11 Exercices - Nombres entiers. Arithmétique.nb

11 Exercices - Nombres entiers. Arithmétique.nb
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. Arithmétique.
n
n Hn+3L
1
=
.
4 Hn+1L Hn+2L
k=1 k Hk+1L Hk+2L
1) Démontrer que " n œ * , S
2) Soit Hun L la suite définie par: u0 = 2, u1 = 3 et " n œ , un+2 = 3 un+1 - 2 un .
Calculer les premiers termes de cette suite puis l’expression de un en fonction de n.
n
3) Calculer le terme général de la suite Hun L définie par u0 = 1 et " n œ , un+1 = S uk .
k=0
4) Montrer que pour tout entier n, n Hn + 1L H2 n + 1L est divisible par 6 .
5) Prouver que " n œ , 32 n+1 + 2n+2 est divisible par 7.
6) Prouver que " n œ , 25n + 23 n+4 est divisible par 17.
7) Prouver que 210 ª 1 @11D et que 35 ª 1 @11D et en déduire que A = 2123 + 3121 est divisible par 11.
8) a) Montrer qu'un entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.
b) En s’inspirant du a), trouver un critère de divisibilité par 11.
n
9) Soit un = S k2 k !. Trouver les entiers n pour lesquels un n'est pas divisible par 9.
k=1
10) Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est toujours divisible par 9.
11) Montrer que pour tout entier n , 30 divise n5 - n .
12) Prouver que 4 n3 + 6 n2 + 4 n + 1 n’est jamais premier pour n œ * .
13) Prouver par récurrence forte que tout entier n r 2 peut s’écrire comme un produit de nombre premiers
15) On pose Mn = 2n - 1 (Nombre de Mersenne) . Prouver que Mn premier fl n est premier mais que la réciproque est fausse.
16)a) Montrer que " n r 2, n4 + 4 n'est pas un nombre premier.
b) Montrer que " n r 2, n4 + 4n n’est pas un nombre premier.
17) Soient a, n œ avec a r 2 et n r 2. On pose A = an - 1.
a) Prouver que si a r 3 alors A n’est pas un nombre premier.
b) Prouver que si a = 2 et n n’est pas premier alors A n’est pas un nombre premier.
c) Prouver que si a = 2 et n est premier alors A peut être un nombre premier ou non.
18) Trouver un intervalle de 100 nombres consécutifs non premiers. (Penser aux factorielles)
19) Soient a r 2 , n r 1 deux entiers tels que A = an + 1 soit un nombre premier. Montrer que n est une puissance de 2.
20) Résoudre dans l'équation x3 - y3 = 999 . (Limiter le nombre de valeurs possibles)