TS 2016 Exercices Correction Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus Première Partie : Prendre un bon départ. 1. Associer des nombres réels à un point image : π Sur un cercle trigonométrique, déterminer les nombres réels qui ont le même point image que le nombre . 6 π Les nombres réels + k × 2π, k ∈ Z 6 2. Déterminer la mesure principale : 55π (a) Un angle orienté a pour mesure − . Quelle est sa mesure principale ? 3 55π π π 55 = 9 × 6 + 1 ⇒ − = −9 × 2π − , − mesure principale dans ] − π; π] 3 3 3 23π (b) Un angle orienté a pour mesure . Quelle est sa mesure principale ? 2 π π 23π = 3 × 2π − , − mesure principale dans ] − π; π] 23 = 6 × 4 − 1 ⇒ 2 2 2 3. Déterminer le sinus, le cosinus d’un nombre réel : Calculer la valeur exacte du cosinus et du sinus de chaque nombre réel (a) 7π 6 (b) 3π 2 (c) − 10π 3 (d) 8π √ π 7π 3 cos( 3π ) = − cos( π ) = 0 cos( ) = − cos( ) = − 7π 3π π π 2 2 6 6 2 (a) (b) =π+ ⇒ =π+ ⇒ sin( 3π ) = − sin( π ) = −1 6 6 2 2 sin( 7π ) = − sin( π ) = − 1 2 2 6 6 2 10π 2π π 1 ( cos(− ) = cos( ) = − cos( ) = − cos(8π) = 1 10π 2π 3 3 3 2 √ (d) 8π = 4 × 2π + 0 ⇒ (c) − = −4π + ⇒ 2π π 3 10π 3 3 sin(8π) = 0 sin(− ) = sin( ) = sin( ) = 3 3 3 2 4. Résoudre une équation trigonométrique : Dans chaque cas, résoudre l’équation dans l’intervalle ] − π; π] √ 1 2 (b) sin x = (c) 1 + sin x = 0 (d) cos x × sin x = 0 (a) cos x = − 2 2 x = 3π + k × 2π x = π + k × 2π 4 3 (a) , k ∈ Z (b) ,k∈Z x = − 3π + k × 2π x = − π + k × 2π 3 4 ( π x= +k×π 3π 2 + k × 2π, k ∈ Z (d) ,k∈Z (c) x = 4 x=k×π 5. Connaître les cosinus et sinus des angles associés : S’aider d’un cercle trigonométrique pour exprimer en fonction de cos x ou sin x π π (b) sin(π + x)= − sin x (c) cos( − x)= sin x (d) sin( + x)= − cos x (a) cos(π − x)= − cos x 2 2 6. Utiliser les formules d’addition : Exprimer en fonction de cos x et sin x √ √ 1 π π 2 3 (cos x − sin x) cos x + sin x (a) cos(x + )= (b) sin(x + )= 4 3 2 2 √2 √ π π 3 2 1 (c) cos(x − )= (d) sin(x − )= cos x + sin x (sin x − cos x) 6 2 2 4 2 1/ 7 TS 2016 Exercices Correction Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus 3 . 4 (a) Placer le point M image du nombre x sur un cercle trigonométrique de rayon 4cm. 7. Utiliser une formule de duplication : x désigne un réel de [0; π] tel que cos x = b 1 M b 1 −1 −1 (b) Conjecturer sur la valeur de cos(2x). Il semble que cos(2x) = 1 8 (c) Démontrer cette conjecture. cos(2x) = cos2 x − sin2 x = cos2 x − (cos2 x − 1) = 2 cos2 x − 1 = 2 × 8. Connaître la définition d’un nombre dérivé : f est une fonction dérivable sur un intervalle I et a ∈ I. 9 9 8 1 −1= − = 16 8 8 8 (a) Par définition qu’appelle-t-on f ′ (a) c’est à dire le nombre dérivé de f en a ? f (a + h) − f (a) Lorsque f ′ (a) existe, ce nombre est la limite du quotient , lorsque h tend vers 0. h (b) C est la courbe représentative de f dans un repère. Interpréter graphiquement le nombre dérivé f ′ (a). Lorsque f ′ (a) existe, la fonction f est dérivable en a, la courbe C admet une tangente au point d’abscisse a, de coordonnées (a; f (a)), cette tangente a pour coefficient directeur f ′ (a). 2/ 7 TS 2016 Exercices Correction Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus Deuxième Partie : Et maintenant. Exercice 1 : sin h 1. Rappeler la limite en 0 de la fonction h 7→ h sin h lim =1 h→0 h sin h 2. Montrer que lim =0 h→+∞ h 1 1 sin h 1 1 Pour h > 0, −1 ≤ sin h < 1 Alors − ≤ ≤ et lim = lim − = 0 h→+∞ h h→+∞ h h h h sin h Le théorème des Gendarmes donne lim =0 h→+∞ h sin(5h) 3. Soit f définie sur R∗ par f (h) = 3h 5 sin(5h) ∗ . Montrer que pour tout x ∈ R , f (x) = × 3 5h sin(5h) 1 sin(5h) 5 sin(5h) Pour tout h 6= 0, f (h) = = × = × 3h 3 h 3 5h . Étudier la limite de f en 0. 5 sin H = 1, Alors par produit lim f (h) = Posons H = 5h, lim H = 0 et lim H→0 H h→0 h→0 3 1 3 Exercice 2 : f est la fonction définie sur [0; π] par f (x) = − cos(2x) + cos x + 2 2 1. Représenter f à l’écran de la calculatrice afin de conjecturer l’existence d’éventuels extremums. 2 Il semble que f admette en π un minimum 0, π un maximum et en 3 1 1 2 3 2. Montrer que, pour tout x ∈ [0; π], f ′ (x) = sin x(2 cos x − 1) 1 pour tout x ∈ [0; π], f ′ (x) = − × 2(− sin(2x)) − sin x = sin(2x) − sin x = 2 sin x cos x − sin x = sin x(2 cos x − 1) 2 3. Étudier le signe de f ′ (x) sur [0; π] et démontrer la conjecture émise. On obtient le tableau de signes et de variations suivant x 0 sin x 0 2 cos x − 1 f ′ (x) 0 π 3 + + + ✒ f 2 3/ 7 0 0 f ( π3 ) + − − ❅ ❅ ❘ ❅ π 0 0 TS 2016 Exercices Correction Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus Exercice 3 : C est un cercle de centre O de rayon 1. \ = Θ avec Θ ∈]0; π[ [CD] est un diamètre de C et A est un point de C tel que AOD et B est le point de C tel que la corde [AB] est perpendiculaire à (CD) en I. 1. Exprimer l’aire S(Θ) du triangle ABC en fonction de sin Θ et cos Θ. AB × CI Base × Hauteur , Alors S(Θ) = , Aire d’un triangle 2 2 CI = CO + OI = 1 + cos Θ et AB = 2 × AI = 2 × sin Θ, (1 + cos Θ) × 2 × sin Θ S(Θ) = = sin Θ(1 + cos Θ) 2 π 2. Déterminer S ′ (Θ) et vérifier que S ′ ( ) = 0 3 S ′ (Θ) = cos Θ(1 + cos Θ) + sin Θ × (− sin Θ) = cos Θ + cos2 Θ − sin2 Θ 2 √ 2 3 1 2 1 3 1 ′ π S( )= + − = + − =0 3 2 2 2 4 4 4 3. En déduire que l’aire du triangle ABC est maximale lorsque celui ci est équilatéral. π π S ′ ( ) = 0, Alors S admet un extremum en , une étude de signe peut montrer que 3 3 cet extremum est un maximum. π \ = , le théorème des angles au centre/angle inscrit donne ACD \ = π, Pour AOD 3 6 \ = 2 × π , et ACB isocèle en C, B symétrique de A par rapport à (CD), Alors ACB 3 Alors ABC équilatéral. C b A b θ O b b I b D Exercice 4 : Résoudre dans [0; 2π] les inéquations √ 1 (c) sin x(2 cos x − 1) ≤ 0 (d) − sin2 x ≥ 0 (a) 1 − 2 sin x > 0 (b) − 2 + 2 cos x < 0 2 π 5π π 7π π 5π π 3π 5π 7π (a) x ∈] ; [ (b) x ∈] ; [ (c) x ∈ [ ; π] ∪ [ ; 2π] x ∈ [0; ] ∪ [ ; ] ∪ [ ; 0] 6 6 4 4 3 3 4 4 4 4 4/ 7 b B C TS 2016 Exercices Correction Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus BAC Métropole, Réunion 2016 : B A E T Limite du terrain Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure cicontre) situé à l’extérieur du segment [AB]. La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment [EM ] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure. Ligne médiane Terrain vu de dessus M x [ Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle AT B le plus grand possible. [ Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM ] pour laquelle l’angle AT B est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle. Dans toute la suite, on note x la longueur ET , qu’on cherche à déterminer. Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50m, EA = 25m et AB = 5, 6m . On note α la mesure en radian de l’angle [ [ [ ET A, β la mesure en radian de l’angle ET B et γ la mesure en radian de l’angle AT B. 1. En utilisant les triangles rectangles ET A et ET B ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan α et tan β en fonction de x. i πh sin x La fonction tangente est définie sur l’intervalle 0 ; par tan x = . 2 cos i x πh . 2. Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l’intervalle 0 ; 2 i h π [ 3. L’angle AT B admet une mesure γ appartenant à l’intervalle 0 ; , résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure. 2 i πh , On admet que, pour tous réels a et b de l’intervalle 0 ; 2 tan a − tan b tan(a − b) = . 1 + tan a × tan b 5, 6x . Montrer que tan γ = 2 x + 765 [ 4. L’angle AT B est maximum lorsque sa mesure γ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle 765 ]0 ; 50] de la fonction f définie par : f (x) = x + . x [ Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle AT B est maximum et déterminer cette valeur de x au [ mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle AT B à 0, 01 radian près. Correction : 1. tan α = EA 25 = ET x tan β = EB 30, 6 = ET x 2. Les fonctions x 7→ sin x et x 7→ cos x sont définies et dérivables sur ]0 ; π2 [. Puisque la fonction cosinus ne s’annule pas sur ]0, π2 [, on en déduit, par quotient, que la fonction x 7→ tan x est dérivable sur ]0 ; π2 [. Pour tout nombre réel x appartenant à ]0 ; π2 [, on a : tan′ (x) = cos x × cos x − sin x × (− cos x) sin2 x + cos2 x 1 = = 2 2 (cos x) cos x cos2 x Puisque tan′ > 0 sur ]0 ; π2 [, alors i πh La fonction tangente est strictement croissante sur 0, 2 5/ 7 TS 2016 Exercices Correction Ch14. Fonctions Sinus et Cosinus [ [ [ 3. On a AT B = ET B − ET A, soit γ = β − α. Par suite : 30, 6 25 − tan α − tan β x x = tan γ = tan(β − α) = 30, 6 25 1 + tan α tan β × 1+ x x = 5, 6 x 765 1+ 2 x = 5, 6x x2 + 765 = 5, 6 x x2 + 765 x2 = x2 5, 6 × 2 x x + 765 tan γ = 5, 6x x2 + 765 [ 4. L’angle AT B est maximal lorsque sa mesure γ l’est. Puisque γ appartient à l’intervalle ]0 ; π2 [ on en déduit, la fonction tangente étant strictement croissante sur ]0 ; π2 [, que γ est maximal si et seulement si tan γ est maximal. 5, 6x S’il existe, le maximum de tan γ est ainsi le maximum, sur ]0, 50], de la fonction g définie par g(x) = 2 . x + 765 Remarque : Pour démontrer que g admet, sur ]0 ; 50], un maximum atteint pour une unique valeur de x, il suffit d’étudier les variations de g, ce qui ne pose aucun problème... On peut aussi procéder de la manière suivante : 1 Puisque la fonction g ne s’annule pas sur l’intervalle ]0 ; 50], on peut définir, sur ]0 ; 50], la fonction . g La fonction g est strictement positive sur ]0 ; 50] et la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[ : les 1 fonctions g et ont donc des sens de variation contraires. g 1 1 Puisque f = 5, 6 × , les fonctions f et ont les mêmes variations : les fonctions f et g ont donc des variations contraires. g g Le maximum de g 1 sur ]0 ; 50] est obtenu en une valeur de x pour laquelle f admet un minimum. La fonction f est dérivable sur ]0, 50] et, pour tout nombre réel x appartenant à ]0 ; 50] : √ √ x2 − 765 x + 765 765 ′ = (x − 765) f (x) = 1 − 2 = 2 x x x √ Puisque x ∈]0 ; 50], alors x + 765 > 0 : √ le signe de f’(x) est donc celui de x − 765 √ √ On en déduit que f est strictement décroissante sur ]0, 765] et strictement croissante √ sur [ 765 ; 50] : f admet donc, sur ]0 ; 50], un minimum atteint pour x = 765. [ L’angle AT B est maximal pour une unique valeur de x, égale à √ 765 m. Une valeur approchée de x, au mètre près, est 28 m [ Une valeur approchée de l’angle AT B, à 0,01 radian près est 0, 1, soit environ 5, 78˚. 1. Sous réserve d’existence 6/ 7