TD N - Université Djillali Liabes

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2éme Année 2016/2017
Univérsité Djillali Liabes de Sidi Bel Abbes
Faculté de Technologie.
EBST
Charg é de cours M r Dif i S
Proba-Stat: T.D. N 1
Exercice 1:
Etablir les identités:
1.
k
k
n−k
Akn1 An−k
n2 Cn = n!Cn1 Cn2 ,
2.
n−p
Cnp Cpm = Cnm Cn−m
,
3.
−k
Cnk1 Cnn−k
Cnk Cnn11+n
2
2 −n
=
Cnn1 +n2
Cnn11+n2
4. Démontrer que, pour tous entiers naturels
n
et
k
tels que
1 ≤ k < n,
on a:
k−1
k
• Cn−1
= Cnk ,
+ Cn−1
k−2
k−1
k
• Cn−2
+ 2Cn−2
+ Cn−2
= Cnk
Exercice 2:
P est une probabilité sur l'univers Ω. A et B sont deux événement tels que:
P (A) = 1/3,
P (B) = 2/5,
P (A
T
S
Calculez : P (A B), P (A B),
T
B̄) = 1/6
T
P (B Ā),
P (A
T
B̄)
Exercice 3:
On jette une pièce de monnaie 3 fois de suite.
• Donner la liste de tous les résultats possibles en notant P pour Pile et F pour Face (exemple
: PPF).
• Donner la probabilité des événements suivants :
A:"le tirage ne comporte que des Piles".
B:"le tirage comporte au moins une fois Face".
Exercice 4:
Ahmed et Mohamed jouent aux dés. Ils lancent tour à tour 2 dés et observent les chires sortis.
Quand la somme est 7 ou le produit 6, Ahmed marque un point ; quand la somme est 6 ou le
produit 4, Mohamed en marque 1. Quelle est la probabilité de gagner pour chacun des deux?
Exercice 5:
Une boîte contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 7 boules jaunes. On tire simultanément 2
boules de la boîte et on suppose que tous les tirages sont équiprobables. Calculez la probabilité
d'obtenir:
a. Deux boules de la même couleur.
b. Deux boules de couleurs diérentes.
Exercice 6:
On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On note :
2
C l'événement : "La carte choisie est une gure (valet, dame, roi)".
1) Présenter un modèle mathématique decrivant l'expérience aléatoire.
2) Déterminer les probabilités des évènements A,B,C,A
T
B, B
T
C, A
S
B, A
S
C.
3) Déterminer la probabilité de l'événement D "La carte choisie n'est ni un pique ni une gure"
Exercice 7:
Une échette est lancée au hazard sur une cible circulaire de rayon 30cm. On suppose que la
échette atteint la cible avec une probabilité 1. On trace sur la cible trois cercles concentriques de
rayons respectifs 10, 20 et 30cm. Le joueur gagne 20, 10 ou 5 points selon la région qu'il atteint.
1. Donnez l'espace fondamental des résultats.
2. Donner la distribution de probabilité du gain du joueur.
Exercice 8:
On lance un dé à 6 faces. On suppose que la probabilité d'apparition de chaque face est proportionnelle au numéro écrit sur elle.
• Calculer la probabilité d'apparition de chaque face.
• Calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair.
Exercice 9:
On choisit deux boules au hasard dans une urne contenant 8 blanches, 4 noires et 2 oranges.
Supposons que l'on reçoive 2 euros pour chaque boule noire tirée et que l'on perde 1 euro pour
chaque boule blanche tirée. Désignons les gains nets par X.
Quelle sont les valeurs possibles pour X et les probabilités associées à ces valeurs?
Quelle est l'espérence de X?
Exercice 10:
A l'oral d'un examen, un étudiant doit répondre à 8 questions sur un total de 10.
Combien de choix possibles y a-t-il?
Combien de choix possibles y a-t-il s'il doit répondre aux 3 premières questions?
Combien de choix y a-t-il s'il doit répondre au moins à 4 des 5 premières questions?