Dossier 2 Les nombres premiers Compétences et savoir faire

Dossier 2 Les nombres premiers
Compétences et savoir faire
Exercices de référence
• Justifier qu'un entier est premier ou non
2.4 et 2.5
• Décomposer un entier en produit de facteurs premiers
2.8 et 2.9
• Trouver tous les diviseurs d'un entier
2.3 , 2.11 et 2.12
• Utiliser la décomposition en facteurs premiers pour simplifier
l'écriture : - d'un rationnel
- d'une racine carrée
2.13 , 2.14 , 2.15 et 2.16
Dans ce dossier 2, les nombres considérés sont des entiers naturels.
I- Les diviseurs d'un entier
I-1 Multiples et diviseurs
Définitions
(i) Soit a et b deux entiers naturels.
On dit que a est un multiple de b si et seulement si il existe un entier naturel k tel que a=k ×b .
(ii) Soit a et d deux entiers naturels.
On dit que d est un diviseur de a, (ou que d divise a, ou encore que a est divisible par d),
si et seulement si il existe un nombre entier naturel k tel que a=k ×d .
Remarques et exemples :
• tout entier naturel est un multiple de 1 ;
• 1 est un diviseur de tout entier naturel ;
• 0 est un multiple de tout entier naturel ;
• tout entier naturel est un diviseur de 0 ;
• tout entier naturel est un multiple de lui-même ;
• tout entier naturel est un diviseur de lui-même ;
• a est un multiple de b si et seulement si b est un
• d est un diviseur de a si et seulement si a est un
diviseur de a ;
multiple de d ;
84=1×84
84=4×21
84=2×42
84=6×14
1, 2 , 3 , 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 et 84 sont les diviseurs de 84.
84 est un multiple de chacun de ces nombres.
84=3×28 84=7×12
propriété : tout nombre entier a différent de 0 et de 1 admet au moins deux diviseurs : 1 et a.
I-2 Critères de divisibilité
La division n'est pas toujours possible dans ℕ et ℤ . Rappelons quelques critères de divisibilité :
Un entier naturel est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
Un tel entier est un entier pair.
Un entier n est un entier pair si et seulement si il existe un entier p tel que n=2 p .
Un entier n est un entier impair si et seulement si il existe un entier p tel que n=2 p1 .
Un entier naturel est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3
Un entier naturel est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
Un entier naturel est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5.
Un entier naturel est divisible par 6 s'il est divisible par 2 et par 3.
Pour 7, voyons une possibilité : prendre le nombre formé de tous les chiffres sauf celui des unités, lui soustraire
le double du chiffre des unités et vérifier si le résultat est divisible par 7 (dans ℤ !)
n=86 415 . n 1=8 641 – 2×5=8 631 puis n 2=863 – 2×1=861 puis n 3=86 – 2×1=84 et on peut reconnaître
que 84 = 70 + 14 est un multiple de 7, donc n 2 aussi, donc n1 aussi et donc n aussi !
c'est assez compliqué, autant effectuer la division euclidienne par 7.
Un entier naturel est divisible par 8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8.
Un entier naturel est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Un entier naturel est divisible par 10 s'il se termine par 0.
Un entier naturel est divisible par 11 si la différence entre la somme des chiffres de rang impair (unité,
centaine, ...) et celle des chiffres de rang pair, ( dizaine, mille, ...) est divisible par 11.
Un entier naturel est divisible par 25 s'il se termine par 00, 25, 50 ou 75.
Un entier naturel est divisible par 100 s'il se termine par 00.
II- Nombres premiers
II-1 Définition
On appelle nombre premier tout entier naturel ayant exactement deux diviseurs.
(Ces deux diviseurs sont donc 1 et lui même.)
Exemples : • 2, 3, 5, 7, 11, ... sont des nombres premiers.
• 75 n'est pas premier car il admet 6 diviseurs : 1, 3, 5, 15, 25 et 75.
• 1 n'est pas premier car il n'admet qu'un seul diviseur : 1.
• 0 n'est pas premier car tous les nombres entiers sont des diviseurs de 0.
II-2 Crible d'Eratosthène (Eratosthène, savant grec, 284-192 avant J.C.)
Vous allez barrer tous les nombres qui ne sont pas
premiers inférieurs à 100.
Commencez par barrer 1,
puis tous les multiples de 2 sauf 2,
puis tous les multiples de 3 sauf 3, etc.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Pour information : le plus grand nombre premier
connu à ce jour est le nombre appelé M46 pour
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
"46ème nombre de Mersenne". M46 =2 43 112 609 – 1
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
Ce nombre s'écrit avec 12 978 189 chiffres ...
Ça découverte le 23 août 2 008 par Edson Smith
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
du GIMPS de UCLA Mathematics Department's computers
pourrait rapporter à ce dernier 1 00 000 dollards ...
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
(En fait M46 à d'abord été M45, mais le 6 septembre
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
2 008, un 46ème nombre de Mersenne, plus "petit"
37 156 667
a été découvert par le même GIMPS. 2
, long de seulement 11 185 272 chiffres.
Un nombre de Mersenne est un nombre de la forme 2 p – 1 où p est un nombre premier.
Ces nombres sont de "bons candidats" pour être des nombres premiers ; on a même conjecturé un moment que tous les nombres de
Mersenne étaient premiers, jusqu'à ce que ... l'on remarque 2 11 – 1=2 047=23×89
(Mersenne, mathématicien philosophe français, 1 588 - 1648). Il n'a pas "inventé" les "nombres de Mersenne" mais a cherché à en
trouver le plus possible.
II-3 Décomposition en facteurs premiers.
Théorème :
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 est décomposable de façon unique en produit de facteurs premiers.
(quitte à réorganiser l'ordre des facteurs ...)
Méthodes et exemples :
Méthode usuelle
Méthode systématique
140 2
70 2
35 5
7 7
1 donc 140=22 ×51×71
140=14×10
140= 2×7×2×5
2
1
1
140=2 ×5 ×7
Méthode usuelle
360=36×10
2
360=6 ×2×5
2
360= 2×3 ×2×5
360=2 2×32×21×51
360=23×32×51
Méthode systématique
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
3
3
5
donc 360=23×32×51
• Si ce naturel est un nombre premier alors la décomposition est égale à ce naturel : 29=29
• Si ce naturel n’est pas un nombre premier, pour trouver sa décomposition, on effectue les divisions
Euclidiennes par les nombres premiers successifs, autant de fois que cela est nécessaire et en ne retenant que
les diviseurs premiers obtenus, jusqu’à obtenir 1 comme si dessus. (méthode systématique)
Propriété : la décomposition en facteurs premiers permet de faire la liste de tous les diviseurs de ce nombre.
1
Exemple : 360=23×32×51
Les diviseurs de 360 sont donc tous de la forme
m
n
p
2 ×3 ×5 avec m∈{0 , 1 , 2 , 3 } , soit 4 choix pour m ;
n∈{ 0 ,1 , 2 } , soit 3 choix pour n ;
32
22
23
31
30
32
31
20
21
30
32
31
30
32
31
30
et p ∈{ 0 ,1 } , soit 2 choix pour p.
Nous construisons l'arbre de choix ci-contre pour
visualiser et déterminer tous les diviseurs de 360.
Il y aura 4×3×2=24 diviseurs de 360 et
51 50 51 50 51 50 51 50 51 50 51 50 51 50 51 50 51 50 51 50 51 50 51 50
72 24 8 36 12 4 18 6
1
2
3
9
360 120 40 180 60 20 90 15 10 45 15 5
l’ensemble des diviseurs de 360 est :
{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 18 ; 20 ; 24 ; 30 ; 36 ; 40 ; 45 ; 60 ; 72 ; 90 ; 120 ; 180 ; 360}
Remarque : plus généralement, le nombre de diviseurs d’un naturel est égal au produit des exposants
augmentés chacun de 1.
Ici, on a bien 31×21×11=24
Propriété (admise) :
soit n un entier naturel tel que n2 . Si n n’est pas premier, il existe un diviseur premier p tel que p n .
Comment reconnaître qu’un nombre est premier ?
Pour reconnaître si un nombre entier naturel n est premier, on effectue les divisions Euclidiennes successives
par les nombres premiers inférieurs à  n pris dans l’ordre croissant.
• si l’une de ces divisions donne pour reste 0, alors ce nombre n’est pas premier ;
• si aucune division ne donne pour reste 0, on peut alors conclure que ce nombre est premier.
Exemple : le nombre 1789 est-il premier ?
 1789≃42,3 les nombres premiers qui lui sont inférieurs sont ceux du crible d’Eratosthène jusqu’à 41.
* il n’est divisible ni par 2 ni par 3, ni par 5 (d’après les critères de divisibilité)
* 1789=7×2554 * 1789=11×1627 * 1789=13×1378 * 1789=17×1054 * 1789=19×943
* 1789=23×7718 * 1789=29×6120 * 1789=31×5722 * 1789=37×4813 * 1789=41×4326
donc 1789 est un nombre premier.
Exercices - défis
D1- Démontrer les théorèmes suivants :
Théorème 1 (à démontrer à l’aide d’un raisonnement par l’absurde) :
Si b divise a et si a≠0 alors 1ba .
Théorème 2 (à démontrer) : Si a≠0 , alors a n’admet qu’un nombre fini de diviseurs.
Théorème 3 (à démontrer) : Si b divise a et si c divise b alors c divise a.
Théorème 4 (à démontrer) : Si c divise a et b alors, pour tous les entiers naturels m et n, c divise manb
D2- Trouver deux nombres possédant exactement 42 diviseurs.
D3- a) Trouver les deux nombres a et b tels que a 2 – b 2=221 .
b) Trouver les deux nombres c et d, cd , tels que la différence de leurs carrés égale 6 497.
D4- Y a t-il un plus grand nombre premier ?