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Dut Génie Thermique et énergie
E.N.S.E.T Rabat
1) Fonctions
Fonctions HYPERBOLIQUES :
Définition et Propriétés:
Propriétés:
On définit les fonctions cosinus hyperbolique et sinus
hyperbolique sur IR par :
ch( x) =
e x + e− x
2
Exercice 1 :
Montrer que :
1) ( ∀ x ∈ IR )
2) ( ∀ x ∈ IR )
3) ( ∀ x ∈ IR )
4) ( ∀ x ∈ IR )
et
sh( x) =
e x − e− x
2
4) Mq :
( ∀ x ∈ [1, +∞ [ ) A rgch ( x ) = Ln ( x +
x2 −1
)
3) Fonction ARGSINUS HYPERBOLIQUE :
Définition et Propriétés:
Propriétés:
Exercice 3 :
ch ( − x ) = ch ( x )
( ch est paire )
sh ( − x ) = − sh ( x ) ( sh est impaire )
( ch ( x ) ) ' = sh ( x ) et ( sh ( x ) ) ' = ch ( x )
 ch 2 ( x ) − sh 2 ( x ) = 1
 2
2
 ch ( x ) + sh ( x ) = ch (2 x )
 sh (2 x ) = 2 sh ( x ) ch ( x )

5) Constatons une certaine ressemblance entre les
propriétés des fcts trigonométriques et fcts hyperboliques
A titre d’ exemple vérifier que : ( ∀ x ∈ IR ) ( ∀ y ∈ IR )
1) Montrer que la fct sh est une bijection de IR vers
IR ( On notera sa fonction réciproque par A r g s h )
2) Représenter graphiqument la fonction A r g s h .
1
3) Mq : ( ∀ x ∈ IR )
( Argsh ( x ) ) ' = 2
x +1
4) Mq :
( ∀ x ∈ IR )
(
A rgsh ( x ) = Ln x + 1 + x 2
--------------------------------------------------------------------
ch ( x + y ) = ch ( x ) ch ( y ) + sh ( x ) sh ( y )
Cette formule ressemble à la formule trigonometrique :
cos( x + y ) = cos( x ) cos( y ) − sin( x ) sin( y )
4) Fonction Tangente hyperbolique
hyperbolique et Fonction ARGTH :
Définition et Propriétés:
Propriétés:
On définit la fonction tangente hyperbolique sur IR
par :
sh( x)
e x − e− x
th( x) =
=
e x + e− x
ch( x)
Pour en savoir plus écrire en fct de ch(x) et sh(x) les
expressions de ch(x+y) , ch(x-y) , sh(x+y) et sh(x-y)
Exercice 4 :
Montrer que :
Cette analogie résulte des définitions de ch, sh et du
ix
ix
e
+ e−ix
e
− e− ix
et sin( x) =
fait que: cos( x) =
2
2i
1) ( ∀ x ∈ IR )
5)Etudier les variations et représenter les courbes des
deux fonctions ch et sh .
2) Fonction ARGCOSINUS HYPERBOLIQUE :
Définition et Propriétés:
Propriétés:
Exercice 2 :
On considère la fonction f définie sur [ 0, +∞[ par :
)
2)
th ( − x ) = − th ( x ) ( th est impaire)
lim th ( x ) = 1
x →+∞
et
lim th ( x ) = − 1
x → −∞
1
= 1 − th 2 ( x )
ch ( x )
4) Montrer que la fct th est une bijection de IR vers
]−1,1[ ( On notera sa fct réciproque par A r g t h )
5) Représenter graphiqument la fonction A r g t h .
1
6) Mq : ( ∀ x ∈ ]− 1,1[ )
( Argth ( x ) ) ' =
1 − x2
1
1+ x 
7) Mq : ( ∀ x ∈ ]− 1,1[ ) Argth ( x ) = Ln 

2
1− x 
3) ( ∀ x ∈ IR )
( th ( x ) ) ' =
2
f ( x) = ch( x) (ie : restriction de ch à l’intervalle cité)
1) Montrer que f admet une fonction réciproque définie
de [1, +∞[ vers [ 0, +∞[ ( On notera f −1 par A r g c h )
2) Construire la courbe représentative de A r g c h .
1
3) Mq : ( ∀ x ∈ ]1, +∞ [ )
( A rgch ( x ) ) ' = 2
x −1
L’histoire des fonctions trigonometriques est très
ancienne alors que celle des fonctions hyperboliques est
récente. Pour en savoir plus chercher dans les livres
d’histoire des mathématiques ou sur internet …