Devoir maison n°4

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2014-2015
à rendre le jeudi 6 novembre
Devoir maison n°4
Introduction :
Etant donné un entier naturel n, on considère (n) le nombre de nombres premiers compris entre 0 et n. Ce problème vise à
établir l’encadrement suivant : ln (2)
≤ () ≤ valable pour tout n ≥3.
()
()
Rappel : Soit (a,b,c)∈
∈ℤ .
• On dit qu’un entier naturel p plus grand que 2 est premier si ses seuls diviseurs entiers naturels sont 1 et lui
même. Tout entier naturel plus grand que 2 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.
• On dit que a et b sont premiers entre eux si 1 est le seul diviseur positif commun à a et b.
• Ici a et b sont premiers entre eux. Si b divise ac alors b divise c. (Th de Gauss démontré plus tard)
• Soit ( , , … . , )∈
∈ℕ . Le plus petit commun multiple de , , … . , .( on le note A=ppcm( , , … . , ))
est un entier naturel multiple de , , … . , et c’est le plus petit au sens de la divisibilité. (c'est-à-dire si L est un
multiple commun aux entiers , , … . , alors L est multiple de A.
Partie I Préliminaires :
1. On considère a et b deux entiers naturels vérifiant 1≤ b≤ a et l’on pose
I(b, a) = t (1 − t)# dt
%
a. Calculer I(1,a) en fonction de a.
&
b. Montrer que si b < a alors I(b+1,a)='&I(b,a)
&()
*+
c. En déduire que I(b,a)=
2. Autre calcul de I(b,a). On considère x∈ℝ
a. A l’aide du binôme de Newton montrer que :
'
(1 − - + -/)
%
'
3−1
0- = 1 2
5 8(4, 3)/ 6
4−1
b. En calculant directement l’intégrale, montrer que :
'
(1 − - + -/)
%
c. En déduire l’égalité I(b,a)=
'()9:
*9:+
67
'
1
0- = 1 / 6
3
67
. Comparer avec la formule du 1.c
Partie II :Une minoration de la fonction; :
Dans toute la suite n désigne un entier naturel non nul. On note Δ le ppcm de (1,2,3,….,n)
1. a.Montrer que (ici aussi 1≤ b≤ a)
'&
3−=
1
8(=, 3) = 1(−1)6 2
5
4
4+=
67%
b. En déduire que Δ' 8(=, 3) est un entier puis que l’entier b('&+ divise Δ'
2. Soit n∈ℕ*
a. Montrer que ∀k∈ℕ* Δ6 divise Δ6>
b. Montrer que les entiers (?
+ - (2 + 1)(?
+ divisent l’entier Δ?>
c. Justifier que n et 2n+1 sont premiers entre eux . Montrer que n(2 + 1)(?
+ divise Δ?> .
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3. a. Soit k∈@0,2 − 1B Calculer
CD
(EF:
+
(CD
E+
b. Montre que : ∀k∈@0,2B (?
+≤(?
+
6
c. En déduire que (2 + 1)(?
+ ≥ 4 (On pourra développer (1+1)? )
d. En déduire que Δ?> ≥ 4
e. Montrer que si n≥ 9 alors ∆ ≥ 2 (On pourra distinguer les cas impairs et impairs). Vérifiez ensuite
directement que la relation est vérifiée en 7 et en 8)
Quelques notations et propriétés utiles pour la suite :
• On note J l’ensemble des nombres premiers.
• On considère ;(n) le nombre de nombres premiers compris entre 0 et n.
• Dans toute la suite p désigne un nombre premier, même s’il apparait comme un indice dans une somme ou un
produit.Exemples :
KL = ∗ ∗ N ∗ O
•
PQ 1 = R(S)
L≤ U
T≤
≤S
Soit n un entier naturel non nul. Soit p un nombre premier. On appelle valuation p-adique de n l’entier noté
VL () et égal à l’exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de n.
On admet les propriétés suivantes :
• Si k=VL () alors LW divise n et LW> ne divise pas n.
• Pour tout n∈
∈ℕ* (VL ())L∈ J est nulle à partir d’un certain rang par conséquent on peut écrire
= K LVL()
L ∈J
•
•
Ce produit est un produit fini, il correspond à la décomposition en produit de facteurs premiers de n
∈J XT (YS) = XT (Y) + XT (S)
Enfin ∀(m,n)∈
∈ℕ*², ∀p∈
Soit p∈
∈J. On admet la propriété suivante : XT (ZS ) = Y[\(XT (), XT (), XT (]), … , XT (S))
4. Soit n∈ℕ*. Soit p∈^
a. Montrer que _`a () ≤ . Que vaut bc (Δ ) pour un entier premier p>n ? En déduire que :
Δ = K _`a (∆D )
d()
b. En déduire que Δ ≤ c. En déduire que ∀n ≥ 7 on a ln (2) () ≤ ()
c≤ Vérifier que cette inégalité est vraie aussi pour n∈@3,6B .
Partie III : une majoration de la fonction ; :
1. On cherche ici à majorer simplement le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à n (n∈ℕ*)c’est à dire
g = K L
L≤ a. Soit m ∈ℕ. On note :
ah =
K
h> ic≤ ?h>
_
On considère que 3h =1 losque ‘il n’y a pas d’entiers entre m+2 et 2m+1
Montrer que 3h et (m+1) ! sont premiers entre eux. En déduire que 3h divise (?h>
+
h>
b. Comparer pour m∈ℕ* les deux entiers (?h>
+ - (?h>
+. En déduire que : ∀m∈ℕ* 4h ≥ (?h>
+
h
h>
h>
c. Montrer que ∀m∈ℕ* 3h ≤ 4j
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d. Prouver finalement que g ≤ 4
∀n∈ℕ*
(on pourra montrer par récurrence que ∀n∈ℕ* ∀k∈@1,2B k6 ≤ 46 )
2. a.Montrer par récurrence que ∀x∈ℝ , ∀n∈ℕ, on a
l
=1
Etablir que ∀m∈ℕ* on a o! ≥
h h
pq r
67%
l
/6
(/ − -) n
+
04!
!
%
b. Soit _ , _? , _s ,… la liste croissante des nombres premiers. Justifier que :
d()
(()+! ≤ K _6 = K _
67
c≤ En déduire que( ())! ≤4 puis que () ln(()) − ()≤ t(4)
3. On cherche à démontrer que ∀n ≥ 3 on a () ≤ ()
6
Pour cela on raisonne par l’absurde et on suppose que : ∃ k ≥ 3 tel que (4) > (6)
a. Etudier x↦ xln(x)-x sur [1,+∞[ . En déduire que
b. Montrer que x↦
Conclure
(l)
l
q
(w)
q
<
(
(6))
(6)
est majorée par q sur [1,+∞[
Un peu d’histoire :
La notion de nombres premiers est fondamentale en arithmétique des entiers. On s’est intéressé à ces nombres
dès l’antiquité. On savait depuis cette époque qu’ils étaient en nombre infini (Théorème d’Euclide). Au cours
des âges, on s’est intéressé à leur mystérieuse répartition. Il faudra réellement attendre le XIXème siècle pour
qu’on dispose d’idées et d’outils suffisamment sophistiqués pour mieux comprendre cette problématique. Une
première série d’idées importantes sur le sujet fût introduite par Tchebychev. En 1845, Bertrand conjectura
que pour tout entier n ≥ 2 il existait toujours un nombre premier compris strictement entre n et 2n. Il vérifia sa
conjecture jusqu’au rang 3 000 000, mais il appartient à Tchebychev de la démontrer en 1851. Pour ce faire, il
entreprit de trouver des encadrements (qu’on appelle maintenant « encadrements à la Tchebychev ») de la
fonction ;(). Ces encadrements sont sous la forme y() ≤ ;()≤ z y() pour n ≥ p .
L’objectif était de trouver des constantes a et b les plus proches possibles de 1 pour conclure. Il y arriva en
montrant que cette inégalité est vraie pour a ≈ |. } et b≈ . . Dans ce problème, nous établissons un tel
encadrement avec des constantes a ≈ |. ~} € z ≈ . O trop éloignées de 1 pour pouvoir conclure sur la
conjecture de Bertrand mais c’est tout de même déjà un beau résultat ! Ceci est dû aux méthodes
d’encadrement utilisées. Notons que les méthodes développées dans le sujet sont élémentaires et reposent sur
des idées assez récentes : la minoration de ;()repose sur la minoration du ppcm(1,2,…,n) par et est due à
Nair(1982) et la majoration de ;() repose sur la majoration effective de ∏L≤ L par ] qui est due à
Erdös(1939).
Question subsidiaire : Expliquer en quoi le résultat de Tchebychev permet de démontrer la conjecture de
Bertrand et pourquoi nos inégalités ne suffisent pas.
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Les encadrements de Tchebychev laisse suggérer l’existence d’un lien étroit, en termes de comportement
asymptotiques entre ;() et
. En fait, il avait longtemps été conjecturé, notamment par Gauss et Legendre,
y()
que l’on avait l’équivalence ;() ∼
y()
(ce qui signifie ƒ„Y⟶>∞
l’on appelle Le Théorème des nombres premiers.
Ce que vous avez établi en faisant le sujet montre déjà que la suite
;()
/y()
= ) et constitue le théorème que
;()
/y()
est bornée et que si elle converge sa
limite est entre ln(2) et e. Mais c’est insuffisant pour démontrer le théorème des nombres premiers. Ce théorème
est beaucoup plus difficile et fût démontré par Hadamard et de façon indépendante par De la Vallée Poussin en
1896. Leur approche du problème fut le même et utilise l’analyse complexe.
On peut considérer que les estimations de Tchebychev dont il est question dans ce sujet constituent
historiquement l’une des premières avancées significatives vers le théorème des nombres premiers