Pourcentages

Pourcentages
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Première ES / L
Pourcentage d’une quantité
Définition :
Soit Q1 et Q2 deux quantités de même nature (exprimées dans la même unité).
Q
t
« Q2 est égale à t% de Q1 » signifie que Q2 =
× Q1 , ou encore que t= 2 ×100.
100
Q1
Remarques : • Dans la phrase « t pour-cent de Q1 », le mot « pour » se traduit par une division ( t d iv i sé p ar 1 0 0)
et le mot « de » par une multiplication (…× Q1 ).
• « t % » tout seul ne signifie rien. Pour qu’un pourcentage ait un sens, il faut un ensemble de référence.
• Pour ne pas se tromper dans les calculs, on peut utiliser un tableau de proportionnalité avec la règle
des « produits en croix ».
Q2 (quantité partielle)
t
Q1 (quantité totale)
100
2
Pourcentage d’évolution – Variation en pourcentage
Définition :
Une quantité évolue d’une valeur initiale à une valeur finale.
ValeurEfinale−ValeurEinitiale
• Le taux d’évolution de la quantité est égal à
.
ValeurEinitiale
ValeurEfinale−ValeurEinitiale
• Le pourcentage d’évolution de la quantité est égal à
×100.
ValeurEinitiale
ValeurEinitiale−ValeurEfinale
• Le taux d’évolution réciproque est égal à
.
ValeurEfinale
ValeurEinitiale−ValeurEfinale
• Le pourcentage d’évolution réciproque est égal à
×100.
ValeurEfinale
Propriétés :
t 
.
100


t 
• Diminuer une quantité de t % revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur 1−
 100 .
• Augmenter une quantité de t % revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur 1+
Justification : t=
Vfinale −Vinitiale
t
t
×100, donc Vfinale = Vinitiale ×
+ Vinitiale =Vinitiale ×( 1+
).
Vinitiale
100
100
×CM
Propriété :
Deux évolutions réciproques ont des coefficients multiplicateurs inverses l’un de l’autre.
multiplier sa valeur initiale par 1+

V1
V2
V2
×
×CM2
×CM1
Théorème : Evolutions successives
Soit t1 et t2 deux nombres positifs ou négatifs.
Faire évoluer une quantité de t1 % puis de t2 % revient à
V1
1
CM
V3
t1  
t
× 1+ 2 .
100  
100 
CM=CM1×CM2
Remarques : • On peut généraliser avec k coefficients multiplicateurs CM1×CM2×CM3×…×CMk .
• Dans une succession d’évolutions, les taux ne s’ajoutent pas.
3
Indices
L’indice à la date tk avec pour base 100 à la date t0 est Ik/0=
Qt
×100,
Qt
k
0
où Qt et Qt sont les quantités aux dates tk et t0.
k
0
date
quantité
indice
t0
Qt
100
0
tk
Qt
Ik/0
k
Propriété :
Le taux d’évolution d’une quantité entre deux dates est le taux d’évolution de l’indice quelque soit la base choisie.