Champ magnétique H Champ électrique E

MONTIGNY Eric
TD 2
MONTIGNY Eric
Matière : Electromagnétisme
Date : Novembre 2005.
Travaux Dirigés
Etude d’un câble coaxial
Le but de cet exercice est de déterminer les paramètres par unité de longueur C et L de ce type de câble. Pour cela on considère
que les résultats obtenus en électrostatique peuvent se généraliser au cas d’un mode TEM se propageant dans le câble (même
distribution du champ électromagnétique).
z
a
b
1.
En utilisant la symétrie du problème considérer, indiquer sur un schéma les orientations de E, H, J et B dans le plan de
section du câble :
Le conducteur centrale porte une charge ‘+q’, et le conducteur extérieur porte une charge ‘-q’. Et on sait que le champ
électrique est dirigé du (+) vers le (-), ce qui est illustré sur le croquis ci-dessous :
Champ électrique E
+q
E
E
-q
E
E
Pour le champ magnétique H, il faut appliquer la règle de la main droite (ou du bonhomme d’Ampère, ou du tire bouchon) :
Champ magnétique H
i
+q
-q
H
H
H
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2.
Donner l’expression du champ électrique dans l’isolant en fonction de q :
Q
Il faut appliquer le théorème de Gauss
E.dS = INT , mais il va falloir distinguer plusieurs cas :
ε 0 .ε R
∫∫
SURFACE
RCYLINDRE < a : On se retrouve à l’intérieur d’un conducteur, donc E1 = 0
RCYLINDRE < b : Les charges intérieurs annulent les charges extérieurs, donc E2 = 0.
On va s’intéresser au cas où le rayon d’étude est entre a et b, c'est-à-dire entre les deux conducteurs. On va considérer une
longueur de 1m, afin de pouvoir par la suite avoir des grandeurs ramenées à un mètre.
Q
E.dS = INT
ε 0 .ε R
∫∫
SURFACE
2.π .R RAYON .1.E ( R RAYON ) =
E ( R RAYON ) =
q.1
ε 0 .ε R
q.1m
ε 0 .ε R .2.π .R RAYON .1m
q
ε 0 .2.π .R RAYON
Si on fait le bilan des unités, on a :
q.1m
C.m −1
E ( R RAYON ) =
=
= [C.F −1 ].[m]
ε 0 .ε R .2.π .R RAYON .1m [ F .m −1 ].[m].[m]
E ( R RAYON ) =
[
3.
On a
]
Le conducteur intérieur est au potentiel Va = 300kV et l’enveloppe est au potentiel nul. Quelle relation lie q à Va ?
E = − grad (V ) , et comme on utilise les coordonnées cylindriques, on a :
uZ
uθ
ρ
uρ
Le champ E est uniquement selon Uρ, donc cela nous donne :
E = − grad (V ) =
−∂V
.u ρ
∂ρ
Donc en égalisant avec le champ E trouvé précédemment, cela nous donne :
q

ε 0 .ε R .2.π .R  − ∂V
q
=

− ∂V
∂ρ
ε 0 .ε R .2.π .R
E=
.u ρ 

∂ρ
E=
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Il faut considérer que le rayon d’étude R est identique à ρ, donc on peut procéder à une intégration.
−∂V
q
=
∂ρ
ε 0 .ε R .2.π .ρ
−q
.∂ρ
ε 0 .ε R .2.π .ρ
∂V =
V=
∫ ε .ε
0
V=
−q
.∂ρ
R .2.π .ρ
−q
ε 0 .ε R .2.π
V (ρ ) =
∂ρ
∫ρ
−q
ε 0 .ε R .2.π
. ln( ρ ) + CSTE
On sait que V(a) = 300kV et V(b) = 0, donc :
V (b) =
−q
. ln(b) + CSTE = 0
ε 0 .ε R .2.π
CSTE =
q
ε 0 .ε R .2.π
. ln(b)
Donc on peut déterminer V(a) :
V (a) =
V (a) =
V (a) =
V (a) =
−q
q
. ln(a) +
. ln(b)
ε 0 .ε R .2.π
ε 0 .ε R .2.π
q
ε 0 .ε R .2.π
q
ε 0 .ε R .2.π
.[− ln(a) + ln(b)]
.[ln(b) − ln(a)]
b
. ln 
ε 0 .ε R .2.π  a 
q
Avec cette expression, il est possible de déterminer q, tel que :
b
. ln 
ε 0 .ε R .2.π  a 
2.π .ε 0 .ε R
q=
.V (a)
b
ln 
a
V (a) =
q
En faisant l’application numérique, on aura q = 3.10-5 C.m-1
4. A quelle distance de l’axe, le module du champ E est-il maximal ?
L’expression de E est :
E=
q
ε 0 .ε R .2.π .ρ
Le maximum sera obtenu lorsque ρ sera minimum, c'est-à-dire pour ρ = a.
E MAX

 2.π .ε 0 .ε R

.V (a ) 
ln(b / a )
q
 = V (a)
=
=
ε 0 .ε R .2.π .a
ε 0 .ε R .2.π .a
a. ln(b / a )
En faisant l’application numérique, on aura :
E MAX =
V (a)
= 3,6.10 −8 V .m −1
a. ln(b / a)
Remarque : Si on dépasse Emax, il y aura un claquage du diélectrique, car on ‘tire’ trop sur les charges.
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Quelle relation existe-t-il entre a et b ?
E MAX =
V (a)
= 3,6.10 −8 V .m −1
a. ln(b / a )
3.105 V
= 3,6.10 −8 V .m −1
a. ln(b / a )
a. ln(b / a) =
3.105
3,6.10
−8
= 8,5.10 −4 m
Calculer b en fonction de a pour que le diamètre extérieur soit minimal :
a. ln(b / a ) = K
b = a.e K / A
Dérivons la fonction pour déterminer le minimum :
b = a.e K / A
db
 − K  K/A
= e K / A + a
.e
da
 a² 
db
 K
= e K / A 1 − 
da
A

Cette fonction sera minimum pour a = K.
Donc si a = K = 0,85mm, on aura b = 2,25mm.
5. Quelle est la capacité linéique de ce câble ?
AN : a = 0,65mm, b=2,35mm, ε = 2,26.ε 0 et µ = µ0.
Par définition, on a Q = C.U
2.π .ε 0 .ε R
.[V (a) − V (b)]
b
ln 
a
2.π .ε 0 .ε R
2.π .ε
Q
=
=
Donc C =
V (a) − V (b)
b
b
ln 
ln 
a
a
On a trouvé que q =
Si on fait l’application numérique, on a C = 98pF.m-1
6.
Quelle est l’expression du champ magnétique dans l’isolant en fonction de I ?
On applique le théorème d’Ampère, soit
∫ H .dl = I .
CONTOUR
2.π
Ce qui donne
I
∫ H .ρ.dθ = I , soit H .2.π .ρ = I , ce qui donne H = 2.π .ρ .uθ
0
Remarque : On a appliqué le théorème d’Ampère, en se plaçant en coordonnée cylindrique. Il ne faut pas oublier que la
composante du champ magnétique se trouve selon uθ.
7.
Déterminer l’inductance linéique
Par définition, on a
B = µ0 .H
µ 0 .I
.uθ
2.π .ρ
Ensuite, il faut déterminer le flux de B à travers une surface S qui s’appuie sur le circuit du courant : Φ = L.I .
Donc B =
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ρ =b
Au niveau de l’isolant (entre a et b), on a Φ =
∫
ρ
=a
µ0 .I
.dρ .
2.π .ρ
Après intégration, on aura :
ρ =b
Φ=
∫
ρ
=a
Donc Φ =
µ0 .I
µ .I
.dρ = 0 .
2.π .ρ
2.π
ρ =b
∫
ρ
=a
dρ
ρ
=
µ 0 .I
µ .I  b 
.[ln( ρ )]ba = 0 . ln 
2.π
2.π
a
µ 0 .I  b 
. ln  = L.I
2.π
a
On peut donc aisément en déduire la valeur de L :
Φ=
µ 0 .I  b 
. ln  = L.I
2.π
a
Φ µ0
b
=
. ln 
I
2.π  a 
En faisant l’application numérique, on aura L = 0,25µH.m-1
L=
8.
Calculer les énergies (électrique et magnétique) emmagasinées dans une portion de câble par unité de longueur.
1
1
Welectrique = . ε . E ².dV = .CV ²
2
2
∫
V
Wmagnétique =
1
1
. µ0 . H ².dV = .L.I ²
2
2
∫
V
Si l’on néglige les pertes par conduction et par effet Joule de ce câble, son impédance caractéristique est donné par :
L
On nous donne que : Z =
C
NB : Cette formule peut être retrouvée, car elle est donnée dans le cours…
9.
On va donc pouvoir déterminer l’impédance du câble, en appliquant la formule :
Z=
L
=
C
µ0
b
. ln 
µ
1
2.π  a 
b
. 0 . ln 
=
2.π .ε
2.π
ε
a
b
ln 
a
Si on fait l’application numérique, on a Z = 50Ω.
10. En tenant compte de l’effet de peau, calculer la résistance linéique R du câble :
NB : L’effet de peau consiste en une circulation du champ électromagnétique, qu’au voisinage de la surface du conducteur, sur
2
une épaisseur δ =
. En hautes fréquences, le courant tend à être confiné en surface du conducteur.
w.µ.σ
1 l
l
. = ρ . , avec ρ la densité volumique.
σ S
S
Voyons cela de manière intuitive, avant de nous plonger dans les calculs :
Par définition, on a R =
δ
En BF, le courant est réparti.
En HF, le courant est en surface.
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On nous donne des informations sur la conductivité du cuivre :
σ = 5,8.10 7 Ω −1 .m
On nous informe aussi du comportement fréquentiel :
f = 100Mhz ⇒ δ = 6,60 µm
f = 3Ghz ⇒ δ = 1,20 µm
On voit que plus la fréquence augmente, et plus l’épaisseur de la zone sur laquelle se trouvent les charges, va s’amenuiser.
Etant donné qu’il y a deux conducteurs (le premier est de rayon a, et le second est de rayon b), il va donc falloir en tenir
compte, et cela va se traduire par le fait que la résistance R sera égale à la somme des résistances RA et RB de chacun de ces
deux conducteurs.
Pour le conducteur intérieur, on aura :
1 l
Par définition, on a : R = .
σ S
1
1
Appliqué à notre cas, on a R A = .
σ 2.π .a.δ
Pour le conducteur extérieur, on aura similairement :
1 l
Par définition, on a : R = .
σ S
1
1
Appliqué à notre cas, on a R B = .
σ 2.π .b.δ
La résistance totale sera égale à la somme des deux résistances :
1
1
1
1
R = R A + RB = .
+ .
σ 2.π .a.δ σ 2.π .b.δ
1
1 1
. + 
R=
σ .2.π .δ  a b 
En faisant l’application numérique, on aura :
Pour f = 100Mhz, R = 0,8Ω.m-1
Pour f = 3Ghz, R = 4,4Ω.m-1
11. Déduire la conductance G du câble coaxial :
Essayons de raisonner intuitivement, dans un premier temps. Lorsque le courant I passe d’une armature à l’autre, il s’agit d’un
courant de fuite, ce qui justifie la présence d’une résistance de fuite.
On a une expression (qui nous est donnée) : ε = ε '− jε ' ' .
Il y a un terme imaginaire (la permittivité imaginaire), qui tient compte des pertes dans le coaxial.
Nous avions trouvé que la capacité linéique de ce câble avait pour expression : C =
On sait aussi que l’admittance vaudra y = j.C.w


 2.π .ε  2.π .w


. j.(ε ' jε ' ' )
=
Donc on aura y = j.w.
 ln b   ln b 
  a  
a
2.π .w
2.π .w
.ε '+
.ε ' ' = jw + G
Soit y = j.
b
 
b
ln 
ln 
a
a
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2.π .ε
.
b
ln 
a
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Si on fait un petit (voir même un grand !) croquis, on aura :
ε’
G
ε = ε’ - jε
On a ε’ = 2,28.ε0
A 100Mhz, on a G = 3,1.105 Ω-1.m-1 soit R = 77kΩ.m-1
A 3Ghz, on a G = 32,3 kΩ-1.m-1 soit R = 32 kΩ.m-1
On observe que plus la fréquence est élevée, et plus la résistance R diminue, donc par conséquent, meilleur sera la conduction !
Remarque complémentaire :
Si vous êtes férus des câbles coaxiaux, je vous recommande le livre « Eléments de propagation électromagnétique » de
Philippe ROSNET. A la page 105 il y a une étude similaire à celle que nous venons de faire. En plus, ce livre est très bien
écrit !
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A RETENIR DU TD2
La vue en 2D et 3D d’un câble coaxial :
z
a
b
Les diverses expressions :
Capacité linéique : C =
2.π .ε
b
ln 
a
µ0
b
. ln 
2.π  a 
1
1 1
Résistance linéique : R =
. + 
σ CUIVRE .2.π .δ  a b 
Inductance linéique : L =
Impédance caractéristique : Z =
µ
L
1
b
=
. 0 . ln 
ε
C 2.π
a
L’effet de peau :
L’effet de peau consiste en une circulation du champ électromagnétique, qu’au voisinage de la surface du conducteur, sur une
2
épaisseur δ =
. En hautes fréquences, le courant tend à être confiné en surface du conducteur.
w.µ.σ
δ
En BF, le courant est réparti.
En HF, le courant est en surface.
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