Pacific Journal of Mathematics CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES DES CORPS DE NOMBRES S T ÉPHANE L OUBOUTIN Volume 171 No. 2 December 1995 PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS Vol. 171, No. 2, 1995 CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES DES CORPS DE NOMBRES STEPHANE LOUBOUTIN Soit K/k une extension de corps de nombres telle que le quotient ζκ/ζk de la fonction zeta de Dedekind ζx de K par celle ζk de k soit holomorphe dans tout le plan complexe (ce qui est par exemple le cas lorsque Γextension K/k est galoisienne). Nous developpons un moyen de calcul numerique de la valeur au point 1 de ce quotient ζκ/ζk- Une application essentielle de cette evaluation est le calcul numerique du nombre de classes relatif d'un corps K a multiplication complexe, en choisissant pour k le sous-corps totalement reel maximal de K. En particulier, nous illustrons notre methode sur l'exemple de corps a multiplication complexe, quartiques et non galoisiens. 1. Notations. Soit N un corps de nombres de degre n = rλ + 2r2, oύ rλ designe bien evidemment le nombre de plongements reels et 2r2 le nombre de plongements complexes deux a deux conjugues de N. Nous notons ζw sa fonction zeta de Dedekind, d(N) la valeur absolue de son discriminant, Reg (AT) son regulateur et posons λN = —r^-rr w(N) oύ w(N) est le nombre de racines de Γunite de N , FN(s) = ANΓ (^y Γ(s)r*ζN(s), de sorte que FN(s) a un pole simple en s = 1 de residu \χ. Soit K/k une extension de corps de nombres. Nous ne nous plaςons que dans des situations pour lesquelles la fonction Φκ/k = ζκ/ζk est holomorphe dans tout le plan complexe. Nous voulons un moyen de calcul numerique de la valeur Φ^/^l). Les applications que nous visons etant alors : 455 456 STEPHANE LOUBOUTIN (i). Par le choix k =Q, nous desirons pouvoir calculer le produit du regulateur Reg(ίΓ) par le nombre de classes d'ideaux h(K) de K, de sorte que le calcul de ce regulateur par d'autres methodes nous donnera le nombre de classes de K. Notons par exemple que si k = Q et si K = Q(-ξ/m), m > 2 est un corps pur de degre premier, alors Φκ/k est bien holomorphe dans tout le plan complexe (et ce parce que (ΦR/Q) — ΦN/K est holomorphe puisque N/K est abelienne, oύ N = Q(ζp, tfrn) est la clόture normale de K). (ii). Par le choix k = le sous-corps totalement reel maximal d'un corps a multiplication complexe K, nous desirons pouvoir calculer le nombre de classes relatif h* (K) de K. Nous posons ^κ/k — Fκ/Fk, de sorte que s ι-» Φ #/&(•$) est invariante par s H-> 1 — 5 et holomorphe dans tout le plan complexe si Φκ/k Test. Remarquons que : (a). Dans la situation (i) nous avons Φ*yfc(l) = Xκl (b). Dans la situation (ii) nous avons : \κ = h (K) oύ Qκ = 1 ou 2 est un indice d'unites (voir [Wa, Th. 4.12]). 2. Expression de $K/k(l) comme somme d'une serie absolument convergente et a convergence rapide. II s'agit de generaliser la methode developpee dans [BLW]. Definissons les coefficients φn par : Notons que si K est un corps a multiplication complexe de sous-corps totalement reel maximal k et si χK/k est le caractere quadratique de Γextension quadratique K/k, alors (ζκ/ζk)(s) — L(s,χκ/k), de sorte que nous avons (2) Φn = Nk/Q(I)=n oύ cette sommation porte sur les ideaux entiers I de norme n du corps k. Puisque pour cκ/ki AK/k des reels et pour α, b et c des entiers positifs ou nuls, nous pouvons ecrire **/*(«) = cκ/kA'κ/hτ Q ) ° r (1±1)' r(sy CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES 457 Notons que si K est un corps a multiplication complexe de degre 2N de sous-corps totalement reel maximal k alors de degre ΛΓ, nous avons : e t Notons egalement que nous pourrions de plus imposer a c d'etre nul, ce n e qui permettrait de ne considerer des fonctions H^e) dependant ue de deux indices. Si nous ne le faisons pas, c'est parce qu'il est maladroit de par exemple vouloir imposer c = 0 puisque dans la situation k=Q et K=un corps pur de degre premier p, cela impliquerait de faire intervenir la fonction #((P-i)/2,(p-i)/2,o) au lieu de la plus simple i/(o,o,(p-i)/2) Definissons la transformed de Mellin ^κ/k de 1 Ot-\-iθO rOt-\- {x) = w- y{)χ-sds, a ZlTT Ja-i de sorte que ^—v = CK/k V / TIX \ , X > 0 ΦnH(a,h,c) ^ί \Aκ/kJ oύ nous posons : Puisque ^κ/k(s) — Φχ/fc(l — s) et puisque ^κ/k est (supposee etre) holomorphe dans tout le plan complexe, par deplacement parallele de Γaxe vertical d'integration d'abscisse a jusqu'a Γaxe vertical d'integration d'abscisse 1 — α, puis par utilisation de cette equation fonctionnelle pour revenir sur Γaxe vertical d'integration d'abscisse α, nous en deduisons Γequation fonctionnelle suivante : /s), x > 0. La for mule d'inversion de Mellin implique alors : = / Jo V!K/k{x)xs— = / X J\ Φ*/fc(a:) {x'~ι + χ-s} dx. II en resulte : ° / dx —. X 458 STEPHANE LOUBOUTIN Pour utiliser cette formule (3), il reste encore a calculer les deux integrates suivantes : ά = / JA H(aAc)(x)dx et J(aM(A) ά = / H(aAc)(x)— JA % qui en posant (4) K{aAc)(A) d ^ IlaM(A) + AJ(aXc){A) donnent en tenant compte de (3) : (5) Φκ/*(1) = cκ/kAκ/k £ ^K{aM (^ j Nous n'allons pas montrer en toute generalite que cette serie est absolument convergente, a convergence rapide et parfaitement adaptee au calcul numerique de Φ^/^(l), mais allons uniquement prouver ces resultats dans le cas qui nous interesse le plus : celui oύ K est un corps a multiplication complexe de sous-corps totalement reel maximal k. 3. Calcul numerique du nombre de classes relatif des corps a multiplication complexe. Dans la situation particuliere oύ K est un corps a multiplication complexe de degre 2N et de sous-corps totalement reel maximal k, (5) s'ecrit en tenant compte de (1) : oύ nous avons pose KN = if(O)jv,o) Le changement de variables s >-» 2s — 1 donne ίf(O,Λτ,o)(^) — 2xi7(o,o,7V)(^2)7 et une inversion d'integrales dans (4) donne alors : La proposition suivante assurera Γabsolue convergence et la convergence rapide de la serie (6) : Proposition 1. Pour x > 0 et N > 1, nous avons : (a). 0 < H(Ofi>N)(x) < 2N'ίe-χUN/x CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES (b). 0 < KN(A) < N2Ne~AV\ 459 A>$. Preuυe. Nous ne prouvons que ces majorations, et ce par recurrence sur N. En effet, PO (x) = / Jo t En faisant le changement de variable t H->χN/{N+i)rpN ^ o n recurrence sur N e n jeduit p a r En scindant cette integrale entre 0 et Γinfini en une somme d'une integrale entre 1 et Γinίini et une integrale entre 0 et 1, puis en faisant le changement de variable Tf->1/T dans cette seconde integrale nous obtenons : {f exp {-l/iN+1) (τ+ )) τN + ±\\ TN'2dT + N T + / 1 exp (-a: /< JV+1 Pour N > 0 posons OO / Jrp β ~aTψN Nous avons pour N > 1 : (integration par parties), qui pour N > 1 implique N\μ) < Tl~, ot > 0. Λr >T ) : 460 STEPHANE LOUBOUTIN D'oϋ: et le (a) est prouve. La majoration de Kχ(A) resulte alors de KN(A) < 2/(OfNlo)(A) = 2 / JA f°° = / JA2 =Γ D Proposition 2. Pour JV > 2 eί λ > 1 fixes, \h*{K) ~Kpprox{K)\ tend υers 0 lorsque d(K) tend υers Vinfini, oil h*&ppto^(K) est le reel obtenu en stoppant N/2 la sommation de (6) aux indices n majorέs par Aκ/k{λlog Aκ/k) Preuve. Nous remarquons que \φn\ est d'apres (2) majore par dN(n) oύ dN(n) designe le nombre de factorisations de n en produit de N entiers strictement positifs. Nous remarquons ensuite que = Σ ^^ <((Σ ιΆ ^ U n<x \n<x U \ J Lemme 3. Pour M > 1 entier verifiant M > A(N2/2)N/2 in/Λr'» < £M n ( l o g ( e M ) + { Preuve du Lemme. Une transformation d'Abel donne RM < Σ ^(» n>M n>M 2 ^-^ / n V ' 2^ [ — ) n>M V-^/ -(n/A)2/N ' e {n/A) i Nt log ( nous avons CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES N 461 2 Posons eA = a ^ et remarquons que u h-> f(u) = ί-7 ) 2 N 2 est decroissante sur [A{N /2) / , e ~ (wM)2/N N log (eu) +00[. Nous obtenons : x /»OO e " " logN(«?7)dC/ - (N/2)N / 2 (poser x = AUN^2). N J(M/Λ) / Maintenant, en posant IN(%) — J^ logN(aU)e et u dU, nous avons Io(x) — e F dU Jx < e~x log"{ax) + NIN_λ{x) (pour x > 1) qui conduit par recurrence sur N a la majoration IN{%) ^ (log(αx) + N) e~x pour x > 1 et N > 0. DΌu le Lemme puisque a{M/A)2/n = D Fin cίe /α preuve de la Proposition 2. D'apres (6) et la Proposition 1, en posant A — AK/k (qui tend vers Γinfini lorsque d(K) tend vers Γinfini puisque on a d(K) > (d(k))2), nous obtenons : Qκwκ ίd{K) v \φn\ ( n \ 2Nwκ qui pour M > A(λlog A)N/2 donne d'apres le Lemme 3 : Λ apprαx ^ ^ D Remarque. Notons que si K/Q est abelienne non quadratique de conducteur / et a regulateur de taille petite par rapport au discriminant de K, il est sans interet d'appliquer notre methode puisque Γidentite (5) nous dit qu'il nous faudrait sommer au moins de Γordre de AKjk termes, done de Γordre 462 STEPHANE LOUBOUTIN de f^K^'Q]-1)^6 termes, alors que le calcul du nombre de classes a partir des developpements des fonctions L au point 1 (voir [ScW] et [SeWW]) ne necessite des summations que de Γordre de /2+ e termes, et que son calcul a partir des expressions explicites de sommes finies de ces valeurs au point 1 ne necessite que des Summations de Γordre de / termes. 4. Calcul numerique des nombres de classes relatifs des corps quartiques totalement imaginaires non galoisiens. Nous montrons sur cet exemple que la Proposition 2 est particulierement bien adaptee au calcul des nombres de classes relatifs des corps a multiplication complexe K. En particulier, notre methode conduit a un calcul numerique des nombres de classes de ces corps nettement plus efficient que celui developpe dans [Oka]. Nous venons de voir oύ arreter la sommation de la serie (6) de sorte que la somme finie ainsi definie conduise a une bonne approximation du nombre de classes relatif de K. Nous expliquons maintenant comment determiner une valeur numerique approchee de chacun des termes de la serie (6) et expliquerons finalement sur un exemple comment calculer les valeurs numeriques des coefficients φn (nous renvoyons a [Lou 2], [Lou 3] et [LOO] pour d'autres exemples de tels calculs). Calcul numerique des fonctions integrates apparaissant dans la formule analytique. Nous illustrons sur le cas particulier N = 2 qui nous occupe maintenant une methode generate de calcul des developpements en series entieres des fonctions KN apparaissant a Γidentite (6). On trouvera dans [Lou 3] un algorithme general de leur calcul valable pour tout N >1. Noter une faute d'impression au Lemme de la page 322 de [Lou 3]. II faut y lire Λ2n Proposition 4. Pour A > 0 et avec la convention Σ°k=1 j = 0, nous aυons le developpement suivant (ou 7 = 0.577215664901532 est la constante dΈuler) : π>0 „ / 1 - 4 Preuve. On remarque que 1 n + 2)2 / + 1 \2n + 1 1 + \Λl\iW 2n + 2) f^ k) (n!)2 CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES 463 possede un pole simple en s = 1 de residu Res1(f) — 1, possede un pole simple en s — \ de residu Resi/2(/) = πA, et possede un pole double en chaque s — —n, (n > 0) de residu (log(A) - £(„ + 1)) - ^ i De (7) et par deplacement vers la gauche de Γaxe d'integration, nous en deduisons aisement KN(A) = ^~ Γ l°° f(s)ds = ReSl(/) + Res1/2(/) + £ Res_n(/). Le resultat s'en deduit en remarquant que le produit infini de la fonction Gamma donne : γ(n 4-1) = — 7 + Σk=i | P o u r n ^ 0 Π Calcul des coefficients φn. Puisque n *-+ φn est multiplicative, elle est determinee par ses valeurs sur les puissances des nombres premiers, valeurs que nous donnons maintenant. (i). Si I est inerte dans k/Q et non ramifie dans K/Q, alors 1 l + (-l (ii). Si / est inerte dans fc/Q et ramifie dans K/Q, alors <^fc = 0. 2 (iii). Si / est ramifie en (/) = L dans k/Q, alors φιk = χK/k(L) . (iv). Si Z est totalement decompose en (/) = LL' dans fc/Q et non ramifie dans K/Q, alors i=0 i=0 γ siχ κ / f c (LL') = 464 STEPHANE LOUBOUTIN f (v). Si I est totalement decompose en (I) = LL dans k/Q et ramifie dans K/Q, de sorte que Ton peut supposer L ramifie dans K/k, alors φιk = / Ϋ Nous nous plaςons maintenant dans la situation consideree dans [Lou 4] et [LO], et expliquons comment nous avons calcule les nombres de classes relatifs des corps quartiques a multiplication complexe qui apparaissent dans ces deux articles. Soit done p = 1 (mod 4) premier tel que k — Q(y/p) soit principal. Nous nous interessons maintenant uniquement aux corps quartiques non galoisiens totalement imaginaires K de sous-corps quadratique reel k et de discriminants relatifs premiers dans k. II est aise de voir que ce sont precisement les K(Pjq) — k(y/—aq) oύ aq = (xq + yqy/p)/2 un entier algebrique totalement positif, primaire (e'est a dire congru a un carre modulo l'ideal (4) de k) et de norme q avec q = 1 (mod 4) un nombre premier done totalement decompose dans k. Imposer a un tel aq d'etre primaire est equivalent a demander que l'on ait xq = 1 (mod 4) lorsque xq est impair, et xq = yq + 6 (mod 8) lorsque xq est pair. Notons que K(Piq) est de 2 discriminant d(if( M )) =p q. Si L = (λ) est un ideal premier principal de k, oύ λ est choisi totalement positif (ce qui est toujours possible), d'apres les lois de reciprocite (voir [Hec]), nous avons : XK/k(L) = [=£] = [j^\ Puisque (aq) est un ideal premier totalement decompose de k de norme q done premiere et congrue a 1 modulo 4, les resultats de [Lou 1] (plus precisement, [Lou 1, Th. 5(b)]) dont la validite reste acquise dans ce cadre donnent : __ (Trk/Q(aq)Trk/Q(aqZ') q oύ Z' designe le conjugue dans k d'un entier algebrique Z de k, oύ Trk/Q(Z) = Z + Z' designe la trace de z, et oύ ( fq) designe le symbole de Legendre. DΌύ: (vi). χK/k(L) — (l/q) lorsque L = (I) est premier inerte dans k. ( v i i ) Xκ/k(L) = (2xq(xxxq ~pyxyq)/q) = {2(xxyq-yxxq)/q) ( c a r ^ = py%+ iq et (p/q) — +1 et (yq/q) — +1) lorsque L = (λ) avec / = λλ' premier non CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES inerte dans k et avec λ — (xχ+y\\/rd)/2 (9) nous avons alors : 465 totalement positif. De plus, d'apres Nous avons alors les formules completement explicites suivantes : (viii). Si / φ p, q est inerte dans k, alors φ[k = 1+ ^~ 1 ί-J , (ix). Si / φ p, q est totalement decompose en (7) = LL' dans k et si L — (λ) oύ λ = (x\ + y\yfp)l2 avec xλ > 1 et yx > 1 tels que x\ — py\ = 4/ alors (x). SiZ = ς f (car χκ/k(Q ) ) = (4xqyq/q) = (xg/?) puisque Q ; = (λ) avec λ = )/) (xi). Si Z = p , alors 0pfc (car χ K A ( P ) = [-αg/(v5)] - [-4αff/(Λ/5)] - [ - 2 ^ / ( ^ 1 - (~2xq/p) = (2xq/p) puisque —4α9 = - 2 x 9 — 2yqλ/p = 2x 9 (mod P ) . On peut de plus montrer que (2xq/p) — —(xq/q)). Nous donnons au tableau suivant les nombres de classes relatifs de tous les K(p^ possibles tels que 5 < p < q < 229 (noter que 229 est le plus petit nombre premier p ~ 1 (mod 4) tel que le corps quadratique reel Q(ΛJP) ne soit pas principal). Notons que Γon peut montrer (voir [LO]) que /ι*(if( p(? )) — h*(K(q^p)). Nous avons utilise cette relation comme moyen de verification de la justesse de Γimplementation de notre methode, mais limitons evidemment notre tableau de valeurs de ces nombres de classes relatifs aux couples (p, q) tels que p < q. 466 (5,41) (5,61) (5,109) (5,149) (13,17) (13,29) (13,113) (13,157) (13,181) (17,89) (17,101) (17,137) (29,53) (29,149) (29,173) (37,41) (37,53) (37,73) (37,101) (37,137) STEPHANE LOUBOUTIN h*(K(pΛ)) 1 1 1 1 1 1 3 1 1 7 3 1 1 5 3 3 3 7 3 5 (p> q) (37,181) (41,73) (41,113) (53,89) (53,97) (53,113) (53,197) (61,73) (61,97) (61,137) (61,197) (73,97) (73,149) (73,181) (89,97) (89,109) (89,157) (97,109) (97,193) (101,137) h*(K(p,q)) 7 11 13 5 5 5 5 3 11 7 5 1 9 17 3 11 9 15 7 9 (p,q) (101,181) (101,193) (101,197) (109,113) (109,173) (109,193) (113,157) (113,173) (137,193) (137,197) (149,173) (157,173) (157,193) (157,197) (181,193) (181,197) h*(K{pΛ)) 9 11 5 11 7 5 11 7 29 15 7 7 7 9 29 11 Nous concluons cet article en donnant, pour k = Q(yjp) fixe, la distribution des nombres de classes relatifs des 1500 premieres extensions quadratiques de k du type precedent. Dans ce tableau, Q designent le nombre de nombres de classes relatifs divisibles par I (premier) et S designe la somme de ces nombres de classes relatifs. Q(VP) Q(Λ/5) Q(Λ/Ϊ3) Q(Vi7) Q(V29) Q(Vπ) Q(Λ/41) c3 581 606 594 599 614 595 c5 339 328 360 344 337 368 c7 263 253 209 258 232 236 Cn Cl3 140 143 139 136 142 135 131 114 115 128 157 133 cn 115 99 94 93 99 101 (/max S 129001 129061 127649 128941 129097 129769 45608 87654 133836 117444 155192 223394 Notons que pour les 1500 premiers corps quadrat iques imaginaires de discriminant —q=l (mod 4) premier nous avons les distributions suivantes de nombres de classes: CALCUL DU NOMBRE DE CLASSES 590 c5 339 c7 238 Cll Cl3 Cn ^max 133 127 94 27367 467 s 81624 II est interessant de relier ces resultats numeriques aux heuristiques de CohenLenstra-Martinet ainsi qu'aux resultats de B.A. Datskovsky. References [BLW] [CM] [D] [Hec] [Lou 1] P. Barrucand, J. Loxton and H.C. 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Received November 17, 1992 and revised June 2, 1993. UNIVERSITE DE CAEN, U.F.R. SCIENCES ESPLANADE DE LA PAIX 14032 CAEN CEDEX, FRANCE E-mail address: [email protected] PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS Founded by E. F. Beckenbach (1906-1982) and F. Wolf (1904-1989) EDITORS Sun-Yung Alice Chang (Managing Editor) University of California Los Angeles, CA 90095-1555 [email protected] F. Michael Christ University of California Los Angeles, CA 90095-1555 [email protected] Robert Finn Stanford University Stanford, CA 94305 [email protected] Martin Scharlemann University of California Santa Barbara, CA 93106 [email protected] Thomas Enright University of California San Diego, La Jolla, CA 92093 tenright@ucsd .edu Vaughan F. R. Jones University of California Berkeley, CA 94720 [email protected] Gang Tian Courant Institute New York University New York, NY 10012-1100 [email protected] Nicholas Ercolani University of Arizona Tucson, AZ 85721 [email protected] Steven Kerckhoff Stanford University Stanford, CA 94305 [email protected] V. S. Varadarajan University of California Los Angeles, CA 90095-1555 [email protected] SUPPORTING INSTITUTIONS CALIFORNIA INSTITUTE OF TECHNOLOGY NEW MEXICO STATE UNIVERSITY OREGON STATE UNIVERSITY STANFORD UNIVERSITY UNIVERSITY OF ARIZONA UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA UNIVERSITY OF CALIFORNIA UNIVERSITY OF HAWAII UNIVERSITY OF MONTANA UNIVERSITY OF NEVADA, RENO UNIVERSITY OF OREGON UNIVERSITY OF SOUTHERN CALIFORNIA UNIVERSITY OF UTAH UNIVERSITY OF WASHINGTON WASHINGTON STATE UNIVERSITY The supporting Institutions listed above contribute to the cost of publication of this Journal, but they are not owners or publishers and have no responsibility for its contents or policies. 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H ERB Uniform algebras generated by holomorphic and pluriharmonic functions on strictly pseudoconvex domains A LEXANDER I ZZO Quantum Weyl algebras and deformations of U (g) NAIHUAN J ING and JAMES Z HANG Calcul du nombre de classes des corps de nombres S TÉPHANE L OUBOUTIN On geometric properties of harmonic Lip1 -capacity P ERTTI M ATTILA and P. V. PARAMONOV Reproducing kernels and composition series for spaces of vector-valued holomorphic functions B ENT Ø RSTED and G ENKAI Z HANG Iterated loop modules and a filtration for vertex representation of toroidal Lie algebras S. E SWARA R AO The intrinsic mountain pass M ARTIN S CHECHTER A Frobenius problem on the knot space RON G. WANG On complete metrics of nonnegative curvature on 2-plane bundles DAVID YANG Correction to: “Free Banach-Lie algebras, couniversal Banach-Lie groups, and more” V LADIMIR G. P ESTOV Correction to: “Asymptotic radial symmetry for solutions of 1u + eu = 0 in a punctured disc” K AI S ENG (K AISING ) C HOU (T SO ) and T OM YAU -H ENG WAN 297 309 343 353 373 389 409 429 437 455 469 493 511 529 545 569 585 589 0030-8730(1995)171:2;1-G