Synthèse

S’entraîner
Activités mentales
1
Déterminer les nombres premiers parmi les en-
tiers suivants : 39, 47, 51, 67, 77, 83, 91.
2
Citer tous les nombres premiers compris entre 30
Généralité sur les nombres premiers
13
MÉTHODE 1 p. 55
Sans calculatrice, à l’aide de divisions successives et du
critère d’arrêt, déterminer si les entiers suivants sont
premiers ou non.
et 60.
3
97 ; 117 ; 271 ; 323 ; 401 ; 527 ; 719
Soit a et b deux entiers naturels inférieurs ou
égaux à 20. Le produit ab est divisible par 5. Quelles
sont les valeurs possibles pour a et b ?
4
Soit p un nombre premier et n en entier naturel.
Montrer que si p divise n2 , alors p2 divise n2 .
5
Soit a un entier naturel. 13 divise a5 .
Montrer que 134 divise
6
a5
13
.
Décomposer mentalement les nombres suivants
en produits de facteurs premiers : 30, 40, 64, 70, 120,
800, 2 000, 60 000.
14
Montrer que 271 est premier. On expliquera clai-
rement la méthode utilisée.
15
Donner la liste des nombres premiers inférieurs
à 50. Les nombres 577 et 689 sont-ils premiers ?
16
p est premier et p > 5.
1) Démontrer que p2 − 1 est divisible par 3.
2) Démontrer que p2 − 1 est divisible par 8.
3) En déduire que p2 − 1 est divisible par 24.
17
Soit p soit un nombre premier tel que p > 3.
1) Quels sont les restes possibles dans la division de p
par 12 ?
2) Prouver que p2 + 11 est divisible par 12.
18
Démontrer que pour tout n entier (n > 1), 30n + 7
n’est jamais la somme de deux nombres premiers.
7
On considère le nombre 6! (factoriel 6) défini par :
19
Soit le nombre N = 2n2 + n − 10 avec n ∈ N.
6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6.
1) Factoriser N.
Décomposer n en produit de facteurs premiers.
2) Pour quelles valeurs de n, le nombre N est-il
premier ?
8
Déterminer la décomposition en facteurs premiers
de : 292 − 4 et 852 − 16.
9
Déterminer le nombre de diviseurs de 48.
10
Déterminer le nombre de diviseurs de 60.
11
En optimisant la décomposition en produit de fac-
teurs premiers, déterminer les entiers naturels, compris
entre 2 et 50, qui possèdent le plus de diviseurs.
12
En optimisant la décomposition en produit de fac-
teurs premiers : déterminer les entiers naturels, compris
entre 2 et 100, qui possèdent le plus de diviseurs.
20
Vrai ou faux ?
Soit le nombre N = 2n2 + 7n + 6 avec n ∈ N.
La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ?
Justifier.
« Il existe une valeur de n telle que N soit premier. »
21
On considère un entier n tel que n2 = 17p + 1, où
p est premier.
1) Écrire 17p comme le produit de deux facteurs.
2) Citer le théorème de Gauss appliqué aux nombres
premiers.
3) En déduire n, puis p.
22
On considère un entier n tel que n2 = 29p + 1, où
p est premier.
1) Écrire 29p comme le produit de deux facteurs en
fonction de n.
62 Chapitre AR3. Les nombres premiers
S’entraîner
2) Citer le théorème de Gauss appliqué aux nombres
premiers.
3) En déduire n, puis p.
23
Est-il possible de trouver un nombre premier p tel
que p + 1 000 et p + 2 000 soient aussi premiers ?
28
Déterminer PGCD( a ; b ) à l’aide d’une décompo-
sition en facteurs premiers, puis à l’aide de l’algorithme
d’Euclide des couples ( a ; b ) suivants :
1) a = 1 188 et b = 1 485
2) a = 3 780 et b = 3 528
29
1) Déterminer le PGCD de 428 904 et 306 360 :
Aide : On pourra raisonner modulo 3, c’est-à-dire que
a) à l’aide de l’algorithme d’Euclide ;
l’on analysera successivement les cas p ≡ 0, p ≡ 1 et
b) à l’aide de la décomposition en facteurs premiers
p ≡ 2 modulo 3.
24
Nombres de Mersenne
On appelle nombres de Mersenne, les nombres Mn de
la forme : Mn = 2n − 1, avec n ∈ N*.
1) Calculer les six premiers nombres de Mersenne.
Quels sont ceux qui sont des nombres premiers ?
2) Soit n un entier naturel non nul et a un entier.
Montrer la factorisation standard :
an − 1 = ( a − 1)( an−1 + an−2 + · · · + a + 1).
3) En déduire que, si d est un diviseur de n, Mn est
divisible par 2d − 1.
4) Montrer que, si Mn est premier, alors n est premier.
La réciproque est-elle vraie ? (On pourra calculer
de 428 904 et 306 360.
2) Quelle est la méthode la plus efficace ? Pourquoi ?
30
MÉTHODE 4 p. 60
Décomposer 792 en produit de facteurs premiers. Quel
est le nombre de diviseurs de 792 ? À l’aide d’un tableau
ou d’un arbre déterminer tous les diviseurs de 792.
31
Décomposer 8 316 en produit de facteurs pre-
miers. Quel est le nombre de diviseur de 8 316 ?
À l’aide d’un tableau ou d’un arbre déterminer tous les
diviseurs de 8 316.
32
Trouver un nombre de trois chiffres qui soit un
carré parfait divisible par 56.
33
1) Décomposer 2 016 en produit de facteurs premiers.
M11 .)
5) Soit a et n deux entiers tels que : a > 2 et n > 2.
Montrer que si an − 1 est premier, alors a = 2 et
n est premier.
2) Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus
petite valeur de l’entier naturel k pour laquelle k2 est
un multiple de 2 016.
34
Décomposition. Nombre de diviseurs
Trouver tous les diviseurs de 84, puis résoudre
dans N l’équation : x ( x + 1)(2x + 1) = 84.
35
Le produit de deux entiers naturels a et b (a < b)
est 11 340. On note d leur PGCD.
25
MÉTHODE 2 p. 58
Décomposer 960 en produit de facteurs premiers. Quel
est le nombre de diviseurs de 960 ?
26
Décomposer en produit de facteurs premiers
221 122. Quel est le nombre de diviseurs de 221 122 ?
27
1) a) Pourquoi d2 divise-t-il 11 340 ?
b) Pourquoi d = 2α × 3β ,
avec 0 6 α 6 1 et 0 6 β 6 2 ?
2) On sait de plus que a et b ont six diviseurs communs
et a est un multiple de 5.
a) Démontrer que d = 18.
b) En déduire a et b.
MÉTHODE 3 p. 59
1) Déterminer le PGCD de 2 650 et 1 272 :
36
MÉTHODE 5 p. 61
α et β sont deux entiers naturels et n = 2α 3β .
a) à l’aide de l’algorithme d’Euclide ;
Le nombre de diviseurs de n2 est le triple du nombre de
b) à l’aide de la décomposition en produit de fac-
diviseurs de n.
teurs premiers de 2 650 et 1 272.
2) Quelle est la méthode la plus efficace ? Pourquoi ?
1) Prouver que (α − 1)( β − 1) = 3.
2) En déduire n.
Chapitre AR3. Les nombres premiers 63
S’entraîner
37
Un nombre n s’écrit 2α 3β où α et β sont deux en-
tiers naturels. Le nombre de diviseurs de 12n est le
double du nombre de diviseurs de n.
1) Montrer que l’on a : β(α − 1) = 4.
2) En déduire les trois valeurs possibles pour n.
38
Un entier n a 5 diviseurs et n − 16 est le produit
de deux nombres premiers.
1) Prouver que n = p4 , avec p premier.
2) Écrire n − 16 sous forme d’un produit de trois facteurs dépendant de p.
3) En déduire la valeur de n.
39
Un détaillant de matériel audiovisuel effectue
trois remises successives sur un article qui coûtait 300 e
et qu’il vend 222,87 e.
Quels sont les pourcentages (nombres entiers) des trois
remises ?
40
Les zéros de 1 000 !
L’exercice a pour but de déterminer par combien de zéros se termine le nombre 1 000 ! (factorielle mille et non
« mille points d’exclamation »)
On rappelle que : 1 000! = 1 × 2 × 3 × · · · × 1 000.
1) Montrer qu’il existe des entiers p et q (p > 1 et q > 1)
et un entier N premier avec 10 tels que :
1 000! = 2 p × 5q × N.
2) On justifiera clairement les questions suivantes :
a) Combien y a-t-il de nombres inférieurs ou égaux
b) Combien y a-t-il de nombres inférieurs ou égaux
à 1 000 divisibles par 52 ?
c) Combien y a-t-il de nombres inférieurs ou égaux
à 1 000 divisibles par
?
d) Combien y a-t-il de nombres inférieurs ou égaux
à 1 000 divisibles par 54 ?
3) Établir que p > q et que le nombre cherché est q.
42
Théorème d’Euclide
On appelle nombre parfait un nombre dont la somme
1) Euclide donne la règle suivante pour trouver des
nombres parfaits :
« Si un nombre a s’écrit 2n (2n+1 − 1) et si 2n+1 − 1 est
premier, alors a est parfait ».
Exemples : Trouver les quatre premiers nombres
2) Démonstration. On pose a = 2n (2n+1 − 1) et supposons que 2n+1 − 1 est premier.
teurs premiers ?
Soit p un nombre premier donné. On se propose d’étudier l’existence de couples ( x; y) d’entiers naturels strictement positifs vérifiant l’équation :
(E)
( x; y) est solution de l’équation (E). Le but des questions suivantes est de prouver que x et y sont premiers entre eux.
a) Montrer que x et y sont de parités différentes.
b) Montrer que x et y ne sont pas divisibles par p.
c) En déduire que x et y sont premiers entre eux.
3) On suppose maintenant que p est une somme de
deux carrés non nuls, c’est-à-dire que :
p = u 2 + v2 ,
où u et v sont deux entiers naturels strictement positifs.
a) Vérifier que le couple u2 − v2 ; 2uv est solution de (E).
b) Donner une solution de l’équation (E) lorsque :
p = 5, puis lorsque p = 13.
4) On se propose enfin de vérifier, sur deux exemples,
que l’équation (E) est impossible lorsque p n’est pas
la somme de deux carrés.
a) p = 3 et p = 7 sont-ils la somme de deux carrés ?
b) Démontrer que les équations :
x2 + y2 = 9 et x2 + y2 = 49 n’admettent pas de
couples solutions d’entiers strictement positifs.
a) Quelle est la décomposition de a en produit de fac-
Triplets pythagoriciens
2
2) On suppose désormais que p 6= 2 et que le couple
parfaits.
e) En déduire alors que q = 249.
41
solution.
des diviseurs stricts est égal à lui-même.
à 1 000 divisibles par 5 ?
53
1) On pose p = 2. Montrer que l’équation (E) est sans
2
2
x +y = p .
64 Chapitre AR3. Les nombres premiers
b) En déduire la liste des diviseurs de a.
c) Démontrer alors que la somme des diviseurs
stricts est égale à ce nombre a.
Préparer le bac
43
D’après Bac (Centre Étrangers - 2015)
PARTIE B : Recherche de triplets pythagoriciens
Dans cet exercice, on s’intéresse aux triplets d’entiers
contenant l’entier 2015
naturels non nuls ( x, y, z) tels que :
x 2 + y2 = z 2 .
1) Décomposer en produit de facteurs premiers l’entier
Ces triplets seront nommés « triplets pythagoriciens »
2 015 puis, en utilisant le TP donné dans le préam-
en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent
bule, déterminer un TP de la forme ( x, y, 2 015).
les côtés, et notés en abrégé « TP ».
Ainsi (3, 4, 5) est un TP car
32
+ 42
= 9 + 16 = 25 =
52 .
2) On admet que, pour tout entier naturel n,
2
2
(2n + 1)2 + 2n2 + 2n = 2n2 + 2n + 1 .
Déterminer un TP de la forme (2 015, y, z).
PARTIE A : Généralités
1) Démontrer que, si ( x, y, z) est un TP, et p un entier
3) a) En remarquant que 4032 = 169 × 961, déterminer
un couple d’entiers naturels non nuls ( x, z) tels
que : z2 − x2 = 4032 , avec x < 403.
naturel non nul, alors le triplet ( px, py, pz) est lui
b) En déduire un TP de la forme ( x, 2 015, z).
aussi un TP.
2) Démontrer que, si ( x, y, z) est un TP, alors les entiers naturels x, y et z ne peuvent pas être tous les
trois impairs.
3) Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul n peut s’écrire d’une façon unique sous la
forme du produit d’une puissance de 2 par un entier
impair :
44
D’après Bac (Pondichéry - 2015)
Les nombres de la forme 2n − 1 où n est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne.
1) On désigne par a, b et c trois entiers naturels non nuls
tels que : PGCD(b , c) = 1.
Prouver, à l’aide du théorème de Gauss, que :
n = 2α × k
« Si b divise a et c divise a,
où α est un entier naturel (éventuellement nul) et k
un entier naturel impair.
L’écriture n = 2α × k est nommée « décomposition »
de n.
Voici, par exemple, les « décompositions » des entiers
alors le produit bc divise a. »
2) On considère le nombre de Mersenne 233 − 1.
Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats
ci-dessous.
9 et 120 : 9 = 20 × 9, et 120 = 23 × 15.
a) Donner la décomposition de l’entier 192.
233 − 1 ÷ 3
b) Soit x et z deux entiers naturels non nuls,
233
−1 ÷4
233
− 1 ÷ 12
dont les décompositions sont x
et z = 2β × m.
=
2α
×k
Écrire la décomposition des entiers naturels 2x2
et
z2 .
c) En examinant l’exposant de 2 dans la décomposition de 2x2 et dans celle de z2 , montrer qu’il
n’existe pas de couple d’entiers naturels non nuls
( x, z) tels que 2x2 = z2 .
On admet que la question 3a permet d’établir que
les trois entiers naturels x, y et z sont deux à deux
distincts. Comme de plus, les entiers naturels x, y
jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout
TP ( x, y, z), les trois entiers naturels x, y et z seront
rangés dans l’ordre suivant :
x < y < z.
2863311530
2147483648
715827882,6
Il affirme que 3 divise 233 − 1 et 4 divise 233 − 1
et 12 ne divise pas 233 − 1 .
a) En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat
démontré à la question 1 ?
b) Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas 233 − 1 .
c) En remarquant que 2 ≡ −1 (3), montrer que, en
réalité, 3 ne divise pas 233 − 1.
d) Calculer la somme :
2
3
10
S = 1 + 23 + 23 + 23 + · · · + 23 .
e) En déduire que 7 divise 233 − 1.
3) On considère le nombre de Mersenne 27 − 1.
Est-il premier ? Justifier.
Chapitre AR3. Les nombres premiers 65
Préparer le bac
4) Soit l’algorithme suivant où MOD( N, k) représente
2) Soient p et q deux entiers naturels non nuls.
a) En déduire que 2 pq − 1 est divisible par 2 p − 1.
le reste de la division euclidienne de N par k.
b) En déduire que si un entier k supérieur ou égal
à 2 n’est pas premier, alors Mk ne l’est pas non
1. Liste des variables utilisées
plus.
n : entier supérieur ou égal à 3
2.
3) a) Prouver que le nombre de Mersenne M11 n’est pas
k : entier supérieur ou égal à 2
3.
premier.
4. Entrées
b) Que peut-on en déduire concernant la conjecture
5.
Saisir n
6.
Donner à k la valeur de 2
de la question 1b ?
7. Traitements
8.
PARTIE B
Tant que (MOD(2n − 1 , k) 6= 0 et
√
k 6 2n − 1) faire
Le test de Lucas-Lehmer permet de déterminer si un
Fin Tant que
la suite numérique (un ) définie par u0 = 4 et pour tout
Donner à k la valeur de k + 1
9.
10.
nombre de Mersenne donné est premier. Ce test utilise
entier naturel n :
11. Affichage
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Afficher k
√
Si k > 2n − 1 Alors
Si n est un entier naturel supérieur ou égal à 2, le test
Sinon
permet d’affirmer que le nombre Mn est premier si, et
un+1 = u2n − 2.
Afficher "Cas 1"
seulement si, un−2 ≡ 0 ( Mn ). Cette propriété est ad-
Afficher "Cas 2"
mise dans la suite.
Fin Si
1) Utiliser le test de Lucas-Lehmer pour vérifier que le
a) Qu’affiche cet algorithme si on saisit n = 33 ?
nombre de Mersenne M5 est premier.
Et si on saisit n = 7 ?
b) Que représente le Cas 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombre k
affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?
c) Que représente le Cas 1 pour le nombre de Mer-
2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
L’algorithme suivant, qui est incomplet, doit permettre de vérifier si le nombre de Mersenne Mn est
premier, en utilisant le test de Lucas-Lehmer.
senne étudié ?
45
D’après Bac (Asie - 2014)
PARTIE A
Pour tout entier naturel k > 2, on pose Mk = 2k − 1.
On dit que Mk est le k-ième nombre de Mersenne.
1) a) Reproduire et compléter le tableau suivant, qui
donne quelques valeurs de Mk :
k
2
Mk
3
3
4
5
6
7
8
9
10
1. Liste des variables utilisées
2.
u, M, n, i : entiers naturels
3. Entrées
4.
Saisir n > 3
5.
Donner à u la valeur de 4
6. Traitements
7.
Donner à M la valeur de ...
8.
Pour i variant de 1 à ... faire
9.
Donner à u la valeur de ...
10. Fin Pour
11. Si M divise u Alors
12.
Afficher M . . .
13. Sinon
14.
Afficher M . . .
15. Fin Si
b) D’après le tableau précédent, si k est un nombre
premier, peut-on conjecturer que le nombre Mk est
Recopier et compléter cet algorithme de façon à ce
premier ?
qu’il remplisse la condition voulue.
66 Chapitre AR3. Les nombres premiers
Approfondir
46
Nombre d’éléments
Soit (E) l’ensemble des entiers naturels écrits, en base
10, sous la forme abba où a est un chiffre supérieur ou
égal à 2 et b est un chiffre quelconque.
Exemples d’éléments de (E) : 2 002 ; 3 773 ; 9 119.
10 p − 1
.
9
3) On se propose de démontrer que si p n’est pas pre2) Prouver que Np =
mier, alors Np n’est pas premier.
On rappelle que pour tout nombre réel x et pour tout
entier naturel n non nul :
On cherche le nombre d’éléments de (E) ayant 11
comme plus petit facteur premier.
1) a) Décomposer 1 001 en produit de facteurs pre-
x n − 1 = ( x − 1)( x n−1 + x n−2 + · · · + x + 1).
a) On suppose que p est pair et on pose p = 2q, où q
est un entier naturel plus grand que 1.
miers.
b) Montrer que tout élément de (E) est divisible
par 11.
Montrer que Np est divisible par N2 = 11.
b) On suppose p non premier et on pose p = kq où k
et q sont des entiers naturels plus grands que 1.
2) a) Quel est le nombre d’éléments de (E) ?
b) Quel est le nombre d’éléments de (E) qui ne sont
ni divisibles par 2 ni par 5 ?
En déduire que Np est divisible par Nk .
c) Énoncer une condition nécessaire pour que Np
soit premier.
3) Soit n un élément de (E) s’écrivant sous la forme
Cette condition est-elle suffisante ?
abba.
a) Montrer que : « n est divisible par 3 » équivaut à
« a + b » est divisible par 3.
b) Montrer que : « n est divisible par 7 » équivaut à
« b est divisible par 7 ».
4) Déduire des questions précédentes le nombre d’éléments de (E) qui admettent 11 comme plus petit facteur premier.
47
Vrai ou faux ?
1) Soit n un entier naturel supérieur à 5.
Proposition 1 : n2 − 3n − 10 n’est jamais un nombre
premier.
2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
49
Divisibilité par 240
p est un nombre premier supérieur ou égal à 7.
Le but de cet exercice est de montrer que l’entier naturel n = p4 − 1 est divisible par 240, puis d’appliquer
ce résultat.
1) Peut-on avoir p ≡ 0 (3) ?
En analysant les autres cas modulo 3, démontrer que
n est divisible par 3.
2) En remarquant que p est impair, prouver qu’il existe
un entier naturel k tel que :
Proposition 2 : Pour tout entier k (2 6 k 6 n),
le nombre n! + k n’est pas premier.
48
Rep-unit
Un rep-unit (ou répunit) est un entier naturel dont
l’écriture ne comporte que des 1. Le nom provient de
repated unit en anglais.
On se propose dans cet exercice d’étudier le problème
suivant :
« Les nombres dont l’écriture décimale n’utilise que le
seul chiffre 1 peuvent-ils être premiers ? »
Pour tout entier naturel p tel que p > 2, on pose :
Np = 1 . . . 1 où 1 apparaît p fois.
On a alors : Np = 10 p−1 + 10 p−2 + · · · + 101 + 1.
1) Les nombres N2 , N3 , N4 sont-ils premiers ?
p2 − 1 = 4k(k + 1).
En déduire que p2 − 1 est divisible par 8 puis que n
est divisible par 16.
3) En raisonnant comme à la question 1) modulo 5, démontrer que 5 divise n.
4) a) Que peut-on dire si a et b divise c et que
PGCD( a, b ) = 1 ?
b) Déduire des questions précédentes que 240 divise n.
5) Existe-t-il 15 nombres premiers p1 , p2 , . . ., p15 supérieurs à 7, tels que l’entier A ci-dessous soit un
nombre premier ?
A = p41 + p42 + · · · + p415
Chapitre AR3. Les nombres premiers 67
Approfondir
50
Nombres de Fermat
PARTIE B : Divisibilité par un nombre premier
Soit n un entier naturel, on appelle nombre de Fermat
n
le nombre Fn tel que : Fn = 22 + 1.
1) Soit k un entier naturel non nul.
a) Montrer pour tout entier naturel x que :
x2k +1 + 1 = ( x + 1)( x2k − x2k −1 + · · · + x2 − x + 1).
b) Montrer que si m est un entier naturel impair,
2m + 1 n’est pas premier.
c) Montrer que si m est un entier naturel qui possède
un diviseur impair, 2m + 1 n’est pas premier.
d) En déduire que les seuls entiers naturels de la
forme
2m
+ 1 sont les nombres de Fermat.
2) Calculer les cinq premiers nombres de Fermat :
F0 , F1 , F2 , F3 et F4 puis vérifier qu’ils sont premiers.
3) Vérifier que pour tout entier naturel n :
Fn+1 = ( Fn − 1)2 + 1.
En déduire PGCD( Fn ; Fn+1 ).
4) Montrer que, pour tout entier naturel n tel que n > 2,
Fn ≡ 7 (10).
51
Petit théorème de Fermat
Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés
de divisibilité de l’entier 4n − 1, lorsque n est un entier
naturel.
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit
théorème de Fermat :
« Si p est un nombre premier et a un entier naturel premier avec p, alors a p−1 − 1 ≡ 0 ( p) ».
PARTIE A : Quelques exemples
1) Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4n est
congru à 1 modulo 3.
2) Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat, que
428 − 1 est divisible par 29.
3) Pour 1 6 n 6 4 , déterminer le reste de la division
de 4n par 17. En déduire que, pour tout entier k, le
nombre 44k − 1 est divisible par 17.
4) Pour quels entiers naturels n le nombre 4n − 1 est-il
divisible par 5 ?
5) À l’aide des questions précédentes, déterminer
quatre diviseurs premiers de 428 − 1.
68 Chapitre AR3. Les nombres premiers
Soit p un nombre premier différent de 2.
1) Démontrer qu’il existe un entier n > 1 tel que
4n ≡ 1 ( p ) .
2) Soit n > 1 un entier naturel tel que 4n ≡ 1 ( p). On
note b le plus petit entier strictement positif tel que
4b ≡ 1 ( p) et r le reste de la division euclidienne de
n par b.
a) Démontrer que 4r ≡ 1 ( p). En déduire que r = 0.
b) Prouver l’équivalence : 4n − 1 est divisible par p
si, et seulement si, n est multiple de b.
c) En déduire que b divise p − 1.
52
Fonctions modulo 227
1) On considère l’équation (E) : 109x − 226y = 1,
où x et y sont des entiers relatifs.
a) Déterminer le PGCD de 109 et 226. Que peut-on
en conclure pour l’équation (E) ?
b) Montrer que l’ensemble des solutions de (E) est
l’ensemble des couples de la forme :
(141 + 226k ; 68 + 109k), où k appartient à Z.
En déduire qu’il existe un unique entier naturel
non nul d inférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nul e tels que 109d = 1 + 226e.
(On précisera les valeurs des entiers d et e.)
2) Démontrer que 227 est un nombre premier.
3) On note A l’ensemble des 227 entiers naturels a tels
que a 6 226.
On considère les deux fonctions f et g de A dans A
définies de la manière suivante :
• à tout entier de A, f associe le reste de la division
euclidienne de a109 par 227.
• à tout entier de A, g associe le reste de la division
euclidienne de a141 par 227.
a) Vérifier que g[ f (0)] = 0.
On donne le théorème suivant appelé petit théorème de Fermat :
« Si p est un nombre premier et a un entier non
divisible par p, alors a p−1 ≡ 1 ( p). »
b) Montrer que, quel que soit l’entier non nul a de A,
a226 ≡ 1 (227).
c) En utilisant 1b, en déduire que, quel que soit l’entier non nul a de A, on a : g[ f ( a)] = a.
Que peut-on dire de f [( g( a)] = a ?
Je teste mes connaissances
À la fin de ce chapitre, je dois être capable de :
I Connaître la définition exacte d’un nombre premier
I Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers
I Déterminer si un nombre est premier ou non à l’aide du
I Exprimer les diviseurs d’un nombre à partir de sa décom-
critère d’arrêt
position en facteurs premiers
I Utiliser le crible d’Ératosthène
I Calculer le nombre de diviseurs d’un nombre à partir de sa
décomposition en produit de facteurs premiers
I Utiliser le théorème de Gauss dans le cas d’un nombre
premier
Des ressources numériques
pour préparer le chapitre sur
manuel.sesamath.net
QCM d’auto-évaluation
@
Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Au moins une réponse est exacte. Déterminer la (ou
les) bonne(s) réponse(s).
53
Lequel parmi ces nombres n’est pas premier ?
a 227
54
b 379
c 221
d 313
Pour établir la liste des nombres premiers inférieurs à 4 000 à l’aide du crible d’Ératosthène, on raye les
multiples des nombres premiers jusqu’à :
a 61
55
b 67
c 100
d 4 000
On considère le nombre N = n + (n + 2) + n(n + 2) avec n ∈ N. Le nombre N est premier :
a si n est impair.
c pour les 4 premières valeurs impaires de n.
b pour aucune valeur de n.
d si n est premier.
56
Parmi les phrases suivantes, quelles sont celles qui sont vraies ?
a Si n est un nombre premier, alors n est impair.
b Si p et q sont deux nombres premiers distincts, alors p et q sont premiers entre eux.
c Si p est premier et divise le produit ab, alors p divise a ou p divise b.
d Soit p un nombre premier. Si a ≡ p ( p), alors a est premier.
57
Parmi les phrases suivantes, quelles sont celles qui sont vraies ?
a Si n est un nombre impair, alors n est un nombre premier.
b Si p et q sont premiers entre eux, alors p et q sont des nombres premiers.
c Si p divise a ou p divise b, alors p divise le produit ab.
d Soit p un nombre premier. Si a est premier alors a ≡ p ( p).
Chapitre AR3. Les nombres premiers 69
58
Soit p un nombre premier, k et a deux entiers supérieurs à 1.
Si p divise ak , alors :
a
d p divise tout diviseur de ak .
p divise a.
b pk divise ak .
c
59
Le nombre 10 920 possède :
a 144 diviseurs
60
e Il y a un diviseur de a qui divise p.
p = ak si a est premier.
b 64 diviseurs
c 72 diviseurs
d 48 diviseurs
Soit p, q et r trois nombres premiers.
La décomposition en produit de facteurs premiers d’un entier n est : n = p2 × q × r3 . Alors
a n possède 6 diviseurs.
c n possède 18 diviseurs.
b n possède 12 diviseurs.
d n possède 24 diviseurs.
61
Un nombre n possède 15 diviseurs.
a n possède exactement deux facteurs premiers.
c n n’est pas nécessairement un carré.
b n peut ne posséder qu’un seul facteur premier.
d n est un carré.
62
On donne l’algorithme suivant dans lequel E(x) désigne la partie entière du nombre x :
1. Liste des variables utilisées
2.
A, N : entiers naturels
3. Entrées
4.
Saisir A
5.
Donner à N la valeur de 1
6. Traitements et affichage
√
7.
Tant que (N 6 A) faire
A
A
8.
Si
=E
Alors
N
N
A
9.
Afficher N,
N
10.
Fin Si
11.
Fin Tant que
12.
Donner à N la valeur de N + 1
a Cet algorithme affiche le nombre de diviseurs de A.
b Cet algorithme affiche tous les multiples de N.
c Cet algorithme affiche les diviseurs premiers de A.
d Cet algorithme affiche tous les diviseurs de A.
70 Chapitre AR3. Les nombres premiers
Travaux pratiques
TP 1
Nombres premiers et théorème de Sophie Germain
1) On donne les définitions suivantes :
• Un nombre premier p de Sophie Germain est tel que p et 2p + 1 sont premiers.
• Le nombre 2p + 1 est alors appelé nombre premier sûr.
• Une suite ( p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, . . . ) de nombres premiers de Sophie Germain est
appelée une chaîne de Cunningham. Chaque terme d’une telle suite, à l’exception du
premier et du dernier, est à la fois un nombre premier de Sophie Germain et un nombre
premier sûr. Le premier est un nombre de Sophie Germain, le dernier un nombre premier sûr.
a) Déterminer les premiers de Sophie Germain inférieurs à 100.
b) Démontrer, à l’aide du critère d’arrêt, que 239 est un premier de Sophie Germain et que
227 est un nombre premier sûr.
c) Déterminer une chaîne de Cunningham de 5 termes.
2) On donne le théorème suivant :
Pour tout entier n > 1, on a : n4 + 4 n’est pas premier.
a) Montrer que, pour tout entier, on a l’égalité dite de « Sophie Germain » :
n4 + 4m4 = (n2 + 2m2 + 2mn)(n2 + 2m2 − 2mn).
b) n est un entier naturel. Pour quelle(s) valeur(s) de n, n4 + 4 est-il premier ?
En déduire la véracité du théorème.
c) Démontrer que 4545 + 5454 n’est pas premier.
3) Factoriser n4 + n2 + 1. Pour quelle(s) valeur(s) de n, n4 + n2 + 1 est-il premier ?
Marie-Sophie Germain (1776-1831)
À l’âge de treize ans, Sophie Germain lut l’histoire d’Archimède et décida de devenir mathématicienne. Luttant contre la volonté de ses parents, elle apprit les mathématiques en cachette en lisant Newton et
Euler, puis s’intéressa à la théorie des nombres à travers les ouvrages
de Legendre et Gauss. Redoutant que son travail ne soit ignoré parce
qu’elle était une femme, elle leur écrivit sous le pseudonyme de M. Le
Blanc et entretint avec eux des correspondances mathématiques durant
plusieurs années.
Elle apporta une importante avancée sur le grand théorème de Fermat
dans le cas où la puissance est un nombre premier de Sophie Germain,
c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’entiers naturels x, y, z, tels que :
x p + y p = z p si p > 2 est un nombre premier de Sophie Germain.
Lorsque Gauss apprit la supercherie, il lui écrivit : « Mais comment
vous décrire mon admiration et mon étonnement à voir mon estimé
correspondant Monsieur Le Blanc se métamorphoser en cet illustre
personnage qui donne un si brillant exemple de ce que j’aurais trouvé
difficile à croire. »
Chapitre AR3. Les nombres premiers 71
Travaux pratiques
TP 2
Le système cryptographique RSA
Le nom du système RSA., provient des initiales des noms de ses inventeurs américains en
1977 : Ronald Rivest (informaticien), Adi Shamir (informaticien) et Leonard Adleman (mathématicien).
A Arithmétique du système RSA
Soit p et q deux nombres premiers impairs distincts. On pose n = pq et on désigne par e un
entier tel que : 1 < e < ( p − 1)(q − 1) et e premier avec ( p − 1)(q − 1).
1) Montrer qu’il existe d unique tel que : 1 6 d < ( p − 1)(q − 1) et ed ≡ 1 [( p − 1)(q − 1)].
2) On rappelle le petit théorème de Fermat :
« Soit un nombre premier p et un entier naturel a non multiple de p, alors : a p−1 ≡ 1 ( p). »
Prouver que, pour tout m ∈ N, med ≡ m (n).
3) On choisit p = 5, q = 7 et e = 7. Calculer d.
B Envoi d’un message
Alice veut transmettre un message à Bob.
Pour cela, Bob diffuse à tout le monde (donc à Alice) les nombres n et e. Il garde pour lui les
nombres p et q qui lui permettent de calculer d pour déchiffrer un message.
Bob rend publique : n = 33 et e = 7.
Alice voudrait transmettre le mot « SALUT ».
Alice traduit chaque lettre : elle obtient pour la première m1 = 18.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Alice code ensuite ces nombres avec la fonction « trappe » de Bob : f B (m) = me (n).
Pour le premier nombre : m1e ≡ c1 (n) ⇔ 187 ≡ 6 (33)
d’où
c1 = 6.
1) Vérifier qu’Alice envoie à Bob les nombres suivants : 06 - 00 - 11 - 26 - 13.
2) Bob décode alors ces nombres avec sa fonction « trappe inverse » : f B−1 (c) = cd (n).
Expliquer pourquoi cette fonction inverse permet de déchiffrer le message ?
3) Pour le premier nombre : c1d ≡ m1 (n) ⇔ 63 ≡ 18 (33)
d’où
m1 = 18.
Bob reçoit un deuxième message avec les nombres suivants :
14 − 20 − 08 − 12 − 02 − 09 − 00 − 01 − 11 − 16.
Que lui dit Alice ?
4) Authentification : Bob est-il sûr de recevoir ce message d’Alice ?
Alice dispose également d’une fonction trappe f A ( f A publique et f A−1 connue d’Alice uniquement).
Alice envoie à Bob un message contenant :
• ce qu’elle avait à lui dire ;
• une double signature : A, f A−1 (A).
Comment Bob peut-il s’assurer que le message reçu vient bien d’Alice ?
72 Chapitre AR3. Les nombres premiers
Travaux pratiques
Commentaires
1) Un système à clef publique :
le couple (n ; e) connu de tout un chacun permet à « tout public » de transmettre un message
à Bob ;
le couple ( p ; q ) n’est connu que de Bob et lui permet d’être le seul à pouvoir déchiffrer le
message en calculant d.
2) La sécurité du système tient pour l’essentiel dans :
• la construction de nombres premiers « grands » (on sait le faire) ;
• la difficulté de décomposer un nombre grand (300 chiffres par exemple) en produit de
deux nombres premiers.
Mais personne ne sait si une attaque du RSA qui éviterait la factorisation est impossible !
3) Les fonctions à sens unique : un système asymétrique
La fonction one-way, de Bob, f B est connue de tout le monde.
En revanche, la fonction réciproque f B−1 (m) 7→ md (n), n’est connue que de Bob et est prati-
quement impossible à calculer, sauf si l’on dispose d’une information supplémentaire (trapdoor information), d’où le nom donné à une telle fonction : fonction trappe.
C Avec des nombres plus grands
On choisit deux nombres premiers plus grand : p = 41 et q = 53.
1) a) Calculer n et ( p − 1)(q − 1).
b) On choisit e = 1 427. Montrer que e est premier avec ( p − 1)(q − 1) à l’aide de l’algorithme
d’Euclide. En remontant cet algorithme, en déduire d.
2) Bob rend publique n = 2 173 et e = 1 427.
Alice voudrait transmettre le message « Help ! ».
Alice traduit chaque lettre à l’aide du code ASCII (prononcé « aski ») obtenant les nombres
de trois chiffres suivants :
H
e
l
p
espace
!
072
101
108
112
032
033
Alice code ensuite ces nombres avec la fonction « trappe » de Bob : f B (m) = me (n).
Pour H, elle recherche m1e ≡ c1 (n) ⇔ 721 427 ≡ ? (2 173).
Inutile de s’acharner avec la calculatrice, elle se montrera incapable du calcul de 721 427
modulo 2 173. On a recours alors à une méthode dite d’exponentiation modulaire rapide.
a) Montrer que e = 1 427 s’écrit 210 + 28 + 27 + 24 + 2 + 1.
10
8
7
4
b) Montrer alors que : m1 427 = m2 × m2 × m2 × m2 × m2 × m.
c) On calcule ensuite les restes successifs a1 , a2 , . . ., a10 par la division par 2 173 de :
2
3
4
10
m, m2 , m2 , m2 , m2 , . . ., m2 .
Montrer alors que a10 × a8 × a7 × a4 × a1 × a0 ≡ c1 (2 173).
d) On propose le programme suivant pour coder le message d’Alice.
Ce programme calcule successivement les restes a1 , a2 ,. . ., a10 .
On range alors les dix restes dans une liste L1 .
Avant de lancer le programme, on a rentré dans une liste L2 les coefficients des puissances
de 2 de 1 427 : L2 = (1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1).
On cherche ensuite le reste du produit S des ai où le rang i dans L2 n’est pas nul.
Chapitre AR3. Les nombres premiers 73
Travaux pratiques
1. Liste des variables utilisées
2.
m, A, n, I, S : entiers
3.
L1 , L2 : listes
4. Entrées
5.
Saisir n,m
6.
Effacer L1
7.
Donner à A la valeur de reste de m par n
8.
Donner à L1 (1) la valeur de A
9. Traitements
10.
Pour I variant de 2 à 11 faire
Donner à A la valeur de reste de A2 par n
11.
Donner à L1 ( I ) la valeur de A
12.
13.
Fin Pour
14.
Donner à S la valeur de L1 (1) × L2 (1)
15.
Pour I variant de 2 à 11 faire
Si L2 ( I ) 6= 0 Alors
16.
Donner à S la valeur de S × L1 ( I )
17.
Donner à S la valeur de reste de S par n
18.
19.
Fin Si
20.
Fin Pour
21. Affichage
22.
Afficher S
Montrer que si l’on rentre n = 2 173 et m = 72, on trouve : c1 = 966.
Coder alors l’ensemble du message d’Alice.
Système d’authentification, fabriqué par la société RSA Security.
Récréation, énigmes
Recherche d’un PGCD
Trouver le PGCD de 337 − 3 et de 1 221.
(Note : il y a du Fermat dans l’air ! !)
74 Chapitre AR3. Les nombres premiers