MPSI B DS 5 le 17/01/14 e(n) = 1. d(n) est le nombre de diviseurs de n dans N. σ(n) est la somme des diviseurs de n dans N. fonction indicatrice d'Euler : φ(n) est le nombre de k ∈ J1, nK premiers avec n. On pose aussi φ(1) = 1. fonction de Pillai (somme de pgcd) Exercice On désigne par cotan la fonction cotangente 1. a. Préciser les racines 5-èmes de e 2iπx cos sin . 22 mai 2017 Soit x un nombre réel non entier. . Z+1 b. Soit θ réel (θ 6≡ 0 mod 2π ), simplier i Z−1 pour Z = eiθ . 2. Déterminer les racines du polynôme complexe (X − i)5 (i + cotan(πx)) + (X + i)5 (i − cotan(πx)) β(n) = k=0 π cotan((x + k) ), 5 4 Y k=0 fonction de Möbius 1 µ(n) = 0 (−1)s π cotan((x + k) ) 5 Problème 1. Fonctions arithmétiques. si n est divisible par un carré d'entier autre que 1 si n est le produit de s nombres premiers distincts Partie I. Structure d'anneau Une fonction arithmétique est une fonction dénie dans N∗ et à valeurs complexes. On note F l'ensemble des fonctions arithmétiques et on dénit deux opérations notées + et ∗ (∗ est appelée la convolution de Dirichlet ) sur F . (f + g)(n) = f (n) + g(n) X X 2 ∗ n ∀(f, g) ∈ F , ∀n ∈ N : (f ∗ g)(n) = f (d1 )g(d2 ) = f (d)g( ) d Une fonction arithmétique f est dite si n = 1 On rappelle que 1 n'est pas un nombre premier. Ces notations sont valables dans tout le problème. Pour tout naturel non nul n, on désigne par D(n) l'ensemble des diviseurs de n dans N et par C(n) l'ensemble des couples de diviseurs : C(n) = (d1 , d2 ) ∈ N2 tq d1 d2 = n (d1 ,d2 )∈C(n) k∧n k=1 3. En déduire des expressions simples pour la somme et le produit 4 X n X 1. Exemples a. Calculer β(6). Calculer (σ ∗ µ)(12). b. Montrer que e∗e et I ∗e sont des fonctions dénies dans l'introduction (à préciser). c. Soit p un nombre premier. Former une relation entre φ(p), σ(p), p et d(p). Que vaut (µ ∗ e)(pm ) pour m naturel non nul ? 2. d∈D(n) a. Montrer que l'opération ∗ est commutative. b. Montrer que e0 est l'élément neutre de l'opération ∗. multiplicative lorsque : c. Pour tout n ∈ N∗ , on note ∗2 ∀(p, q) ∈ N , p ∧ q = 1 ⇒ f (pq) = f (p)f (q) T (n) = (d1 , d2 , d3 ) ∈ N3 tq n = d1 d2 d3 On dénit des fonctions arithmétiques particulières par l'image d'un naturel non nul n quelconque. I(n) = n( 1 si n = 1 e0 (n) = 0 si n > 1 Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ Démontrer, en utilisant T (n) que l'opération ∗ est associative. Les autres propriétés se vériant facilement, on pourra utiliser dans la suite du problème que (F, +, ∗) est un anneau commutatif d'élément unité e0 . 3. Fonctions multiplicatives 1 Rémy Nicolai S1305E MPSI B DS 5 le 17/01/14 a. Soit m et n deux nombres naturels non nuls et premiers entre eux. Montrer que l'application ( D(m) × D(n) → D(mn) P : (a, b) 7→ ab Problème 2. Polynômes positifs. On dira qu'un polynôme est réel lorsque que tous ses coecients sont réels. On dira qu'il est positif lorsqu'il est réel, non nul et que tous ses coecients sont positifs ou nuls. On dira qu'il est à valeurs positives lorsqu'il est réel et que est bijective. ∀x ∈ R, Pe(x) ≥ 0 b. Soit f et g deux fonctions multiplicatives, montrer que f ∗ g est multiplicative. c. Montrer que les fonctions I , e0 , e, d, σ , µ sont multiplicatives. 1. Déterminer, pour les polynômes suivants, s'ils vérient ou non les propriétés dénies au dessus 1 X 2 + X + 1, X 2 − X + 1, X 2 + 2X + 2 4. Norme d'une fonction. Pour toute fonction arithmétique f non nulle, on dénit sa norme N (f ) par N (f ) = min {k ∈ N∗ tq f (k) 6= 0} 2. Soit m un entier non nul. Déterminer l'ensemble des θ de ]0, π[ vériant Soit f et g des fonctions arithmétiques non nulles, montrer que f ∗ g est non nulle et que N (f ∗ g) = N (f )N (g). sin 2θ ≥ 0, sin 3θ ≥ 0, · · · , sin(m + 1)θ ≥ 0 3. Soit C = X 2 + c1 X + c2 un polynôme réel sans racine réelle. Ses racines complexes sont notées u1 et u2 avec Im u1 > 0. On note φ ∈] − π, π] l'argument principal de u1 et r son module. Partie II. Inversion de Möbius et applications. 1. a. Montrer que µ ∗ e = e0 . b. Soit f et g deux fonctions arithmétiques, montrer que a. Soit m ∈ N∗ . Montrer que le polynôme f =g∗e⇔g =f ∗µ 2. Dm = (X m+1 − um+1 )(X m+1 − um+1 ) 1 2 a. Soit n un naturel non nul, d et δ des diviseurs de n tels que n = dδ . On introduit deux ensembles F = {k ∈ J1, dK tq k ∧ d = 1} 22 mai 2017 est réel. Sous quelle condition sur m et φ est-il positif ? b. Préciser, sous la forme d'un produit, un polynôme Bm tel que Bm C = Dm . ∆ = {s ∈ J1, nK tq s ∧ n = δ} c. On pose Bm = b0 + b1 X + · · · + b2m X 2m . Pour k ∈ {0, · · · , m}, exprimer bk et b2m−k sous une forme trigonométrique simple. Montrer que k 7→ δk dénit une bijection de F vers ∆. Comment s'exprime le nombre d'éléments de F ? d. Montrer qu'il existe un entier m tel que Bm et Dm soient positifs. b. Discuter, suivant le paramètre a ∈ J1, nK du nombre de solutions de l'équation n ∧ x = a d'inconnue x ∈ J1, nK. 4. Soit C un polynôme réel, de coecient dominant strictement positif, sans racine réelle. Montrer qu'il existe deux polynômes positifs B et D tels que BC = D. c. Montrer que I = e ∗ φ puis que φ = I ∗ µ. d. Montrer que β ∗ e = I ∗ I . 3. Théorème de Makowski a. Montrer que σ ∗ φ = I ∗ I b. Montrer que, si n est un naturel non nul vériant φ(n) + σ(n) = nd(n), alors n est un nombre premier. Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 2 Rémy Nicolai S1305E