « une tempête survient pendant la course »
V : « Albert est vainqueur de la course ».
1. En utilisant les données de l’énoncé, compléter l’arbre ci-dessous :
0,02
V
0,05
T
0,98
0,8
0,95
V
V
T
0,2
V
2. Quelle est la probabilité de l’événement : « Une tempête survient et Albert
est vainqueur de la course » ?
p(T ∩ V) = 0,05 × 0,02 = 0,001
2/4
3. Montrer que la probabilité qu’Albert remporte la course est égale à 0,761.
p(V) = p(V ∪ T) + p(V ∪ T) = 0,001 + 0,95 × 0,8 = 0,001 + 0,76 = 0,761
4. Calculer la probabilité qu’une tempête soit survenue sachant qu’Albert a gagné la course.
p(V ∩ T) 0,001
pV (T) =
=
= 0,001 3
p(V)
0,761
On donnera le résultat arrondi à 10−4 .
Exercice 2 —
Vacances
10 points
Un sondage a été effectué auprès de vacanciers sur leurs pratiques sportives
pendant leurs congés.
Ce sondage révèle que 45 % des vacanciers fréquentent une salle de sport pendant leurs congés et parmi ceux-ci, 60 % pratiquent la natation.
Parmi les vacanciers qui ne fréquentent pas une salle de sport, 70 % pratiquent
la natation.
On choisit un vacancier au hasard. On considère les événements suivants :
S : « le vacancier choisi fréquente une salle de sport »
N : « le vacancier choisi pratique la natation ».
1. a) Définir par une phrase l’événement S ∩ N.
Le vacancier fréquente une salle de sport et pratique la natation.
b) Calculer la probabilité de l’événement S ∩ N.
On sait que : 45 % des vacanciers fréquentent une salle de sport pendant
leurs congés et parmi ceux-ci, 60 % pratiquent la natation :
donc p(S ∩ N) = p(S) × pS (N) = 0,45 × 0,60 = 0,27
2. Montrer que p(N) = 0, 655.
les vacanciers qui pratiquent la natation se divisent en deux groupes : ceux
qui fréquentent une salle de sport et ceux qui ne fréquentent pas de salle de
sport.
D’où : p(N) = p(N ∩ S) + p(N ∩ S) = 0,27 + p(S) × pS (N)
= 0,27 + 0,55 × 0,7 = 0,27 + 0,385 = 0,655
3/4
3. On interroge successivement et de façon indépendante quatre vacanciers pris
au hasard. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de ces vacanciers
pratiquant la natation pendant leurs congés. Le nombre de vacanciers étant
suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.
a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
Il y a 4 épreuves, la probabilité du succès est 0,655
b) Calculer la probabilité que deux vacanciers exactement pratiquent la natation pendant leurs congés. On arrondira le résultat à 10−4 près.
On calcule p(X = 2) à l’aide de la calculatrice : 0,306 4
4/4