Trous noirs de Chern-Simons à trois dimensions

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE FERHAT ABBAS–SETIF1 (ALGERIE)
THESE
Présentée à la Faculté des Sciences
Département de Physique
Pour l’Obtention du Diplôme de
DOCTORAT EN SCIENCES
Option : Physique Théorique
Présentée par
GUENNOUNE HAKIM
THEME
Trous noirs de Chern-Simons à trois dimensions
Soutenue Publiquement le : .
Devant la commission d’examen :
Pr. H. HACHEMI
Pr. K. AIT MOUSSA
Pr. N. BELALOUI
Pr. T. BOUDJEDAA
Pr. K. NOUICER
Pr. S. HOUAMER
Pr. G.CLEMENT
Président
Professeur Université Ferhat Abbas Sétif
Rapporteur Professeur Université Constantine
Examinateur Professeur Université Constantine
Examinateur Professeur Université Jijel
Examinateur Professeur Université Jijel
Examinateur Professeur Université Ferhat Abbas Sétif
Invité
Directeur de Recherche C.N.R.S
Table des matières
1 Introduction
2 Trous noirs
6
10
2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2
Diagrammes de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3
Thermodynamique des trous noirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Gravitation à trois dimensions et termes de Chern-Simons
21
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2
Electrodynamique et gravitation topologiquement massive . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3
Equations réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Trous noirs de Chern-Simons
26
4.1
Solutions trous noirs de TMGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2
Structure globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3
Masse, moment angulaire et thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4
Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.1
Vecteurs de Killings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.2
Générer des trous noirs du vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
52
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2
L’action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3
Les équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
TABLE DES MATIÈRES
5.4
5.5
5.6
2
Métrique et champ dilatonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4.1
Expression du champ dilatonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4.2
Métrique des solution trous noirs de la théorie TME dilatonique . . . . . . . 59
Structure globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.1
Régularité de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.2
Diagrammes de penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Masse, moment angulaire et thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Conclusion Générale
68
A Relativité Générale
70
B Vecteur et équation de Killing
74
Table des …gures
2.1
Diagramme de Penrose pour l’espace-temps de Minkowski représenté par le losange
et la ligne r = 0: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2
Diagramme de Penrose de la solution (2.3) représentant l’extention analytique maximale de l’espace-temps de Schwarzschild. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1
Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans le cas où 0 <
2 =(1
0
2
2
< 1, ! 2 >
) et ! > 0. Il est similaire au diagramme de Penrose du trou noir de
Reissner-Nordström. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2
Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans le cas 0 < 2 < 1; ! > 0 et 0 = 0,
p
ainsi que dans le cas 2 = 1; ! > 2u et u > 0. C’est deux cas ont un diagramme
similaire à celui du trou noir extrême de Reissner-Nordström. . . . . . . . . . . . . . 37
4.3
2
Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans le cas 0 <
< 1 et ! 2 <
2 =(1
0
2
)
similaire à celui du trou noir de Kerr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4
Diagramme de Penrose de la solution(4.34) déduite de la solution (4.17) dans le cas
exceptionnel ! =
0 =(1
2
) avec 0 <
2
< 1. Ce diagramme est similaire au trou
noir de Schwarzschild de la …gure 2.2 mais avec une singularité
4.5
Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans la cas
2
=
0.
. . . . . . . 40
= 1; ! 2 < 2u et
0
= 0.
Il est similaire au diagramme de Penrose du trou noir de Kerr extrême. . . . . . . . 40
4.6
Diagramme de Penrose de la solution (4.17), dans le cas exceptionnel
et ! > 0. La singularité de genre lumière
2
= 1; u = 0
= 0 et représentée par une double ligne
inclinée de 45 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.7
Diagramme de Penrose de la solution (4.24), dans le cas
2
= 0 et ! >
=2. Ce
diagramme est similaire à celui donnée par la métrique de Rindler. . . . . . . . . . . 42
TABLE DES FIGURES
5.1
4
Les deux morceaux composant le diagramme de Penrose de la structure conforme de
la solution de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2
Diagramme de Penrose de la solution (5.50) dans le cas
1
q < 0 ou, qui est
similaire au diagramme de Penrose de la solution de Schwarzschild.
. . . . . . . . . 65
Remerciements
Ce travail a été e¤ectué au Département de Physique de l’université Ferhat Abbas de Sétif1
et au Laboratoire d’Annecy-le-Vieux de Physique Théorique (LAPTH) en France en collaboration
avec Monsieur Gérard Clément Directeur de recherche au C.N.R.S.
Que Monsieur le Professeur Karim Ait-Moussa, Directeur de ma thèse et notre cher collaborateur Monsieur Gérard Clément, qui me fait l’honneur d’accepter d’être invité à la soutenance de ma
thèse, reçoivent toute l’expression de ma reconnaissance pour m’avoir proposé ce sujet de recherche
et m’avoir ouvert les portes de la Relativité Générale et des trous noirs, pour tout leur dynamisme
et leurs compétences scienti…ques qui m’ont permis de mener à bien cette étude.
Monsieur le professeur H. Hachemi m’a honoré en acceptant de présider la commission d’examen.
Je le remercie vivement.
Je remercie les professeurs N. Belaloui, T. Boudjedaa, K. Nouicer ainsi que S. Houamer d’avoir
bien voulu être les examinateurs de mes travaux de thèse.
Je tiens aussi à remercier mon père pour les e¤orts qu’il a fait pour que je puisse réussir dans
la vie. Un de ses buts était de me voir soutenir et je suis très heureux de lui o¤rir ce cadeau.
Chapitre 1
Introduction
Le vocable "trou noir" a été employé pour la première fois en 1967 par John Wheeler. Pourtant,
l’histoire des trous noirs a commencé bien plus tôt : en 1784, le révérend anglais John Michell
imaginait déjà l’existence d’étoiles invisibles dans le cadre de la théorie newtonienne de la gravitation. La notion de trou noir a émergé et a été développée dans le cadre de la relativité qu’Einstein
a achevée en 1915. Dans cette théorie, la gravitation se manifeste par des propriétés de l’espacetemps, dont la structure est modi…ée par la présence de matière-énergie. L’espace-temps n’est
plus une entité absolue indépendant de ce qu’il contient, mais possède une structure géométrique
non-euclidienne déterminée par son contenu en matière-énergie. Au début, Einstein était sceptique
quant à la détermination de solutions exactes aux équations de la relativité générale tant elles
paraissaient complexes. Pourtant, à peine quelques mois après cette publication, le physicien allemand Karl Schwarzschild trouve une solution de cette équation décrivant le champ gravitationnel
extérieur d’une distribution de masse à symétrie sphérique. Plus tard, avec l’émergence du concept
de trou noir, on s’est rendu compte que cette solution pouvait représenter l’extérieur d’une étoile
en e¤ondrement ainsi que l’intérieur et l’extérieur de l’horizon du trou noir formé à la …n de cet
e¤ondrement. L’existence des trous noirs a ensuite pu être con…rmée grâce à nos connaissances actuelles sur les mécanismes de formation et de mort des étoiles. En e¤et, à la …n de sa vie, une étoile
massive explose ( Supernova) en expulsant ses couches extérieures, tandis que son coeur s’e¤ondre
en donnant ou bien une étoile à neutron (si sa masse est inférieure à trois fois la masse solaire),
ou bien un trou noir (si sa masse est supérieure à trois fois la masse solaire). Aujourd’hui, l’existence des trous noirs est une certitude pour la quasi-totalité des astrophysiciens et des physiciens
Chapitre 1 : Introduction
7
théoriciens.
En astrophysique, on appelle trou noir un objet massif dont le champ gravitationnel est si
intense qu’il empêche toute forme de matière ou de rayonnement de s’en échapper. Les trous noirs
représentent une concentration de masse si compacte que même les photons ne peuvent se soustraire
à leur force gravitationnelle. Ils sont quali…és de "noirs" car ils n’émettent pas de lumière. Puisque
la lumière ne peut s’échapper des trous noirs, ce sont des objets invisibles qui ne peuvent pas être
observés directement. En relativité générale, un trou noir est une région de l’espace-temps d’où
aucun photon ne peut s’échapper et atteindre l’in…ni ; les événements se produisant dans cette région
n’ont aucune in‡uence causale sur le reste de l’espace-temps. La frontière immatérielle entre le trou
noir et le reste de l’univers est appelée horizon des événements. C’est une partie tridimentionnelle de
l’espace-temps (hypersurface) et toute coordonnée de genre espace à l’extérieur de l’horizon devient
de genre temps à l’intérieur et vice versa. Le cône de lumière de tout observateur franchissant cet
horizon bascule et tout retour en arrière est exclu. L’horizon des événements est une structure
globale de l’espace-temps, c’est-à-dire qu’aucune experience locale de physique ne peut révéler le
passage de l’observateur à travers l’horizon.
Comme toute théorie classique, la gravitation a vocation à être quanti…ée et uni…ée avec les
autres interactions. Cela est la motivation majeure de théories uni…catrices telle la théorie des
cordes. Cependant, elle est restée rebelle à toute tentative : il n’ y a pas de théorie quantique
satisfaisante de l’intéraction gravitationnelle. Comme souvent en de telle circonstance en physique,
on essaie de simpli…er le problème en établissant des modèles simples qui peuvent faire avancer
notre compréhension des choses. Une voie dans ce sens consiste à réduire le nombre de dimensions :
on s’intéresse ainsi à la gravitation à trois dimensions.
La gravitation à trois dimensions admet une variété de solutions trous noirs. La première solution découverte est celle de Banados-Teitelboim-Zanelli (BTZ). C’est une solution trou noir de la
gravitation pure à trois dimensions avec une constante cosmologique négative [1]. Mais cette théorie
de la gravitation pure à trois dimensions n’est pas dynamique ; il n’y a ni ondes gravitationnelles
dans la théorie classique ni gravitons en propagation dans la théorie quantique. La gravitation
topologiquement massive à trois dimensions (TMG) [2], qui est la gravitation d’Einstein à trois
dimensions avec un terme de Chern-Simons de la gravité, n’a pas cet inconvénient. Cette théorie
est dynamique et décrit la propagation d’un graviton massif de spin 2.
Chapitre 1 : Introduction
8
Le but de ce travail et de construire et d’analyser des solutions trous noirs de la gravitoélectrodynamique topologiquement massive (TMGE) qui est une théorie d’Einstein-Maxwell à trois
dimensions augmentée de deux termes de Chern-Simons de la gravitation et de l’électromagnétisme,
c’est-à-dire la théorie de la gravitation topologiquement massive (TMG) couplée à la théorie de
l’électrodynamique topologiquement massive (TME). Dans [3], deux classes de solutions exactes
de cette théorie ont été obtenues en utilisant un ansatz adéquat. La première classe sont des solutions stationnaires self-duales géodésiquement complètes, la deuxième sont des solutions statiques
diagonales.
Dans le deuxième chapitre, nous ferons une brève introduction historique sur les trous noirs et les
premières solutions exactes de l’équation d’Einstein, tout en introduisant la notion de diagrammes
de Penrose et ensuite nous parlerons du lien entre trous noirs et thermodynamique.
Dans le troisième chapitre, on introduit la théorie dynamique de la gravitation topologiquement
massive à trois dimensions (TMG), ensuite la théorie de la gravito-électrodynamique topologiquement massive à trois dimensions (TMGE), puis on utilise la procédure de réduction dimensionnelle
[3] à cette dernière théorie, pour trouver les équations du champ pour les solutions à deux vecteurs
de Killing.
Dans le quatrième chapitre, l’utilisation du même ansatz que dans [5] donne trois types de
solutions trous noirs (selon les valeurs des paramètres du modèle) dépendant génériquement de
deux constantes d’intégration. Ensuite nous analyserons la structure globale de nos trous noirs.
L’extension analytique à travers les deux horizons montre que ces solutions sont géodésiquement
complètes mais il y a présence de courbes fermées de genre temps pour certains domaines des
paramètres. Nous montrerons que dans ce dernier cas, il est possible d’a¢ ner davantage le domaine
des paramètres a…n que la région acausale soit caché derrière l’horizon des événements. Le calcul
de la masse et du moment angulaire des trous noirs de TMG a présenté un dé… qui a été relevé
avec succès dans [4]. Nous allons utiliser la même méthode pour TMGE en donnant les dé…nitions
de la masse, du moment angulaire, la température de Hawking et la vitesse angulaire de l’horizon
ensuite on les calculera pour le cas des trous noirs de TMGE, tout en remarquant qu’elles véri…ent,
pour tous les cas, la première loi de la thermodynamique des trous noirs pour les variations des
paramètres des trous noirs ainsi que la relation intégrale de Smarr. En…n, nous montrons que nos
trous noirs admettent quatre vecteurs de Killing locaux générant soit l’algèbre sl(2; R)
R ou
Chapitre 1 : Introduction
9
bien (dans un cas particulier) une algèbre de Lie résoluble. L’existence de ces quatre isométries
locales suggère que pour un ensemble donné de paramètres du modèle, les solutions trous noirs qui
dépendent de constantes d’intégrations di¤érentes peuvent être transformées en d’autres par des
transformations de coordonnées locales que nous donnons explicitement.
Dans le cinquième chapitre, on cherchera à trouver des solutions trou noir pour la théorie de
l’électrodynamique topologiquement massive (TME) couplée à un champ scalaire
appelé dilaton.
On utilisera un nouvel ansatz qui dépendra d’un paramètre q et on trouvera une nouvelle classe
de trous noirs qui ne sont réguliers que pour certains domaines des paramètres de ces dernièrs.
Comme pour TMGE, on étudiera la structure globale et on calculera la masse, le moment angulaire
et ensuite on étudiera la thermodynamique des trous noirs de cette théorie.
Chapitre 2
Trous noirs
2.1
Introduction
Au XX e siècle, et plus exactement en 1915, Einstein posa les fondements de la relativité générale. Aprés avoir dé…ni le principe d’équivalence, Einstein abondonna l’espace euclidien et utilisa
un autre espace courbe développé par le mathématicien B.Riemann. Ainsi l’espace-temps en relativité générale est une variété pseudo-riemannienne donnant un aspect géométrique de l’interaction
gravitationnelle. Sur cette variété on dé…nit le carré de la distance entre deux points in…niment
voisins appelé métrique en fonction du tenseur métrique g
ds2 = g dx dx
où x
(2.1)
(x0 = ct coordonnée temporelle, x1 ; x2 ; x3 coordonnées spatiales) est un système de coor-
données quelconque. Dans ce cadre mathématique, le principe d’équivalence s’expime par le fait que
localement, c’est-à-dire au voisinage d’un point d’espace-temps, on peut toujours trouver un système de coordonnées dans lequel l’intervalle (2.1) se réduit à l’ordre zéro à la métrique de Minkowski
ds2M in =
dx dx avec
= diag( 1; 1; 1; 1): Pour Einstein, le champ qui décrit la géométrie
de l’espace-temps et qui décrit aussi le champ gravitationnel n’est autre que le tenseur métrique
g :Partant du principe d’équivalence, il réussit à trouver les équations dynamiques pour le champ
de gravitation qui relient cette métrique au tenseur d’énergie-impulsion T
de la distribution de matière), du tenseur de Ricci R
(la densité d’énergie
et de la courbure scalaire R; appelées les
Chapitre 2 : Trous noirs
11
équations d’Einstein de la gravitation :
R
1
8 G
g R= 2 T
2
c
(2.2)
Ces équations sont hautement non linéaires et de ce fait leur résolution n’est pas du tout
chose aisée, mais des solutions analytiques exactes existent. Parmi ces solutions, il y a les solutions
stationnaires avec des symétries spaciales (sphérique par exemple).
Voyons maintenant comment on dé…nit la symétrie sphérique et la stationnarité en relativité
générale. Un espace-temps est dit stationnaire s’il existe un système de coordonnées x tel que les
composantes g
du tenseur métrique soient indépendantes de t (@t g
= 0), t étant une coordonnée
telle que le vecteur @t soit de genre temps. Cette propriété fait de ce vecteur un générateur de
symétrie de l’espace-temps : le tenseur métrique ne varie pas lorsqu’on suit les lignes de champ de
ce vecteur. On dit que @t est un vecteur de Killing du nom du mathématicien allemand Wilhelm
Killing (1847-1923). Un espace-temps stationnaire dont le vecteur de Killing @t est orthogonal
aux hypersurfaces
t
dé…nies par t = cste est quali…é de statique. Par ailleurs, on dit qu’un
espace temps est à symétrie sphérique s’il existe un système de coordonnées tel que les surfaces
ft = const; r = constg sont à courbure constante positive.
La première solution exacte des équations d’Einstein et la solution qui décrit un champ gravitationnel à l’extérieur d’un corps massif sphérique et statique de masse M
ds2 =
1
2GM
r
dt2 + 1
2GM
r
1
dr2 + r2 d
2
+ sin2 d'2
(2.3)
Cette solution fut découverte par Karl Schwarzschild en 1916, peu avant sa mort et quelques mois
aprés les équations d’Einstein. Elle est l’unique solution à symétrie sphérique des équations d’Einstein sans source (Birkho¤ [6], 1923). La constante rS = 2GM est appelée le rayon de Schwarzschild
et elle est reliée à la masse M du corps massif qui engendre le champ gravitationnel. La première
constatation à faire est que l’espace-temps de cette solution de Schwarzschild est statique et à symétrie sphérique. En e¤et, les composantes de la métrique sont clairement indépendantes de t et, pour
r > 2M G; @t est du genre temps et donc l’espace-temps est stationnaire ; de plus, les composantes
g
étant diagonales, le vecteur @t est clairement orthogonal aux hypersurfaces t = const:, ce qui
montre que l’espace temps est statique. Quant à la symétrie sphérique, on voit bien que la métrique
de Schwarzschild est bien celle d’une métrique à symétrie sphérique. Par ailleurs, l’espace-temps décrit par la métrique de Schwarzschild est asymptotiquement plat : lorsque r ! +1, les composantes
Chapitre 2 : Trous noirs
g
12
se réduisent aux composantes de la métrique de Minkowski en coordonnées sphériques
ds2 =
dt2 + dr2 + r2 d
2
+ sin2 d'2
On constate aussi que les composantes g00 et grr sont singulières pour r = 2GM . Cette singularité apparente a été d’abord considérée comme une vraie singularité et c’est pour cette raison
que la région 0 < r < 2GM fut longtemps considérée comme non physique et que la solution
de Schwarzschild représente seulement le champ de gravitation extérieur. L’extension analytique
maximale de la solution de Schwarzschild qui montre, entre autres, que la surface r = 2GM n’est
pas une vraie singularité, à été réalisée par Kruskal [7] et Szekeres [8]. On dit qu’un espace-temps a
une extension maximale si chaque géodésique est dé…nie pour toutes les valeurs du paramètre a¢ ne
excepté si elle se termine sur une singularité du tenseur de Riemann. On va exposer comment on
peut étendre analytiquement un espace-temps, entre autre celui de Schwarzschild. Pour celà nous
introduisons le temps retardé u et le temps avancé v de la métrique de Schwarzschild
u = t
r
rS ln(r
rS )
v = t + r + rS ln(r
rS )
(2.4)
Les courbes u = const sont les géodésiques radiales sortantes de genre lumière. Ces coordonnées
permettent d’écrire la métrique (2.3) sous la forme
ds2 =
rS
dudv + r2 d
r
1
2
+ sin2 d'2
(2.5)
Introduisons maintenant les coordonnées U et V par
U
=
exp(
V
= exp(
u
)
2rS
v
)
2rS
(2.6)
dont le domaine de variation est U < 0 et V > 0: La métrique devient :
ds2 =
4rS2
r
exp(
)dU dV + r2 d
r
rS
2
+ sin2 d'2
(2.7)
r étant une fonction implicite de U V:
Nous constatons que les composantes de la métrique sont régulières en r = rS . Nous prolongeons
donc le domaine de variation de U et de V à U > 0 et V < 0 en gardant la même forme fonctionnelle
en U et V des composantes. C’est ce qu’on appelle l’extension maximale de Kruskal.
Chapitre 2 : Trous noirs
13
L’émergence du concept de trou noir [9] a permis de réaliser que la solution de Schwarzschild
représente l’extérieur d’une étoile en e¤ondrement ou encore l’intérieur et l’extérieur de l’horizon
d’un trou noir statique formé à la …n de cet e¤ondrement. Notons que c’est l’existence d’un horizon
des événements qui détermine un trou noir et non l’existence d’une vraie singularité (r = 0 pour
Schwarzschild). Une singularité qui n’est pas entourée d’un horizon des événements est appelée
singularité nue. La conjecture de censure cosmique stipule que tout e¤ondrement gravitationnel
conduit à un trou noir et non à une singularité nue.
Pour être plus réaliste, on décrit les trous noirs réels par des solutions incluant la rotation. La
solution de Schwarzschild, qui est statique, ne fournit alors qu’une description approchée. Les trous
noirs étant accélérés par l’accrétion de matière, on s’attend à ce que les trous noirs réels soient en
rotation rapide. la description par la métrique de Schwarzschild n’est alors plus satisfaisante. Une
solution exacte de l’équation d’Einstein décrivant un corps massif en rotation a été découverte en
1963 par le mathématicien néo-zélandais Roy Kerr [10]. De plus cette solution recouvre tous les
trous noirs stationnaires en rotation. La métrique de Kerr s’écrit
ds2 =
1
2GM r
2
dt2
4GM ar sin2
2
2
dtd'+
dr2 + 2 d 2 + r2 + a2 +
2GM a2 r sin2
2
sin2 d'2
(2.8)
où
2
= r2 + a2 cos2
= r2
2GM r + a2
(2.9)
M est la masse du trou noir et a est relié au moment angulaire du trou noir J par
a=
J
M
L’espace-temps de Kerr est stationnaire et axisymétrique. En e¤et, les composantes g
(2.10)
sont
indépendantes des coordonnées t et '; et donc cet espace-temps possède deux vecteurs de Killing @t
et @' . Cet espace-temps n’est pas statique car @t n’est pas orthogonal aux hypersurfaces t = const,
en raison de l’existence du terme croisé gt' : Comme la métrique de Schwarzschild, la métrique de
Kerr est asymptotiquement Minkowskienne.
L’intérêt de la métrique de Kerr pour l’astrophysique vient du théorème d’unicité démontré
au début des années 1970 par Brandon Carter [11] et Robinson [12]. Ce théorème stipule que
Chapitre 2 : Trous noirs
14
tous les trous noirs stationnaires, axisymétriques et non chargés sont décrits par la métrique de
Kerr et sont caractérisés seulement par deux paramètres : sa masse et son moment angulaire.
Il n’existe pas d’équivalent axisymétrique du théorème de Birkho¤; autrement dit, la métrique
de Kerr n’est pas la solution de l’équation d’Einstein à l’extérieur d’une étoile axisymétrique en
rotation. Elle ne décrit que les trous noirs. Les solutions de Schwarzschild et de Kerr constituent
les seules solutions statiques à symétrie sphérique et stationnaire axisymétrique, respectivement,
de l’équation d’Einstein sans source.
Dans la théorie d’Einstein Maxwell, les solution de Reissner-Nordström et de Kerr-Newman
sont les généralisations avec charge des solutions de Schwarzschild et de Kerr respectivement. Ce
sont des solutions trous noirs de la relativité générale avec source.
Toutes les solutions précédemment citées sont asymptotiquement Minkowskiennes. Il existe des
solutions avec un comportement asymptotique di¤érent qui sont les solutions de de-Sitter (dS) et
Anti-de-Sitter (AdS). Ces solutions sont celles de la relativité générale avec constante cosmologique
( > 0 pour dS et
2.2
< 0 pour AdS).
Diagrammes de Penrose
Le diagramme de Carter-Penrose a été introduit pour clari…er ce qu’on entend par in…ni d’un
espace-temps einsteinien. Nous remarquons d’abord que la structure causale de l’espace-temps n’est
pas a¤ectée par l’introduction d’un facteur conforme pour la métrique
de
s2 =
2
(x)ds2
avec
6= 0
(2.11)
conduisant à une métrique qui n’est pas physique (ce n’est pas la solution des équations d’Einstein
sans source). Nous allons choisir
de telle sorte que l’in…ni devienne une frontière régulière pour
la métrique conforme.
Ce diagramme permet de représenter l’espace-temps en entier sur une feuille de papier en
donnant une vision globale de ce dernier. Pour bien nous familiariser avec ce genre de diagrammes
et comment les construire, nous allons d’abords examiner l’espace-temps de Minkowski puis celui
de Schwarzschild. Avec le temps retardé u = t
r et le temps avancé v = t + r, la métrique de
Minkowski s’écrit
ds2 =
dudv +
1
(v
4
u)2 d
2
+ sin2 d'2
(2.12)
Chapitre 2 : Trous noirs
15
Les points situés à l’in…ni (r = 1 et t =
alors que r = 0 et sin
1) ne font pas partie de l’espace-temps de Minkowski
= 0 sont des singularités de coordonnées. En faisant le changement de
coordonnées qui suit, les points situés à l’in…ni prennent des valeurs …nies
u = tan U;
où V
U puisque r
v = tan V
avec
2
<U <
2
et
2
<V <
2
(2.13)
0. La métrique prend la forme
ds2 = (2 cos U cos V )
2
4dU dV + sin2 (V
2
U )(d
+ sin2 d'2 )
(2.14)
L’in…ni correspond bien à des coordonnées …nies U et V et cela est su¢ sant pour dessiner le
diagramme de Penrose. Cependant, ces points restent à distance géodésique in…nie à cause du
terme (2 cos U cos V )
par le facteur
2
. Pour les amener à distance géodésique …nie, nous multiplions la métrique
(U; V ) = (2 cos U cos V ) ; obtenant ainsi une métrique régulière en ces points
de
s2 =
4dU dV + sin2 (V
2
U )(d
+ sin2 d'2 )
(2.15)
On remarque que les singularités de coordonnées sont toujours présentes dans le nouveau système de
coordonnées (en U = V et en sin = 0) et nous pouvons considérer aussi bien les valeurs positives
de r (V > U ) que les valeurs négatives de r (V < U ). Introduisons, pour …nir, les coordonnées
T = U + V;
X=V
U
avec
T
X
(2.16)
qui nous permettent d’écrire la métrique
de
s2 =
dT 2 + dX 2 + sin2 X(d
2
+ sin2 d'2 )
(2.17)
Le diagramme de Penrose ne prend en compte que la partie (T; X) de la métrique et néglige
les coordonnées angulaires. On obtient de cette manière la …gure 2.1 en se rappelant que l’espacetemps de Minkowski (2.4) ne contient pas les points situés à l’in…ni, c’est-à-dire que la métrique de
Minkowski est représentée par l’intérieur de la partie droite du losange (r > 0) plus la ligne r = 0.
Il y a plusieurs types d’in…nis dans le diagramme de Penrose notés i0 ; i et I
i0
l’in…ni de genre espace :(r ! 1; t f ini) ) (T = 0; X = )
i+
l’in…ni de genre temps futur :(t ! 1; r f ini) ) (T = ; X = 0)
i
l’in…ni de genre temps passé :(t !
1; r f ini) ) (T =
I+
l’in…ni de genre lumière futur : ((t + r) ! 1; (t
; X = 0)
r)f ini) ) (T =
X; 0 < X < )
Chapitre 2 : Trous noirs
16
Fig. 2.1 –Diagramme de Penrose pour l’espace-temps de Minkowski représenté par le losange et
la ligne r = 0:
Chapitre 2 : Trous noirs
I
17
l’in…ni passé de genre lumière :((t
r) ! 1; (t + r)f ini) ) (T =
+ X; 0 < X < ).
Les in…nis de genre lumière sont représentés d’après Penrose par des droites, donc les géodésiques
de genre lumière dans ce cas sont à
450 sur le diagramme. Celles de genre temps vont de i jusqu’à
i+ , par contre les géodésiques spatiales arrivent au point i0 . Dans l’espace de Minkowski, les régions
i et i0 sont représentées par des points.
Passons maintenant à l’espace-temps statique de Schwarzschild. En faisant la transformation
de coordonnées U = tan p et V = tan q sur la métrique de Kruskal (2.8)
ds2 = (2 cos p cos q)
2
16rS2
r
exp(
) dpdq + r2 sin2 (q
r
rS
Nous adoptons le facteur conforme
p) d
2
+ sin2 d'2
(2.18)
= (2 cos p cos q) et nous avons alors comme métrique
conforme
de
s2 =
16rS2
r
exp(
) dpdq + r2 sin2 (q
r
rS
Dans le diagramme de Penrose, les in…nis i0 et I
p) d
2
+ sin2 d'2
(2.19)
se présentent exactement de la même façon que
Minkowski. L’hypersurface r = 0, où le tenseur de Riemann est singulier, rencontre i+ et i
sont donc des singularités dans ce cas. Les rayonnements entrants en I
qui
et sortants en I + sont
respectivement caractérisés par les fonctions de (v; ; ') et de (u; ; '). Les coordonnées u et v
prennent toutes les valeurs et nous devons ajouter l’horizon futur H + par p =
H par q =
2.
2
et l’horizon passé
Le diagramme de Penrose pour l’espace-temps de Schwarzschild est représenté sur
la …gure 2.2.
On appelle horizon futur H + d’un espace-temps asymptotiquement minkowskien à l’in…ni isotrope l’hypersurface du genre lumière qui est la frontière du domaine d’où aucune géodésique
du genre lumière n’aboutit à I + . C’est la frontière du trou noir. Ni la lumière ni la matière ne
peuvent sortir à travers l’horizon futur. L’horizon des événements H + est une structure globale
de l’espace-temps : aucune expérience de physique locale ne peut révéler le passage par H + ; un
voyageur imprudent ne peut déceler l’instant où il franchit l’horizon. Les phénomènes physiques
à l’extérieur de l’horizon sont causalement déconnectés de l’intérieur. Les conditions aux limites à
l’horizon sont choisies pour assurer la régularité des phénomènes physiques à l’horizon. Localement,
un observateur ne peut pas savoir qu’il y a un horizon.
Dans le cas de l’espace-temps de Schwarzschild, nous remarquons que la singularité du tenseur
Chapitre 2 : Trous noirs
18
Fig. 2.2 –Diagramme de Penrose de la solution (2.3) représentant l’extention analytique maximale
de l’espace-temps de Schwarzschild.
de Riemann est située à l’intérieur de l’horizon. Cependant une singularité d’un espace-temps n’a
aucune raison d’être, à priori, à l’intérieur de l’horizon mais une singularité nue (non "habillée"
par un horizon) serait peu réaliste, car la singularité serait alors accessible à l’observation. On
a donc conjecturé ce qu’on appelle la censure cosmique : toute singularité se trouve à l’intérieur
d’un horizon. Au voisinage de la singularité, la théorie de la gravitation classique d’Einstein n’est
certainement plus valable.
2.3
Thermodynamique des trous noirs
L’étude des trous noirs indique que ces objets sont décrits seulement par trois paramètres : la
masse M , la charge électrique Q et le moment angulaire J. Le paramètre pertinent décrivant la
structure d’un trou noir n’est pas son rayon, mais la surface de l’horizon des événements. Il existe
donc une relation liant l’aire d’un trou noir A aux trois paramètres mentionnés. Au début des
années 1970, Bekenstein [13, 14] trouve cette relation qui exprime la variation de l’aire A d’un trou
noir auquel on injecte une petite quantité non nulle soit de matière M , soit de moment angulaire
J, ou de charge électrique Q :
M=
8 G
A+
h
J+
h
Q
(2.20)
Chapitre 2 : Trous noirs
où ,
h
et
h
19
s’identi…ent respectivement à sa gravité de surface qui mesure à quelle vitesse le
champ gravitationnel du trou noir devient in…ni en son voisinage, à sa vitesse angulaire de rotation
et au potentiel électrique au voisinage du trou noir. Peu de temps aprés, Smarr [15] trouva la
formule suivante
M=
8 G
A+2
hJ
+
hQ
(2.21)
Bekenstein fut donc le premier à suggérer que les trous noirs puissent avoir une entropie bien
dé…nie. La justi…cation employée était intrigante mais manquait de rigueur, jusqu’à ce que Stephen
Hawking découvre le rayonnement qui porte son nom l’année suivante. Ces travaux permirent
de jeter ceux de Bekenstein sur une base rigoureuse. Bekenstein put ensuite formuler le second
principe de la thermodynamique appliqué aux trous noirs. Le théorème que Hawking démontra en
1971 stipule que l’aire d’un trou noir ne diminue jamais
A
0
(2.22)
Ce théorème présente une grande ressemblance avec le deuxième principe de la thermodynamique en comparant la surface avec l’entropie. De plus, lorsque deux trous noirs fusionnent et
qu’un nouveau trou noir s’engendre, l’aire du trou noir …nal ne peut être inférieure à la somme des
aires initiales. Viennent ensuite Bardeen, Carter et Hawking [16] qui généralisent les résultats de
Bekenstein et Smarr pour n’importe quel trou noir asymptotiquement plat et font l’analogie avec
la thermodynamique en formulant les quatre lois de la thermodynamique des trous noirs :
Le principe zéro : La gravité de surface
est constante sur l’horizon pour un trou noir
stationnaire à comparer avec le principe zéro de la thermodynamique qui dit que la température T
d’un corps en équilibre est constante.
Premier principe :
dM =
8 G
dA +
h dJ
+
h dQ
(2.23)
à comparer avec le premier principe de la thermodynamique : dE = T dS+travail fourni. Au fait
les termes
h dJ
et
h dQ
sont les variations d’énergie cinétique de rotation et d’énergie potentielle
électrique qui sont le travail des forces extérieures au système. Ainsi, dans la formule bien connue
de la thermodynamique dE = Q + W , le terme dE ressemble fort au terme c2 M , on a pris
Chapitre 2 : Trous noirs
20
(c2 = 1), de l’équation du trou noir, et le terme W correspond à
h dJ +
h dQ.
Pour que l’analogie
entre trous noirs et thermodynamique présente un sens physique, il faut donc supposer que le terme
8 G
A puisse s’identi…er au terme de la quantité de chaleur fournie au système Q = T S ce qui
nous pousse à identi…er l’aire du trou noir à son entropie et la gravité de surface à la température
de rayonnement du trou noir. Mais en relativité générale classique, les trous noirs absorbent mais
n’émettent jamais et leur température est nulle. Mais Hawking à montré qu’en incluant les e¤ets
quantiques (au voisinage de l’horizon, il y a création de paires particules-antiparticules tel que les
premières partent à l’in…ni et que les secondes tombent dans le trou noir) les trous noirs rayonnent
et se comportent comme un corps noir. Ce phénomène est connu sous le nom de "Rayonnement de
Hawking" [17].
Deuxième principe : A
0 pour tout processus physique, à comparer avec le deuxième
principe de la thermodynamique : S
0 pour tout processus physique.
On constate, d’aprés le rayonnement de Hawking, que le trou noir rayonne jusqu’à évaporation
totale et que donc son aire tend vers zéro ; ce qui viole le deuxième principe. Pour remédier à cela
on introduit une deuxième loi généralisée [18] :
ST
0 pour tout processus physique
(2.24)
où ST et la somme de l’entropie du trou noir Stn et de l’entropie Sext de tout ce qui se trouve à
l’extérieur du trou noir.
Troisième principe : On ne peut atteindre
= 0 par aucun processus physique à comparer
avec le troisième principe de la thermodynamique qui dit qu’on ne peut atteindre T = 0 par aucun
processus physique.
Chapitre 3
Gravitation à trois dimensions et
termes de Chern-Simons
3.1
Introduction
Les di¢ cultés que présente la quanti…cation de la relativité générale, qui est une théorie hautement non linéaire et non renormalisable [19], ont poussé à la recherche de modèles plus simples
tout en gardant les aspects géométriques essentiels de la relativité générale. Un de ces modèles
est la gravitation à (2 + 1) dimensions, avec ou sans constante cosmologique [20]. Cett dernière
possède une solution trou noir de type Kerr, trouvée par M. Banados, C. Teitelboim et J. Zanelli
connue sous les iniciales BTZ [1]. Cette solution est celle des équations d’Einstein avec constante
cosmologique négative et elle est donc de courbure constante négative. Elle possède un horizon
d’événement et des propriétés globales non triviales. Cette théorie est cependant non dynamique
car elle ne possède pas de degré de liberté dynamiques ; il n’y a pas des ondes gravitationnelles
dans la théorie classique ni des gravitons en propagation dans la théorie quantique. Vient ensuite la
théorie construite par S. Deser, R, Jackiw et S. Templeton [21] comme remède. C’est la théorie de
la gravitation topologiquement massive à trois dimensions (TMG). Le principe de cette théorie est
d’ajouter à l’action d’Einstein à trois dimensions, un terme topologique (car il ne contient pas la
métrique de façon explicite) appelé terme de Chern-Simons. Cette théorie est dynamique et décrit
un graviton massif de spin 2. l’action de TMG est
I = IE + ICSG
(3.1)
Chapitre 3 : Gravitation à trois dimensions et termes de Chern-Simons
avec IE l’action d’Einstein avec la constante cosmologique
= 8 G:
1
IE =
2
Z
p
d3 x jgj(R
et ICSG l’action de Chern-Simons de la gravitation (
1
de Levi-Cevita à trois dimensions) et
ICSG =
4
G
et la constante de gravitation d’Einstein
2 )
(3.2)
est le tenseur complètement antisymétrique
est la constante de couplage de Chern-Simons
G
1
22
Z
d3 x
@
+
2
3
(3.3)
Cette théorie dynamique de la gravitation à trois dimensions a été proposée dans le cadre plus
général des théories de jauge topologiquement massives dans l’espace-temps à trois dimensions. Les
équations qui dérivent de l’action (3.1) sont
1
G +
C =
(3.4)
G
où
G
1
R
2
R
(3.5)
est le tenseur d’Einstein et
C
D
est le tenseur de Cotton qui est symétrique (C
3.2
R
1
g R
4
(3.6)
= C ) et conservé (D C = 0).
Electrodynamique et gravitation topologiquement massive
Par la suite on va étudier les solutions trous noirs dans la théorie de la gravito-électrodynamique
topologiquement massive (TMGE). Cette théorie est le couplage de la gravitation à trois dimensions
avec la théorie de Maxwell augmentée des deux termes de Chern-Simons de la gravitation ICSG et
électromagnétique ICSE . L’action de TMGE s’écrit
I = IE + IM + ICSG + ICSE
où
IM =
1
4
est l’action de Maxwell et
ICSE =
Z
p
d3 x jgjg g F F
E
2
Z
d3 x
A @ A
(3.7)
(3.8)
(3.9)
Chapitre 3 : Gravitation à trois dimensions et termes de Chern-Simons
Le terme de Chern-Simons électromagnétique.
1
et
G
E
23
sont les constantes de couplage de Chern-
Simons de la gravitation et de l’électromagnétisme respectivement, et A est le potentiel du champ
électromagnétique. Cette théorie décrit, en plus de la propagation du graviton, la propagation d’une
particule de masse
3.3
E
et de spin 1:
Equations réduites
Nous allons, chercher pour cette théorie, des solutions stationnaires à symétrie circulaire en utilisant la procédure de réduction dimensionelle [3], que nous résumons ici. On suppose que l’espacetemps à trois dimensions possède deux vecteurs de Killing (@t et @' ), c’est-à-dire que la métrique
g
ne dépend plus que d’une seule coordonnée . On peut toujours écrire dans ce cas l’élement
d’intervalle d’espace-temps sous la paramétrisation [22],[23].
ds2 =
ab (
avec (x0 = t; x1 = '), où
Le déterminant det
=
)dxa dxb +
2
( )R
2
( )d
2
,
A=
a(
)dxa
(3.10)
est une matrice 2 2
0
1
T +X
Y
A
=@
Y
T X
R2 , où R2
(3.11)
X2 peut alors être considéré comme la pseudo-norme d’un
vecteur X d’un espace-temps de Minkowski abstrait de signature ( ; +; +) avec X( ) = X 0 = T; X 1 = X; X 2 =
X2 =
ij X
i
Xj =
T 2 + X2 + Y 2
(3.12)
et le facteur d’échelle ( ) permet la reparamètrisation arbitraire de la coordonnée radiale . Nous
rappelons pour le future que les solutions stationnaires correspondent aux chemins de genre espace
X ( ) avec R2 > 0, et que les intersections de ces chemins avec le cône de lumière futur (R2 =
0; T > 0) correspondent à des horizons d’événement.
La paramétrisation (3.10) réduit l’action (3.7) sous la forme
I=
Z
d2 x
Z
d L
(3.13)
avec le Lagrangien e¤ectif L
L=
1
1
2 2 G
2
X: X0 ^ X00 +
1
X02 +
2
0
:X
0
+
E
0
2
1
(3.14)
Chapitre 3 : Gravitation à trois dimensions et termes de Chern-Simons
Dans (3.14), 0 =
@
@
, et le produit vectoriel est dé…ni par (X ^ Y)i =
les matrices de "Dirac" i sont
0
1
0
1
0
A ,
=@
1 0
T
et
0
1
0
0
=@
1
1
est l’adjoint de Dirac du spineur
0
1
A ,
( :X)
0
+
0
=@
jkl X
1
kY l
0
0
1
(avec
1
A
012
= +1),
(3.15)
.
La variation du Lagrangien (3.14) suivant le spineur
@
2
ij
24
donne l’équation
= 0. Cela signi…e que le terme entre crochet est une constante du mouve-
E
ment, qu’on peut annuler en faisant une transformation de jauge, conduisant à l’intégrale première
0
=
E
R2
( :X)
(3.16)
Cela permet d’éliminer du Lagrangien (3.14) les champs de spineurs
et
0
en faveur du vecteur
"spin" SE dé…ni par :
SE =
(3.17)
2
qui est de module nul S2E = 0 et satisfait l’équation ( qui est équivalente à (3.17))
S0E =
2 E
X ^ SE
R2
(3.18)
En faisant varier le Lagrangien (3.14) suivant la variable X, on obtient alors l’équation dynamique pour les champs de vecteurs X,
X00 =
2
G
3 X0 ^ X00 + 2 X ^ X000
où pour simpli…er nous avons …xé l’échelle
1
4
SE
2
X (SE :X)
R2
(3.19)
= const. Finalement, la variation du Lagrangien (3.14)
par rapport au multiplicateur de Lagrange
H
2
E
2 2
R
2
conduit à la contrainte hamiltonienne
X02 + 2X:X00
G
X X0 ^ X00 + 4
2
=0
(3.20)
où nous avons utilisé l’équation [qui vient de (3.20)]
2
SE :X =
2
R2
2
E
X:X00
3
X: X0 ^ X00
2 G
(3.21)
Dans les équations précédentes, nous avons gardé le paramètre d’échelle constant libre. Comme
l’ansatz (3.10) est stationnaire et à symétrie circulaire, on trouve det jgj =
2
, qui montre que
Chapitre 3 : Gravitation à trois dimensions et termes de Chern-Simons
25
a les mêmes dimensions (l’inverse d’une longueur) que les constantes de couplage de Chern-Simons
G
et
E.
Par la suite, il se révélera pratique de …xer l’échelle comme
=
E
(3.22)
(en le prenant, sans perte de généralité, positif), et de remplacer la constante de couplage de la
gravitation de Chern-Simons
G
par le paramètre sans dimension
E
2
G
(3.23)
Chapitre 4
Trous noirs de Chern-Simons
4.1
Solutions trous noirs de TMGE
Comme nous l’avons cité dans le chapitre précédent, nous allons établir dans ce chapitre des
trous noirs stationnaires à symétrie circulaire de la théorie de la gravito-dynamique topologiquement
massive (TMGE). Dans le chapitre 3, en utilisant la procédure de réduction dimensionelle, on a pu
obtenir les équations qui vont nous permettre dans ce chapitre d’obtenir une classe de trous noirs.
En premier lieu, nous allons d’abord trouver la métrique qui dé…nit le champ de gravitation de
ces trous noirs et puis aprés le champ électromagnétique générant ce champ gravitationnel. Dans
la seconde partie, nous étudierons la structure globale de ces solutions , examiner leur domaines de
régularité et nous construirons leurs diagrammes de Penrose. On calculera, dans la troisième partie,
la masse, le moment angulaire et l’entropie de ces nouvelles solutions, et on remarquera qu’elles
véri…ent dans tous les cas la première loi de la thermodynamique des trous noirs. Vu la symétrie de
ces trous noirs, nous allons montrer dans la section 4 qu’ils admettent quatre vecteurs de Killing
locaux générant quatre isométries locales et par conséquent des transformations de coordonnées
locales.
Avant d’aborder notre travail, rappelons d’abord que dans [3] les auteurs ont pu établir deux
classes spéciales de solutions TMGE en utilisant la réduction dimensionelle, équations (3.17), (3.18),
(3.19), (3.20), et (3.21) : les solutions selfs-duales, qui sont asymptotiquement Minkowskiennes ou
anti-de-Sitter et les solutions diagonales (statiques). Nous allons établir une famille de solutions
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
27
trous noirs de TMGE en utilisant l’ansatz [5]
X=
qui est un vecteur d’ordre 2 en
et où
2
; ;et
+
+
(4.1)
sont des vecteurs constants linéairement indépen-
dants.
Comme nous l’avons cité dans le chapitre 3, X( ) est un vecteur d’un espace-temps de Minkowski abstrait de signature ( ++) qui possède trois composantes T; X et Y . Comme X dépend de
trois vecteurs constants
; ;et
qui sont eux aussi des vecteurs du même espace-temps abstrait,
la solution dépend donc à priori de neufs paramètres. Mais on va réduire ce nombre en utilisant
les équations du champ. En e¤et, insérons (4.1) dans la contrainte hamiltonienne (3.21) qui va le
réduire à une équation du second ordre en . Cette dernière n’est satisfaite que si les vecteurs
et
2
seront liés par trois contraintes. Le terme en
2
= 0;
et le terme en
;
nous donnent deux contraintes
( : )=0
(4.2)
et le terme constant nous donne la contrainte
2
+4
: + ( ^ ): +
2
E
=0
(4.3)
Il est facile de constater que les deux contraintes (4.2) peuvent être remplacées par deux nouvelles
contraintes plus pratiques pour le calcul
^
=d
,
2
= d2
(4.4)
où d est une constante. On remarque qu’il est donc nécessaire de trouver la valeur de cette dernière
pour dé…nir d’une façon unique les contraintes (4.4) qui relient les vecteurs
et
ensuite les utiliser avec la contrainte (4.3) pour trouver une liaison entre les vecteurs
entre eux et
et . Pour
le faire, calculons à partir de l’équation (3.22) le produit scalaire
SE :X = b ( : ) R2 ;
b = 1 + 3d
(4.5)
En remplaçant cette expression dans l’équation (3.20), nous obtenons l’expression plus simple du
"spin"
SE = b 2 ( : ) X
R2
(4.6)
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
28
Un calcul simple permet d’obtenir la dérivée de SE
S0E = 2b
=
où le produit vectoriel
^
2
2bd [d
+( : )
+
( : )
^ ]
(4.7)
est évalué en s’aidant de (4.4). D’autre part, le produit vectoriel de
X avec SE qui est donné par (4.6) est facilement calculé
X ^ SE = b [d
+
^ ] R2
(4.8)
Remarquons que les termes des deux équations (4.7) et (4.8) sont les membres de gauche et de
droite respectivement de l’équation (3.19) pour le champ de jauge. Il est clair que cette dernière
n’est satisfaite que dans deux cas. La première solution est b = 0, c’est-à-dire d’aprés (4.5) et (4.6),
d=
2 G
3 E
et SE = 0, qui n’est autre que le cas de TMG. Cette solution ne nous interesse pas car
on veut étudier des trous noirs de TMGE. C’est le deuxième solution, où l’équation (3.19) est aussi
satisfaite, qui nous interesse
d=
1
(4.9)
Cette valeur de d nous permet, en s’aidant de l’équation de la contrainte (4.3), de trouver une
troisième contrainte qui n’est autre que le produit scalaire
: =
:
1 + 4 = 2E
4(1
)
(4.10)
Comme nous l’avons mentionner auparavent, la solution dépend de neuf paramètre qui sont les
composantes des trois vecteurs constants
; ;et
du vecteur X de l’espace-temps abstrait. Comme
ces trois vecteurs constants sont liés entre eux par les trois contraintes
: =
1+4 = 2E
4(1 ) ,
2
= 1;
^
=
et
la solution ne dépend plus que de cinq paramètres. Rappelons que les trous noirs
stationnaires et axisymétriques sont caractérisés seulement par deux paramètres : leur masse et leur
moment angulaire. Donc le nombre de paramètres libres devrait se réduire à deux. E¤ectivement,
ceci est réalisable en tenant compte du groupe de transformations à trois paramètres qui laisse la
forme de l’ansatz (4.1) (avec
=
E
et la période de l’angle ' …xée) invariante : les translations
de , la transition des repères en rotation uniforme, et les changements d’échelle respectivement de
longueur ( ) et de temps (t). Cependant, pour pouvoir comparer avec les solutions données dans
p
[24], nous introduisons le paramètre d’echelle de temps c. Choisissons un repère en rotation et
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
29
une échelle longueur-temps de telle sorte que
= (c=2; c=2; 0);
= (c=2; c=2; 0). Dans ce repère
= (!; !; 1);
= (z + u; z
Il est d’abord important de remarquer que les vecteurs
; ;et
deux contraintes (4.4) et ne véri…ent la troisième (4.10) ( : =
(4.11)
sous cette forme véri…ent les
cz) que si
2
1
z=
u; v)
(4.12)
2c
où
2
Au chapitre 3 on a vu que R2
1
=
2
4 =
2(1
)
2
E
(4.13)
X2 et en s’inspirant de l’expression de X2 , calculée par l’équation
(4.1), et du repère (4.11) on peut exprimer R2 en fonction de
R2 =
On remarque que si
2
2 2
2(v + 2!z) + v 2
6= 0, une simple translation de
l’expression de R2 plus simple (v 2
4uz
(4.14)
annulle le terme linéaire v =
2!z et rend
2 2
0)
4uz =
R2 =
2
2
(
2
0)
(4.15)
où maintenant les deux paramètres indépendants restants du repère (4.11) sont 0 et ! tels que
h 2
i
2
2
2
) et u = 12 1c 2 20 + !c (1
) :Cette restriction nous permet d’otenir une classe
v = !c (1
de trous noirs de la gravitation topologiquement massive couplée à un champ électromagnétique
(TMGE) et qui a …nalement pour métrique les deux formes équivalentes. La forme
ds2 = U dt +
Y
d'
U
2
R2 2
d 2
d' + 2 2
U
ER
où U; V et Y sont calculés en utilisant (4.1) et le repère (4.11)
2
1
U
= T +X =
V
= T
X=c
Y
=
+ 1
c
2
+ 2! +
2
!2
1
c
2
+
c
2
c
1
2 2
0
2
!=c
c’est-à-dire
ds2 =
2
1
c
+
1
2 2
E
d
2
2
c
dt
1
2
+ ! d'
1
2(
2
2
2
0 )d'
2
2
0
(4.16)
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
30
ou bien la forme ADM
ds2 =
Y2
V
U
dt2 + V
d' +
2
Y
dt
V
d
+
2
2 R2
E
et
ds2 =
2
2
2
0
r2
d
1
+
2 2
E
"
2
+ 1
dt2 + r2 d'
!=c
r2
dt
#2
2
(4.17)
2
0
2
avec
r2 = c
2
+ 2! +
!2
1
c
2
+
c
1
2 2
0
2
(4.18)
Remarquons d’abord que cette métrique sous ses deux formes est singulière en
va voir par la suite que ces deux valeurs de
horizons d’un trou noir si
2
0
=
0.
On
ne sont pas des singularités mais ce sont les deux
> 0. Donc cette métrique est bien celle d’un trou noir et elle est
très similaire dans sa forme à celle donnée dans [25]. Si on regarde la solution (4.16), elle évoque
une métrique lorentzienne pour les deux cas
2
> 1 et c > 0, ou
2
< 1 et c < 0, mais la forme
Arnowitt-Deser-Misner (ADM) (4.17) montre que les conditions r2 > 0 et
2
> 0 sont su¢ santes
pour que la métrique ait la signature lorentzienne. Par ailleurs, nous montrerons par la suite, en
étudiant la structure causale de cet espace-temps,que ce trou noir n’est causalement régulier que si
c > 0 et
2
< 1. En conclusion, cette classe de trous noirs n’est régulière que dans le domaine
8
2
>
< 2 > 1 42
si
< 4E
E
0< 2<1
()
(4.19)
2
>
4
E
: 2 <1
si
>
2
4
E
2
Par ailleurs, il est possible d’étendre la solution aux cas
= 1 et
2
= 0 et nous allons les traiter
maintenant.
Cas où
2
=1( =
2 =4)
E
Dans ce cas les paramètres z = v =
0
= 0 et il ne reste que le paramètre u libre. La métrique
est dans ce cas la même que (4.17) avec
2
Cas où
2
= 0 (2 = 1
= 1;
4 =
2)
E
0
= 0;
r2 = c
2
+ 2! + 2u
(4.20)
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
31
Dans ce cas le paramètre z = 1=2c. L’expression (4.14) de R2 devient linéaire en , le terme
6= 0, on peut annuler le terme constant (u = cv 2 =2) par
quadratique s’annulle. Si v + !=c
une translation de . R2 prend la forme
R2 = 2
(4.21)
La métrique pour ce cas particulier s’écrit alors pour les deux formes équivalentes
ds2 =
1
[dt
c
+ !=c) d']2
c( +
d'2 +
2c
2
d
(4.22)
2
E
2
ou
+
2
dt2 + r2 d'
r2
2
ds =
2
+ !=c
dt
r2
+
d
2
2
(4.23)
2
E
avec
r2 = c
Là aussi la métrique est singulière en
2
+ 2! + c ( + !=c)2
(4.24)
= 0 mais en verra que ce cas est un horizon simple et donc
que c’est une métrique d’un trou noir. Elle n’est régulière que si c > 0 et ! >
Mais que se passera-t-il si
! 0. Ce cas exceptionnel v +!=c = 0, nous donne une métrique sans
horizon et qui prend la forme, en faisant une translation de
1
[dt
c
ds2 =
Dans le cas où
c d']2
c(
2 =4
E
=
2)
1
2
et
c 21 d'2 +
d
2
!=c et en posant 2u
dt2 + c(
2
2
1
(4.25)
2 2
E 1
2
1)
c
2
d'
c(
2)
1
2
dt
+
d
2
2 2
E 1
(4.26)
= 1, l’équation (4.13) est indéterminée, donc la contrainte (4.3)
est satisfaite pour toutes les valeurs du produit scalaire
toutes les valeurs de
!
2
2
1
=
c =2.
: =
z et par voie de conséquence pour
.
2
Cette étude des di¤érents domaines de
nous permet de conclure que cette classe de trous
noirs réguliers est donnée par la forme (4.16) ou (4.17) pour 0 <
ou par (4.22) ou (4.23) dans le cas limite
2
2
1 (avec
0
= 0 pour
2
= 1),
= 0.
L’équation (3.18) reliant le "spin" SE au champ , avec l’expression de SE donnée par l’équation
(4.6) nous permettent de calculer le champ électromagnétique générant ce champ gravitationnel et
on complètera de cette manière notre solution trou noir. Cette résolution donne pour 0 <
A=
r
c(1
3 )
"
2
1
c
dt
+ 1
2
!=c d'
#
2
1
(4.27)
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
et pour le cas limite
2
=0
A=
r
32
3 ) 1
dt
c
c(1
( +
+ !=c) d'
(4.28)
On peut, par une transformation de jauge, annuler le potentiel électrique et donc a¢ rmer que ce
champ est purement magnétique.
Dans l’article [26], les auteurs ont montré que le signe de la constante gravitationnelle
dans
la gravitation d’Einstein à (2 + 1)D n’est pas …xé. En regardant de près le terme sous la racine
carré de l’expression du champ électromagnétique (4.27) et (4.28), on constate que la réalité de
ce dernier impose une restriction supplémentaire sur le domaine d’existence de ces solutions trous
noirs. En e¤et, si c > 0, le rapport des deux constantes de couplage de Chern-Simons doit être
délimité par
E= G
2
> 2=3. Ceci conduit à un trou noir régulier (0
E= G
Maintenant si c < 0, la limite est inversée
1) si c > 0 et
<
2 =12.
E
< 2=3 . Le trou noir n’est régulier que si c > 0
2 =4:
E
et
Mais que se passera t-il si le rapport entre eux est
E= G
= 2=3. On remarquera que le champ
électromagnétique s’annulle et il est évident que les métriques des trous noirs (4.16) ou (4.17) [ou
bien (4.22) ou (4.23) mais dans ce cas
=
2 =12
E
2 =27]
G
=
résolvent les équations des trous noirs
de TMG.
Dans le cas c < 0, nos solutions coïncident avec les solutions avec horizon de TMG avec constante
cosmologique donnée dans [5] ,[28][voir aussi [29] équation (18)], qui ne sont pas des trous noirs
réguliers. Par ailleurs, si
=0(
2
= 1=4) et c = 1=4, les métriques des trous noirs (4.16) et (4.17)
se réduisent respectivement aux équations (4) et (6) des trous noirs de TMG des auteurs de [25],
en faisant le changement d’échelle
!2 ,
0
!2
Le cas exceptionnel c = 0 qui correspond à
0
et en prenant
G
= 3.
= 0 implique une fois de plus la nullité du champ
électromagnétique. Dans ce cas, la métrique se réduit à celle donnée dans [22] puisque (4.1) se
réduit à X =
+
et que l’équation (4.3) devient
2
=
4 =
2.
E
Cette métrique décrit, pour
< 0; les trous noirs bien connus de BTZ [27].
Les auteurs de l’article [28] ont donné une classe de solutions de la théorie d’Einstein-MaxwellChern-Simons. Il est donc nécessaire de les comparer avec nos solutions TMGE en faisant quelques
commentaires. A la limite
!0(
G
! 1), la constante de couplage du terme de Chern-Simons
de la gravitation tend vers zéro, et de ce fait TMGE se réduit pour une constante cosmologique
négative
=
`
2
à la théorie d’Einstein-Maxwell-Chern-Simons considérée par les auteurs dans
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
[28], en prenant
=
33
uE =2. Dans [28] les auteurs supposent que
= 8 G est positif et donc dans
ce cas notre champ électromagnétique (4.27) ne sera réel que si c < 0, or pour cette condition les
solutions admettent nécessairement des courbes fermées de genre temps. Notant que pour
notre constante
2
!1
G
est connectée avec leurs paramètres par la relation
2
1
=
2 `2
2
1
(4.29)
2 `2
Signalons que les auteurs de [28] trouvent deux genres de solutions trous noirs : la solution
"Gödel cosmon" [eq. (17) de [28]] avec
2 `2
> 1 et la solution "Gödel trou noir " [eq. (31) [28]].
Ces solutions peuvent être retrouvées via les équations (4.16) et (4.17) en reliant notre coordonnée
radiale
et leur coordonnée r [28] par la relation
=2 r
2
(1
)!=c, avec c =
2
(1
)à
noter que [le signe supérieur est pour le cas de l’équation (17) et le signe inférieur dans le cas de
l’équation (31)], et les constantes d’intégration ! et
!=
4.2
;
2
0
=
2 2
2 J
0
sont reliées aux constantes
=
2G
2
=
4 `2 G
1 + 2 `2
et J par
(4.30)
Structure globale
Dans cette section nous allons étudier la structure globale de notre espace-temps et voir les
di¤érents domaines où celui-ci est régulier. Nous allons voir que l’extension analytique maximale
de l’espace-temps est possible au-delà de l’horizon extérieur en le représentant par un diagramme
de Penrose, mais en verra qu’il y a apparition de courbes fermées de genre temps, qui sont dans
certains cas nues ( en dehors de l’horizon extérieur).
Pour pouvoir analyser les propriétés des trous noirs stationnaires d’une manière facile, il est
plus commode d’avoir recours à la paramétrisation d’Arnowitt-Deser-Misner (ADM). Rappelons
que cette dernière est mise au point initialement pour la formulation canonique et la quanti…cation
de la relativité générale :
ds2 =
N 2 dt2 + hij (dxi + N j dt)(dxj + N j dt)
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
34
où
gtt + Ni N i
N2 =
Ni = gti
N i = hij Nj
hij
= gij
hij hjk =
i
k
Les indices latins i; j; k::: sont des indices d’espace et à deux dimensions ils prennent les valeurs
1 pour
et 2 pour '. La forme ADM (4.31) pour nos solutions trous noirs a déjà été donnée ; ce
sont les métriques (4.17) pour le cas 0 <
0
= 0 pour le cas
2
2
< 1, (4.23) pour le cas
2
= 0 et en…n (4.17) avec
= 1:
Nous avons cité au chapitre1 que l’horizon des évènements est la frontière immatérielle entre le
trou noir et le reste de l’univers. De plus c’est une partie bidimentionnelle de l’espace-temps pour
la gravitation à (2+1) dimensions, le produit d’un cercle par une ligne de genre lumière. Donc toute
coordonnée de genre espace à l’extérieur devient de genre temps à l’intérieur et vice-versa et par
conséquent le cône de lumière de tout observateur franchissant l’horizon bascule. D’une manière
plus simple plus un observateur est proche du centre du trou noir et plus il doit aller vite ; il existe
une altitude où la vitesse de rotation de l’observateur est égale à celle de la lumière (sphère des
photons). Cet observateur va traverser l’horizon et il y a permutation de l’espace et du temps (ce
qui était devant l’observateur devient son futur) et il n’ y a aucun moyen pour lui de ne pas se
précipiter vers le centre du trou noir.
L’équation (4.17) qui contient l’expression de g
=
1
2 2
2
E(
2)
0
est singulière pour
2
=
2
0
et cette valeur apparaît comme une singularité. En fait ce n’est pas le cas car ce sont exactement
les zéros de N 2 ( ) de la forme ADM. Cette dernière condition détermine les horizons d’événement
qui dé…nissent un trou noir.
Bien que les trous noirs des espaces-temps obtenus dans la section précédente n’ont pas de
courbure constante, leurs invariants de courbure sont constants,
R =
R R
=
1
4
2
3 8
2
2
4
2
E
+8
4
4
E
(4.31)
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
et ne dépendent que du paramètre
2
35
.
Ces espaces-temps sont donc clairement régulièrs pour tous les
qui sont les deux
p
< 1, et peuvent (sauf dans le cas spécial ! = 0 = 1
2,
2
horizons du trou noir pour le cas 0 <
qu’on verra aprés) être étendues jusqu’aux horizons
=
0
=
0
par la méthode habituelle de Kruskal,
conduisant à des espaces-temps géodésiquement complets. Pour les autres cas particuliers, cest-àdire pour certaines valeurs de
2
; ! et
0
la métrique peut avoir un seul horizon.
Ces espaces-temps peuvent avoir des courbes fermées de genre temps (CTC) pour certains
domaines de leurs paramètres, qui sont un autre type de singularité dans la structure causale. Ce
sont des singularités car leur existence veut dire qu’un observateur peut partir d’un événement dans
l’espace-temps et revenir à cet événement aprés avoir suivi une trajectoire de genre temps, ce qui
viole la causalité. Ces CTC sont par contre tolérées si elles sont cachées derrière l’horizon. Si on
pose
= const et t = const dans (4.17) alors
ds2 = r2 d'2 = g'' d'2
Si g'' = r2 < 0, ds2 < 0 donc elle est de genre temps, et comme ' est périodique de période
2 , on peut avoir dans ce cas des courbes fermées de genre temps (CTC) ; donc c’est le signe de
r2 qui nous indique l’existence ou pas des CTC. Pour c < 0, r2 est négatif à l’in…ni de genre espace
( ! 1), de sorte que ces solutions admettent toujours les CTC en dehors de l’horizon externe.
Pour exclure celles-ci nous supposerons dans la suite c > 0. En …xant l’échelle de sorte que c = 1,
nous constatons que dans le cas du trou noir générique (4,17), les zéros de r2 sont situés en
s
=
Pour
2
!2
!
les CTC existent dans le domaine
<
1
2
(4.32)
< 1 et
!2 >
(
2
0
+
<
0)
ses deux horizons
2[
;
2
0 =(1
+ ],
2
)
(4.33)
mais elles sont cachées derrière les deux horizons
si ! > 0, donc acceptables. La métrique dans ce cas peut être prolongée à travers
0
et
0
et le diagramme de Penrose de ses extensions analytiques maximales,
avec les régions acausales découpées est le même que pour les trous noirs de Reissner-Nordström
(voir …g. 4.1). Ce diagramme est constitué de trois régions : la région extérieure I où
qui est de signature ( ; +; +). En traversant l’horizon extérieur
0
2 [ 0 ; +1]
on passe à l’intérieur du trou
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
Fig. 4.1 –Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans le cas où 0 <
36
2
< 1, ! 2 >
et ! > 0. Il est similaire au diagramme de Penrose du trou noir de Reissner-Nordström.
2 =(1
0
2
)
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
37
Fig. 4.2 – Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans le cas 0 < 2 < 1; ! > 0 et 0 = 0,
p
ainsi que dans le cas 2 = 1; ! > 2u et u > 0. C’est deux cas ont un diagramme similaire à celui
du trou noir extrême de Reissner-Nordström.
noir dans une région II dé…nie par
2[
0; + 0]
où il y a permutation de l’espace et du temps
et elle est donc da signature (+; ; +). En franchissant le deuxième horizon dit intérieur
0
on
passe dans une deuxième région intérieure III et ici le temps et l’espace reprennent leur propriété
en se permutant une deuxième fois donnant une signature ( ; +; +) à cette région. La singularité
centrale se trouvant au bout de la région III est donc de genre temps, contrairement au cas du trou
noir de Schwarzschild, et il devient donc possible de l’éviter. De plus cela conduit à une répitition
in…nie des trois régions I, II et III. Dans le cas limite
0
= 0, les deux horizons se confondent
donnant un horizon double : c’est le cas des trous noirs extrèmes avec une région acausale derrière
l’horizon pour ! > 0. Le diagramme de Penrose correspondant est similaire à celui des trous noirs
extrêmes de Reissner-Nordström (voir …g. 4.2) et on constate que les régions II disparaissent.
Les CTC sont absents pour
ces deux horizons
0
et
0
2
< 1 et ! 2 <
2
0
1
2
. La métrique peut être prolongée à travers
et le diagramme de Penrose de l’extension analytique maximale est
maintenant similaire à celui du trou noir de Kerr (voir …g. 4.3). Ici aussi, on a trois régions acausales :
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
Fig. 4.3 –Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans le cas 0 <
similaire à celui du trou noir de Kerr.
38
2
< 1 et ! 2 <
2 =(1
0
2
)
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
la région extérieure I où
39
2 [ 0 ; +1[ de signature ( ; +; +) la région II dé…nie par
de signature (+; ; +) et la région III où
2[
0;
2[
0; + 0]
1[ et ici le temps et l’espace reprennent leur
propriété en se permutant une deuxième fois donnant une signature ( ; +; +) à cette région. Pour
d’autres valeurs de
ou !, les CTC se trouvent en dehors de l’horizon externe et sont de ce fait
non acceptables.
Dans le cas exceptionnel ! =
extérieure
+
2
0 =(1
), l’horizon du centre
coïncide avec la limite
0
de la région acausale et la métrique se réduit
ds2 =
0
2
+ 1+
1
+
2 2
E
d
2
2
!
dt2 +
+ 1+
2
( +
0)
dt
+ 1+
d'
2
!
!2
2
(4.34)
2
0
Cette métrique a un seul horizon en
=+
0
( les zéros de gtt ), où l’extension de Kruskal peut
être e¤ectuée comme d’habitude. Ce cas est similaire à celui discuté par les auteurs de l’article [25]
(pour
2
= 1=4). Les géodésiques, pour ce cas exceptionnel, se terminent sur une singularité causale
=
0,
qui n’est plus un horizon comme avant mais une vraie singularité de la métrique (4.34) et
de plus de genre espace et donc inévitable. C’est exactement ce qu’on retrouve pour la solution de
Schwarzschild. Le diagramme de Penrose de l’extension analytique maximale de ce cas et similaire
2
à celui du trou noir de Schwarzschild (voir …g. 4.4).De même, dans le cas
=1(
0
= 0), où r2
est donnée par l’équation (4.20), les racines de cette dernière sont
=
!
p
!2
2u
(4.35)
Les CTC sont absents si ! 2 < 2u. L’horizon étant double, le diagramme de Penrose correspondant
est similaire à celui du trou noir de Kerr extrême ( voir …g 4.5) où les régions II disparaissent. Si
p
! 2 > 2u, les CTC existent mais sont cachés derrière l’horizon double si ! > 2u. Le diagramme
de Penrose dans ce cas est identique à celui du trou noir extrême de Reissner Nordström (voir …g.
4.2). Dans le cas exceptionnel u = 0, la métrique se réduit à
ds2 =
[la limite
2
= 1,
0
+ 2!
dt2 + ( + 2!) d'
dt
+ 2!
2
+
d
2
2 2
E
= 0 de (4.34)], ce qui montre que le soit-disant horizon
(4.36)
= 0 est au fait une
singularité nulle (de genre lumière) qui est représentée dans le diagramme de Penrose (voir …g. 4.6)
par une double ligne inclinée de 45 .
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
40
Fig. 4.4 – Diagramme de Penrose de la solution(4.34) déduite de la solution (4.17) dans le cas
exceptionnel ! =
0 =(1
2
) avec 0 <
2
< 1. Ce diagramme est similaire au trou noir de
Schwarzschild de la …gure 2.2 mais avec une singularité
=
0.
Fig. 4.5 –Diagramme de Penrose de la solution (4.17) dans la cas
similaire au diagramme de Penrose du trou noir de Kerr extrême.
2
= 1; ! 2 < 2u et
0
= 0. Il est
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
41
Fig. 4.6 – Diagramme de Penrose de la solution (4.17), dans le cas exceptionnel
! > 0. La singularité de genre lumière
En…n, dans le cas
2
= 1; u = 0 et
= 0 et représentée par une double ligne inclinée de 45 :
= 0 [solution (4.23) et (4.24)], les zéros de r2 sont exprimés par l’équation
c
(
2
> 0), de sorte que si ! >
=
!
q
!2
( + !)2
(4.37)
=2 les CTC sont absents. Il ya un seul horizon en
la réduction bi-dimentionnelle (t; ) de la métrique pour les morceaux
> 0 et
= 0, et
< 0 sont tous
deux asymptotiquement conformes à l’espace de Minkowski à deux dimensions. Par conséquent, le
diagramme de Penrose de l’espace-temps géodésiquement complet est similaire à celle de la métrique
de Rindler (voir …g. 4.7). D’autre part, si !
=2,
>
h
= 0, ce qui veut dire que les CTC
sont nues, c’est-à-dire qu’elles ne sont plus cachées par l’horizon ce qui est une irrégularité de la
solution.
Comme dans le cas des trous noirs en rotation de TMG [25], les conditions imposées aux
paramètres (c > 0 et 0
2
1) pour que l’espace-temps soit causalement régulier entrainent
que le vecteur de Killing @t n’est plus de genre temps, mais de genre espace. En e¤et, en regardant
l’espace-temps décrit par (4.17) on remarque que gtt qui est la norme du vecteur de Killing @t (
j j2 = gtt > 0 avec
= @t ) est positif et par conséquent il est de genre espace ( ou nul pour
2
=1
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
42
2
Fig. 4.7 – Diagramme de Penrose de la solution (4.24), dans le cas
= 0 et ! >
=2. Ce
diagramme est similaire à celui donnée par la métrique de Rindler.
). Il en résulte qu’aucun observateur ne peut rester statique (au repos) à l’extérieur du trou noir.
Ce phénomène existe en e¤et dans les trous noirs de Kerr, où il y a une région dite ergosphère
p
p
comprise entre l’horizon rh = M + M 2 a2 et la surface de l’ellipse re = M + M 2 a2 cos2 .
Dans cette dernière il ne peut exister d’observateur statique, mais il peut exister des observateurs
stationnaires, c’est-à-dire qui tournent dans l’ergosphère à distance constante de l’horizon avec une
vitesse angulaire
=
d'
dt .
L’espace-temps décrit par (4.17) di¤ère par celui décrit par la métrique
de Kerr par le fait que gtt est positif de l’horizon extérieur jusqu’à l’in…ni et don il n’existe aucun
lieu où l’observateur peut rester statique. Néanmoins des observateurs locaux stationnaires sont
autorisés et ils se déplacent le long des orbites du vecteur de Killing
= @t + @' si celui-ci est de
genre temps. Autrement dit leur ligne d’univers doit rester de genre temps (ds2 < 0). S’ils tournent
à une distance
0
constante de l’horizon (d = 0) donc (4.17) devient
ds2 =
2
2
2
0
r2
"
dt2 + r2 d'
+ 1
r2
2
!
dt
#2
<0
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
43
en divisant par dt2 , la vitesse angulaire de rotation
r2
2
2
de l’observateur est contrainte à l’inégalité
2
+! 1
2
+1
<0
(4.38)
Celle-ci est satisfaite si
+! 1
p
2
r2
2
0
2
qui se simpli…e pour le cas du vide ! =
0
2
= 1 avec
0
<
2
r2
p
2
2
0
(4.39)
<1+
(4.40)
= 0, la condition de stationnarité locale (4.39) devient
0<
En…n, dans le cas particulier
<
+
=0à
1
Dans le cas limite
<
2
+! 1
<
2
r2
(4.41)
= 0, la condition de stationnarité locale est remplacée par
p
+!+
2
r2
<
<
<
<
+!+
+
p
2
r2
(4.42)
pour la solution trou noir (4.23), ou
1
+
1
1
(4.43)
1
pour la solution du vide(4.26).
4.3
Masse, moment angulaire et thermodynamique
Comme nous l’avons mentionné dans l’introduction, seuls trois informations peuvent émaner
d’un trou noir : sa masse, sa charge et son moment angulaire. Or tout système possède une entropie
qui mesure son désordre. Une particule à l’intérieur d’un trou noir perd son entropie et cela viole le
second principe de la thermodynamique qui stipule que cette dernière ne peut que croître au sein
d’un univers fermé (ce qui est le cas pour les trous noirs où par dé…nition rien ne peut s’échapper).
Ce second principe est sauvé si on fait l’analogie entre la surface du trou noir qui ne peut que croître
et l’entropie de la matière qu’il a avalé ; mais dans ce cas le trou noir doit également posséder une
température. Et tout corps possédant une température est capable de rayonner comme un corps
noir. Mais on sait très bien qu’aucun rayonnement ne peut s’échapper d’un trou noir.
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
44
Revenons aux trous noirs en rotations. Dans l’ergoshère, l’énergie étant de genre espace, elle
peut être négative. Il est donc possible qu’une particule d’énergie E0 ce trouvant dans l’ergoshère
se scinde en deux avant d’atteindre l’horizon (E0 = E1 + E2 ) et que l’une des deux particules tombe
vers le centre avec une énergie négative (E1 < 0) et que l’autre s’échappe de l’ergoshère en allant à
l’in…ni avec une énergie positive. L’énergie de cette dernière a donc augmenté E2 = E0
E1 > 0,
ce qui signi…erait que celle du trou noir lui même a diminué d’autant.Il en résulte par là qu’il est
possible d’extraire de l’énergie du trou noir seulement pour les trous noirs de Kerr possédant une
ergosphère.
Ce processus quantique, qui est comparable au phénomène des ‡uctuations du vide quantique,
consiste en la création de paires particules-antiparticule au niveau de l’horizon du trou noir : une
particule d’énergie négative tombe derrière l’horizon avant que son antiparticule ne le rencontre ;
la particule d’énergie positive s’éloigne du trou noir vers l’in…ni, en emportant une énergie extraite
du trou noir sous forme de rayonnement appelé dans la littérature "rayonnement de Hawking".
A grande échelle on voit comme une évaporation du trou noir où ce dernier possède un spectre
de rayonnement thermique d’un corps noir. Au cours de l’évaporation, sa température, appelée
température de Hawking TH , augmente et sa masse diminue. Signalons que la perte d’entropie
S du trou noir due à sa perte de masse est immédiatement compensée par l’accroissement de
l’entropie du rayonnement thermique, ce qui permet une non violation du second principe de la
thermodynamique.
On commence d’abords par calculer la masse et le moment angulaire des solutions trous noirs
de TMGE. Ils sont linéarisés autour d’un fond approprié et sont les charges de Killing, dé…nies
comme une intégrale sur la frontière @M d’une hypersurface de genre espace M
Q( ) =
1
Z
@M
de superpotentiels F
p
jgjF 0i ( )dSi
(4.44)
associés aux vecteurs de Killing @t et @' :Ces superpotentiels peuvent être
écrits comme la somme
F
( ) = Fg ( ) + Fe ( )
(4.45)
où la contribution purement gravitationnelle (A = 0) est donnée dans [4] [la somme des équations
(2.14) et (2.21)], et la contribution électromagnétique est donnée dans [28] [la somme des équations
(68) et (71)]. Redimensionnons les champs électromagnétiques de [28] par un facteur 2 . cette
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
45
contribution électromagnétique s’écrira alors
p
Fe ( ) =
jb
gj
h
+ Fb
hp
jgjF
A
E
+ Fb
où les champs chapeautés sont ceux du fond (ou vide), et
i
i
+ Fb
A
b
A
(4.46)
représente la di¤érence entre les champs
évalués pour la con…guration du trou noir et pour la con…guration du fond. Evaluons maintenant
la composante radiale Fe02 ( ) dans les coordonnées adaptées (3.10) et la jauge adaptée de (3.17).
Nous reconnaissons dans le premièr crochet de (4.46) la constante du mouvement qui a été prise
égale à zéro en …xant la jauge (3.17), et il reste
Fe02 ( ) =
qui peut être réarrangée comme suit
Fe02 ( ) =
Fb2a
2
2
h
ab
T
b
b
: SE
0
Tb
2
=
1
T
(4.47)
i0
(4.48)
En combinant celle-ci avec la contribution du terme gravitationnel donné dans [4] [les matrices
sont égales à
T ],
nous trouvons la charge de Killing exacte pour TMGE
T
Q( ) =
( : J+
)
0
(4.49)
où J et le super moment angulaire constant [3]. E¤ectivement la variation in…nitésimale de l’action
(3.13), avec le lagrangien (3.14), qui résulte des variations in…nitésimales X =
1
2(
: ) du vecteur X et du spineur
=
X,
montre que l’invariance de celle-ci sous le groupe SL(2; R)
SO(2; 1) ( I = 0 8 ) implique la conservation du moment angulaire généralisé J ( dJ
d = 0) donné
par l’expression
J = L + SG +SE
L = X ^ X0
(4.50)
X0 ^ L
SG =
2X ^ L0
est un scalaire donné par l’équation
b X0 +
= X:
h
b 0: L
X
b L0
2X:
i
b
(4.51)
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
46
La masse et le moment angulaire sont, respectivement, les charges de Killing pour les vecteurs
= ( 1; 0) et
= (0; 1)
JY +
M=
;
JT
J=
JX
(4.52)
Nous allons véri…er que les valeurs de ces observables sont compatibles avec la première loi de la
thermodynamique des trous noirs
dM = TH dS +
h dJ
(4.53)
où les autres observables, facilement calculées à partir de la métrique sous la forme ADM (ArnowittDeser-Misner)
N 2 dt2 + r2 (d' + N ' dt)2 +
ds2 =
1
d
( rN )2
2
(4.54)
sont la température de Hawking et la vitesse angulaire de l’horizon
TH =
1
0
rh N 2 ( 0 ) ;
4
h
=
N ' ( 0)
(4.55)
[avec rh = r( 0 ) "le rayon areal" de l’horizon], et l’entropie S du trou noir, qui est la somme de
l’entropie familière d’Einstein et la contribution de l’entropie de Chern-Simons de la gravitation
[4, 30, 31]
S=
2
Selon les di¤érentes valeurs de
(a)
rh3 (N ' )0 ( 0 )
rh
(4.56)
on distingue quatre cas possibles :
2
Dans le cas générique 0 <
2
4
< 1 [solution (4.17)], la métrique du vide (! = 0 et
0
= 0)
est
2
2
ds =
d
1
2
dt +
2 2
E
2
2
+
2
2
dt
d'
(4.57)
Les observables correspondantes ont pour expressions
M
J
=
=
S =
h
=
2
E
E
4
p
1
(1
"
2
2
)
(1
1
2
) 1
2
2
2
1
0+! 1
(1
) 1
!
!
1
2
2
2
TH =
2
!+ 1
E
2
2
1
p
2
2
0
2
1
2
;
1
1
0+! 1
2
2
0
2
2
#
0
(4.58)
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
47
et satisfont la première loi (3.34) quelque soit la variation des paramètres ! et
0
du trou noir.
Discutons maintenant, sous quelles conditions la masse et l’entropie sont positives :
(1)
1
3
(2)
< 1 ( > 0): La masse est positive si ! > 0: L’entropie est alors dé…nie positive.
> 1 ( > 0): la masse est positive si ! < 0; tandis que l’entropie si
!<
1
1
2
(
1) 1
2
(4.59)
0
2
Cette borne supérieure pour ! est conforme à la borne inférieure assurant la régularité causale
p
vue antérieurement, ! >
(3)
- 13
1
3
0
2
1
( < 0): Les conditions de positivité de la masse et de l’entropie sont les mêmes
que (2), cependant la borne supérieure (4.46) n’est pas consistante avec la régularité causale.
(4)
<
1
3
(
< 0): Les conditions de positivité sont aussi les mêmes que (2), la borne
supérieure (4.46) est conditionnellement consistante avec la régularité causile si
consistante si
>
1; et toujours
1:
2
(b) Dans le cas
= 1 (
0
= 0), les paramètres du trou noir sont ! et 2u (2u > 0). La
métrique du vide (4.44) correspond aux valeurs des paramètres ! = 2u = 0. Comme c’est la limite
du cas générique(4.45), les valeurs des observables sont considérablement simpli…ées avec la nullité
de la masse ; la vitesse angulaire de l’horizon, la température de Hawking, le moment angulaire et
l’entropie ne dépendent plus de !
M
= 0;
4
S =
E
J=
2
(1 + ) 2u
p
(1 + ) 2u;
h
= 0;
TH = 0
La première loi est trivialement satisfaite. L’entropie est positive soit pour
pour
<
(4.60)
1
3
( > 0) ou
1 ( < 0):
(c) Dans le cas
2
= 0, les paramètres du trou noir sont ! et
du vide l’équation (4.26) correspondant à la limite
M
S =
h
2
=
=
4
E
(1
) ;
( > 0) avec comme métrique
! 0. Les observables sont
J=
2
E
[(1
)! + ]
2
[(1
1
;
+!
) ! + (1 + ) ]
(4.61)
TH =
E
2
+!
La première loi est satisfaite pour les variations indépendantes des paramètres du trou noir. La
discussion de la positivité de la masse et de l’entropie est pareille que dans le cas générique, avec
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
48
les quelques modi…cations : dans le cas (1) ( 13
< 1) la masse est maintenant dé…nie négative,
et dans les autres cas la borne supérieur (4.46) sera remplacée par
1+
!<
(d) Comme dernier cas on a le cas exceptionnel
de trois paramètres libres
2
;
0 ;et
(4.62)
1
= 1 ( > 0). Celui-ci dépend génériquement
!. Cependant la masse disparait, de sorte que pour qu’on soit
en accord avec la première loi on doit avoir un seul paramètre libre à varier. En e¤et, pour toutes
les valeurs de
2
, nous pouvons prendre ce paramètre égal à l’entropie S, qui est dé…nie positive.
Les autres observables sont reliées à cette dernière par
J=
32
E 2
S
3
;
TH =
16
E
3
hS
(4.63)
et la première loi est clairement satisfaite.
Nous concluons que pour les quatre cas précédents, les observables du trou noir de TMGE
satisfont, outre la première loi di¤érentielle (3.34), la relation intégrale de Smarr
M = TH S + 2
hJ
(4.64)
Il s’agit de la généralisation naturelle de la relation de Smarr donnée dans [32], [l’équation
(2.30)], où dans le cas de TMGE, M devrait être remplacé par M=2:
4.4
4.4.1
Symétries
Vecteurs de Killings
Certaines dé…nitions importantes citées dans ce sous chapitre sont nécessaires à détailler où une
section dans l’annexe B leurs a été consacrée.
Les trous noirs de TMG ont été construits dans [25] par prolongement analytique de la solution
Vuorio, à partir de laquelle ils ont hérité l’algèbre des isométries locales de Lie [SL(2; R)
[33, 34]. Cette propriété se généralise au cas des trous noirs TMGE avec
2
U (1)]
> 0. La métrique (4.17)
admet quatre vecteurs de Killing locaux (Comme d’habitude la condition de périodicité sur ' ne
permet d’avoir que deux vecteurs de Killing globaux @t et @' ) Lt = @t , et L0 ; L
1
qui engendrent
l’algèbre sl(2; R)
[Lm ; Ln ] = (m
n) Lm+n
(m; n =
1; 0; 1)
(4.65)
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
49
avec [Lt ; Ln ] = 0. les Ln sont calculés en utilisant l’équation de Killing (B-8) de l’annexe B. Dans
le cas du trou noir
2
>0
1
L0 =
L
= e
avec
(@' + !@t )
"
1
'
p
=
=
=
E
p
(@' + !@t ) +
2
0
2
0
q
2
p
2
1
2
E
!
4 2 @t
E
2
pour
2u
< 1; (
2
pour
par contre dans le cas du trou noir extreme
2
>0(
2
< 1 avec
0
2@
0
2
#
6= 0)
= 1; (u 6= 0)
0
(4.66)
2
= 0 ou
(4.67)
= 1 avec u = 0);
L1 = @' + !@t
L0 = ' (@' + !@t )
L
1
Dans le cas exceptionnel
=
2
@
(4.68)
2
'2 +
2
(@' + !@t )
2
2' @ +
1
4 2
E
@t
= 0, l’algèbre des isométries locales et plutôt l’algèbre de Lie
[L
1 ; L0 ]
=
L
1
;
[L1 ; L
[Lt ; Ln ] = 0
n=
1]
=
2Lt
(4.69)
1; 0; 1
(4.70)
pour les quatres vecteurs de Killing locaux Lt = @t et, dans le cas du trou noir générique,
L0 =
L
avec
=
E
1
= e
L
2
=
(@' + !@t )
'
6= 0, or, pour le vide
L0 =
avec
1
2
E 1:
1
=
2
1
p
1
2
(@' + !@t
(
) @t )
p
2
@
(4.71)
= 0;
(@' + !@t ) +
(@' + !@t )
2
'@ +
1
2
(@ + '@t )
2 2
+
2 2
'
@t
(4.72)
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
4.4.2
50
Générer des trous noirs du vide
Le fait que les invariants de courbures (4.31) ne dépendent que de
donnée de
2
2
, et que pour une valeur
les vecteurs de Killing locaux produisent di¤érentes réalisations de la même algèbre
de Lie, suggère que ces solutions peuvent être transformées en d’autres par des transformations de
coordonnées locales. Encore une fois nous devons traiter séparément le cas de la solution générique
2
(4.16) et les deux cas particuliers
2
= 0 et
= 1:
(a) la métrique (4.16) peut être réduite à la Kaluza-Klein à la métrique AdS2 ('; ). Elle est
similaire au cas de la métrique à quatre dimensions RBR de [35], et peut être générée à partir de
la métrique du vide de la même manière. Ecrivons (4.16) comme suit
2
4
2
ds =
2
2
0
2 2
E
2
du+ du + 1
2
0
dt
!d'
1
2 d'
(4.73)
avec
u =
où
1
2
1
0
est dé…ni dans (4.54) et la coordonnée
'
(4.74)
est reliée à
=
par
0 coth
(4.75)
on voit qu’elle peut être obtenue à partir de la métrique du vide (! =
0
= 0) (coordonnées
chapeautées) par la transformation combiné
u
b
(b) Dans le cas
2
0
1
2
b
t = t
'
b
!' +
b
1
1
2
= tanh u
coth u
coth u+
ln
(4.76)
= 1, la transformation entre la métrique du trous noirs
ds2 =
1
2
d
2 2
E
2
+
2
+ 2u d'2
2 d' (dt
!d')
(4.77)
et la métrique du vide ! = 2u = 0 est moins évidente. Cependant il peut être facilement obtenu
p
à partir du cas précédent en mettant = 0 = et en prenant la limite 0 ! 0 avec = 2 E 2u
…xe, conduisant à
b =
'
b =
coth2
2
b
t = t
tanh
!'
2
2
'
'
2
E
(4.78)
tanh
2
'
Chapitre 4 : Trous noirs de Chern-Simons
(c) Le cas
2
51
= 0 métrique(4.22) est semblable au cas générique, sauf que AdS2 est remplacé
par l’espace-temps plat de Rindler. En posant
ds2 = dx2
2 2 2
2
E x d'
=(
+ dt
2
E
=2)x2 , (4.22) peut être écrite sous la forme
2
E
(! + ) d'
2
2
x2 d'
(4.79)
Ceci peut être obtenu à partir de la métrique du vide (4.25) (coordonnées chapeautées) par la
transformation combinée
b =
'
b =
E 1 x coth ( E
x
b
t = t
sinh (
E
')
')
(4.80)
1
(! + )' +
2
Ex
4
sinh (2
E
')
Chapitre 5
Trous noirs de TME couplée à un
champ scalaire dilatonique
5.1
Introduction
Les di¤érentes théories des cordes sont fondées sur la quanti…cation de la dynamique relativiste
d’un objet étendu sur une dimension spaciale appelée corde. Cette dernière peut être fermée sur
elle-même ou ouverte. L’une des excitations quantiques d’une corde fermée reproduit, dans une
certaine limite, toute la structure non linéaire de la relativité générale. Cette théorie prédit entre
autre la dimension de l’espace-temps et elle n’est cohérente que si D = 10 dans le cas où elle admet
des excitations fermioniques. Or le monde physique où nous vivons est à quatre dimensions ; mais
dans les années vingts, T.Kaluza et O.Klein ont déjà montré avant l’arrivée de la théorie des cordes,
qu’un espace-temps à D > 4 est compatible avec la réalité si les dimensions supplémentaires sont
compacti…ées (se referment sur elles-mêmes) sur des échelles de distance trés petites. Cette théorie
semble se dérouler dans un espace-temps à quatre dimensions contenant de nouveaux champs de
longue portée, sans masse à priori, liés à la géométrie des dimensions supplémentaires compacti…ées.
La théorie des cordes ouvertes englobe la théorie de Maxwell car les états quantiques internes des
particules de masse nulle n’est autre que le photon. Par contre le champ associé aux états de masse
nulle d’une corde fermée se décompose en un champ g
(le graviton) d’une onde gravitationnelle qui
déforme la géométrie de l’espace-temps (qui était à l’origine minkowskien), un champ scalaire (x)
(le dilaton) et un champ tensoriel antisymétrique B (x) =
B (x). Donc la théorie des cordes
Chapitre 5 : Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
53
est plus large que la gravitation car le graviton n’est qu’une excitation quantique particulière d’une
corde parmi d’autres. En e¤et la gravitation g (x) n’apparaît pas seule dans cette théorie et elle est
nécessairement accompagnée par d’autres champs. Notons que dans une certaine limite, la présence
d’un fond B (x) a l’e¤et de déformer de façon non commutative la géométrie de l’espace-temps.
L’autre partenaire du graviton est le dilaton et il joue un rôle central en théorie des cordes : la
valeur moyenne dans le vide du dilaton détèrmine la constante de couplage de cette théorie gs = e
où toutes les contantes de couplages de la physique en dépendent.
5.2
L’action
Dans ce chapitre on va établir une classe de solutions trous noirs stationnaires et axisymétriques
de la gravitation à trois dimensions, avec constante cosmologique, couplée à un champ de Maxwell
A avec un terme de Chern-Simons pour la rendre dynamique (TME) et un champ scalaire dilatonique . Ce sont les trous noirs de la théorie dilatonique à 3D d’Einstein-Maxwell Chern-Simons.
Cette théorie est dé…nie par l’action [36]
I = IE + IM + ICSE
(5.1)
où IE est l’action d’Einstein avec une constante cosmologique
, IM l’action de Maxwell et ICSE
est le terme de Chern-Simons électromagnetique. Les expressions de ces trois actions sont données
par
IE =
1
2
Z
IM =
p h
d3 x jgj R
1
4
Z
ICSE =
d3 xec
E
2
Z
4 g @
2 eb
@
p
i
(5.2)
jgjg g F F
d3 x
(5.3)
A @ A
(5.4)
Cette théorie est donc dé…nie par l’action
I =
1
2
+
Z
E
2
p h
d3 x jgj R 4 g @
Z
d3 x
A @ A
@
2 eb
i
1
4
Z
d3 xec
p
jgjg g F F
(5.5)
= 8 G est la constante de gravitation d’Einstein. b et c sont les constantes de couplage du champ
scalaire dilatonique
respectivement avec la constante cosmologique
et le champ de maxwell.
E
Chapitre 5 : Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
étant la constante de couplage de Chern-Simons électromagnétique (
54
est comme pour TMGE
le symbole antisymétrique).
Comme pour le cas de TMGE, on veut chercher des solutions stationnaire à symétrie circulaire
pour cette théorie. On suppose donc que l’espace-temps à trois dimensions possède deux vecteurs de
Killing et donc que la métrique g
ne dépend que de la coordonnée . Choisissons la paramétrisation
[22, 23]
ds2 =
A =
(x0 = t; x1 = ') et
) dxa dxb +
ab (
a(
2
( )R
2
( )d
a; b = 0; 1
) dxa
est la matrice 2
0
=@
R2
2
(5.6)
2
U =T +X
1
Y
Y
V =T
A
X
X2 est la pseudo-norme de Minkowski, à trois dimensions, du "vecteur" X ( ) = (T; X; Y )
X2 =
Le facteur d’echelle
ij X
i
Xj =
T 2 + X2 + Y 2
(5.7)
( ) permet de reparamétriser arbitrairement la coordonnée radiale .
Cette reparamétrisation réduit l’action (5.5) sous la forme
I=
Z
d2 x
Z
d L
(5.8)
où L est le lagrangien e¤ectif.
Avec cette reparamétrisation le dilaton ne dépend, lui aussi, que de la coordonnée radiale
(
( )), et le terme g @
@
=
ab
@a @b + g
En utilisant la dé…nition des matrices de Dirac
0
1
0
0 1
0
0
A ; 1=@
=@
1 0
1
)2 =
(@
2
1
0
1
0
A ;
2
;
T
=@
2
X02
4 R2
02
2
1
eb
+ ec
0
1
0
0
1
1
A
(5.9)
0.
Le lagrangien e¤ectif total L prend alors l’expression simple (0 =
1
2
:
i
ainsi que la dé…nition de l’adjoint de Dirac du spineur
L=
02
R2
@
@
( :X)
)
0
E
0
(5.10)
Chapitre 5 : Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
5.3
55
Les équations du mouvement
Essayons maintenant de trouver les équations du mouvement de notre théorie en faisant varier
notre action par rapport aux trois variables X;
et
:La variation du lagrangien L Suivant X
conduit à l’équation du mouvement :
X00 + 8 X
V
La variation suivant
0
0
( :X)
La variation de ce lagrangien suivant
@
ment sur
= ec
00
+ 2XX
0
(5.11)
donne l’équation :
c c
e
2
Un choix de jauge
0
02
T
=
E
2
h
R2
+4
0
b
0
1 b
e
=0
(5.12)
:
+ ec ( :X)
E
0
i
=0
(5.13)
permet d’annuler la constante d’intégration de l’équation du mouve-
(5.13), conduisant à l’intégrale première
0
ce qui permet d’éliminer le spineur
=
E
R2
0
et
e
c
( :X)
(5.14)
à partir du Lagrangien et d’obtenir l’expression du
vecteur "spin"
SE =
(5.15)
2
de composantes
S0 =
2
(
2
0
2
1 ),
+
S1 =
2
2
0
(
2
1 ),
S2 =
0
1
et son équation d’évolution
S0E =
2 E
e
R2
c
X ^ SE
(5.16)
où on dé…nit le produit vectoriel de deux vecteurs X et Y par (X ^ Y)i =
012
ij
jkl X
kY l
avec
= +1:
Notons que l’équation (5.14) n’est équivalente à l’équation (5.16) que parce que S2E = 0:
En utilisant une des propriétés [37] des matrices
(5.9), l’équation (5.14) et la dé…nition (5.15)
on obtient l’équation (5.11) en fonction du terme de spin apparaissant dans l’équation
ec
0
0
=
2 2E
R2
2
e
c
2
(SE :X) X
R2
SE
(5.17)
Chapitre 5 : Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
56
Multiplions ce dernier par le vecteur X et insérons-le dans l’équation (5.12)
R2
0 0
=+
b
4
c
b
2e
4
2
c
E
2 2e
R
(SE :X)
(5.18)
L’équation (5.11) s’exprime en fonction de SE par l’équation
X00 + 8 X
V
02
=
2
c
E
2 2e
R
2
2
(SE :X) X
R2
(5.19)
SE
En multipliant l’équation (5.19) par le vecteur X on peut tirer le scalaire SE :X
(SE :X) =
R2 2 c
e
2 2E
00
X:X + 8 R2
02
(5.20)
et en remplaçant cette équation dans l’équation (5.19) on obtient l’expression du vecteur spin SE
2
SE =
2
2
E
ec
R2 X00 + 2(XX00 )X + 8 R2
02
2
=
X
2
c
2 e
E
[2(V:X)X
La variation de l’action (5.10) par rapport au multiplicateur de Lagrange
R2 V]
(5.21)
conduit à la contrainte
Hamiltonienne
H
1
4
X02
8 R2
02
+
4
b
2e +
2
c
E
2 2e
R
4
(SE :X) = 0
(5.22)
Insérons l’équation (5.20) dans cette dernière équation et dans l’équation (5.18), on obtient les deux
équations simples suivantes
00
X02 + 2X:X + 8 R2
R2
0 0
+
c
8
02
00
X:X + 8 R2
+
4
02
2
eb = 0
b
4
b
2e
(5.23)
=0
(5.24)
En combinant ces deux équations ensembles nous obtenons l’expression …nale de la contraintes
hamiltonienne
R2
0
c
8
0
X:X0
=
2
2
c+
b
2
eb
(5.25)
Cette contrainte hamiltonienne ne peut s’intégrer facilement que si les constantes de couplage
du dilaton sont reliées par la relation b + 2c = 0. En adoptant ce choix pour la simplicité des calculs
et
=
E
, pour la même raison que celle cité dans TMGE [38], l’intégration donne
R2
où d est une constante d’intégration.
0
=
c
8
RR0 + d
(5.26)
Chapitre 5 : Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
5.4
5.4.1
57
Métrique et champ dilatonique
Expression du champ dilatonique
Les solutions trous noirs de TMGE ont été trouvées en choisissant l’ansatz (4.1), avec les vecteurs
constants
; ; , et les contraintes (4.2) indiquant que le carré scalaire de
orthogonal à
est nul et que
est
:
Dans le contexte de la théorie TME dilatonique, on généralisera cet ansatz par
q+p
X=
q
+
+
q p
(5.27)
où q et p 6= 0 sont des nombres réels (on note que pour le cas p = 0, X devient dégénéré. Ce cas sera
étudié séparément plus tard). L’ansatz (5.25) sera réduit à celui de TMGE si q = p = 1 qui n’est
autre que la limite c ! 0 où la constante de couplage du dilaton est nulle. Les vecteurs constants
linéairement indépendants
;
et
obéissent, de même que pour TMGE, aux deux contraintes
2
=0 , ( : )=0
(5.28)
En prenant en compte toutes ces hypothèses, et comme R2 = X2 il s’écrit en fonction de
par
l’équation
R2 = m
2
avec m = 2 : +
; n = 2 : et l =
2q
2 :Si
2q p
+n
+l
2q 2p
(5.29)
on Remplace la forme (5.29) de R2 ( ) dans l’équation
(5.26) on peut obtenir la dérivée du dilaton
0
=
c 2qm
16
2q 1
+ (2q
p)n 2q
m 2q + n
Cette dérivée peut s’intégrer facilement en
p 1
2q
/ ln
+ (2q 2p)l
p + l 2q 2p
2q 2p 1
+ 2d
(5.30)
si
1) la constante 2d se regroupera avec l’un des trois monômes du numérateur, c’est-à-dire pour
l’un des trois cas suivants : 2q
1 = 0; 2q
p
1 = 0 ou bien 2q
2p
1 = 0. Seule la seconde
possibilité
p = 2q
1
(5.31)
est en accord avec le fait que p et q se réduisent à 1 dans la limite c ! 0 où la constante de
couplage du dilaton est nulle.
Chapitre 5 : Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
2) les coe¢ cients des puissances de
minateur de sorte que
0
1,
/
58
dans le numérateur sont les mêmes que ceux du déno-
c’es-à-dire si les équation suivantes sont véri…ées (où nous avons
remplacé p par q en utilisant la relation (5.31))
n + 2d = 2nq;
2(1
q)l = 2ql
(5.32)
La première relation …xe la constante d’integration d pour l’équation (5.24) du champ dilatonique en termes de paramètres métriques et la seconde relation est véri…ée si q = 21 , ce qui nous
conduit au cas p = 0 que nous avons exclu car l’ansatz (5.27) deviendrait dégénéré, ou bien l = 0.
Ce dernier cas nous pousse à prendre pour l’ansatz (5.27) non seulement les deux hypothèses (5.28),
mais une troisième hypothèse
2
ce qui conduit à l’expression du dilaton
0
(5.33)
en intégrant (5.30)
=
avec
=0
cq
ln
8
(5.34)
0
une nouvelle constante d’intégration.
En prenant le choix de l’ansatz (5.27) avec la condition (5.31) et en tenant compte des trois
hypthèses (5.28) et (5.33), le membre de gauche de (5.17) s’écrit en fonction de
V = (3q
1)(3q
2) +
c2 q 2
8
3q 3
+ q(q
1) +
c2 q 2
8
q 2
+
1 q
(5.35)
Si on calcule le carré du terme de droite de l’équation (5.19), on constate qu’il n’est nul, ainsi
que le carré du spin S2E = 0, que si q = 0, qui est une possibilité qui mène à une solution non
consistante et donc à exclure, ou bien une autre possibilité qui est
q=
Comme 1
q=
c2 q
8
1
1+
(5.36)
c2
8
les équations (5.34) et (5.35) nous donnent les expressions suivantes
1 q
ec =
,
V = 2(1
2q)2
3q 3
(5.37)
0
Ces deux dernières équations (5.37) nous permettent de donner une seconde forme à l’équation du
spin (5.22)
SE = (1
2q)2
q 1
0 [2(
= (1
2q)2
q 1
0 [
k
: )X
^
q 1
4q 2
R2
2k
2q 2
^
]
2q 1
+ 2( : ) ]
(5.38)
Chapitre 5 : Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
59
où on a utilisé (5.29) et les relations vectorielles suivantes qui dérivent des contraintes (5.28)
^
=k
2
,
= k2
(5.39)
et où k est une constante. Nous remarquons que l’équation d’évolution du spin (5.16) est véri…ée si
k=
1 q
0
1
(5.40)
2q
Finalement, la contrainte hamiltonienne qui a pour expression (5.23) est satisfaite si
q + 4(2q
2(1
: =
pour q 6= 13 . Pour q =
5.4.2
1
3
(c2 = 16 ) et
2
E
=
4
1) =
3q)
2
E
k2
(5.41)
, la valeur du produit scalaire
: devient arbitraire.
Métrique des solution trous noirs de la théorie TME dilatonique
Nous allons maintenant établir la métrique d’une classe de solutions trous noirs de la théorie
TME dilatonique. Pour ce faire, on choisit un repère, où les vecteurs constants linéairement indépendants
;
et
de (5.27) et qui véri…ent les trois hypothèses (5.28) ou (5.39) et (5.33) avec
q 6= 31 ; ont pour composantes
=k 3 ( ;
2
avec (
2
2
; 0) ;
=k(!; !; 1) ;
=k
1
(z + u; z
u; v)
(5.42)
= 1):
Ce choix du repère (5.42) étant fait, l’équation (5.41) permet d’obtenir l’expression de
k2 z =
:
z=
q + 4(2q
2(3q
(1
2 z) =
2
E
1) =
1)
(5.43)
où encore
2
1
1
2q
3q
1
4
2
E
(5.44)
L’équation (5.28) exprimée dans la base paramétrisée (5.42) permet d’exprimer le carré scalaire de
X en fonction des paramètres
2
=1
paramètres z et v par l’équation (5.33)
R2 =
2 z; v et ! ( notons que le paramètre u est relié par les
2
= 0 , v 2 = 4uz)
k2
2 2q 1
2(v + 2!z)
(5.45)
Chapitre 5 : Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
qui s’exprime plus simplement si on dé…nit
par
h
2q 1
h
=
R2 = k 2
2
60
2
k2
2 (v
+ 2!z)
(5.46)
et conduit à
2q 1
h
2q 1
(5.47)
La métrique de la théorie TME couplée à un champ dilatonique s’écrit sous deux formes équivalentes. La forme ADM
Y2 2
Y
d 2
)dt + V (d' + dt)2 + 2 2
V
V
ER
ds2 = (U
(5.48)
qui, en utilisant l’ansatz (5.27) et la paramétrisation (5.42)
U
r2
Y
1 1 q
= T + X = 2zk
X = k3
V =T
=
k
q
+ vk
2
1 q
q
+
k
3q 1
; v et
k2
k 3 3q 2
+r
)
+ 2!k
v2
1 q
(5.49)
2
k 1
1 1 q
est exprimée en fonction des paramètres
ds2 =
2
(1
=
2
2
h
2q 1
(
vk
2 2
E
k2
+
1 1 q
2q 1
)
h
2
v
k(1 2 )
q
dt2
2
q
k
dt
r2
d
+
q 1
+ 2!k
d' +
par l’expression suivante
(5.50)
2
2q 1
h
2q 1
ou bien sous la forme
R2 2
d 2
d' + 2 2
U
ER
Y
d')2
U
ds2 = U (dt +
(5.51)
c’est-à-dire
2
ds
=
2
(1
)
k
1 q
(dt
d
+
k2
2 2
E
k2
2q 1
1
2
v
2
k3
d')
2 q
2q 1
1
2
2q 1
h
d'2
2
2q 1
(5.52)
2q 1
h
De même on peut exprimer les composantes du vecteur de spin SE en fonction des paramètres
z; v et !. L’équation (5.38) donnant l’expression du vecteur spin combinée avec l’équation (5.40)
simpli…e l’expression de ce dernier
SE = (2q
1) k
4q 2
2( ^ )
2q 1
2k z
(5.53)
Chapitre 5 : Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
61
et nous permet de donner la forme des composantes du vecteur de spin en utilisant bien sur la
paramétrisation (5.42)
ST =
S0
= (2q
2
1)
SX =
S1
= (2q
2
+
2
1)
k4
2
4q 2
2
0
2
1)
(
k4
2
1)
SY =
S2
2
0
(
0
1
4q 2
= (2q
k2 v
2q 1
+ k2 v
2 z(z + u)
2q 1
1) (2 z) k 2
2 z(z
2q 1
(5.54.a)
u)
(5.54.b)
v
(5.54.c)
Finalement l’équation (5.5) nous permet de formuler l’expression simple du champ électromagnétique
r
A=
(1
2q)
"
2
1
dt
k
2 2q 1
v d'
#
(5.55.a)
Ce champ électromagnétique n’est réel que si le terme sous la racine est positif, ce qui donne le
signe de
= sign [ (1
2q)]
(5.55.b)
On en conclut donc que l’on a trouvé une classe de solutions trous noirs pour la théorie de la
gravitation topologiquement massive couplée à un champ électromagnétique (5.55) et à un champ
scalaire dilatonique (5.34).
La forme de la métrique, pour le cas particulier
paramètres v et
=
v
ds2 =
5.5
2
2
E
= 0 (
=
2 k3
d'2 +
4
avec q 6=
1
3 ),
dépend des
! tel que
1 q
k
(dt
k2
2q 1
v d')2
d
2k 2
2
2
E
Structure globale
5.5.1
Régularité de la solution
La solution trou noir (5.50) est régulière si
l’horizon
2q 1
=
2q 1
en
h
2q 1
6=
2q 1
et
h
peut être prolongée à travers
utilisant la méthode habituelle de Kruskal, conduisant à un espace-
temps géodésiquement complet. Mais cette solution n’est régulière à l’in…ni ( ! 1), que si
et
(5.56)
1 < q < 0 ; c’est-à-dire que N 2 ( ! 1) > 0 et r2 ( ! 1) > 0
2
<0
Chapitre 5 : Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
2
k2
2
N ( )=
k3
3q 2
(
2q 1
)
h
v2
q 1+
k(1 2 )
2q 1
+ 2!k
et que la métrique est prolongeable à l’in…ni (s ! 1 si
q > 1 (k > 0 (5.40) et
k3
3q 1
2
2
et N 2 ( ! 1)
(5.57)
q
! 1). En e¤et si :
= 1 > 0 d’aprés l’équation (5.55.b) car
est positif quelque soit
62
1 q
< 0 (5.36)), r2 ( ! 1)
2
n’est positif que si
k
> 0. On verra
par la suite que pour ce domaine de q les géodésiques ne sont pas prolongeables à l’in…ni (s ! 0 si
! 1):
1
2
2
< q < 1 (k > 0,
> 0 (5.36)), r2 ( ! 1)
1 < 0 car
k3
3q 1
est négatif quelque soit
, et donc la solution est irrégulière.
0<q <
si
=
2
1
2
(k < 0,
2
> 1 et N 2 ( ! 1)
(1
v2
2
v2
k(1
> 0 (5.36)), r2 ( ! 1)
= 1 > 0 car
) 2q 1 q
0
2
ne l’ai que si
2
1 q
)
n’est positif que
< 0. Les deux conditions sur
2
ne peuvent se réaliser en même temps, l’un des deux (N 2 et r2 ) doit être négatif. Donc dans ce
domaine de q la solution est irrégulière.
q < 0 (k < 0, =
2
et N 2 ( ! 1)
domaine que si
2
(1
v2
2
v2
k(1
< 0 (5.36)), r2 ( ! 1)
1 < 0 car
) 2q 1 q
0
ne l’ai que si
2
2
1 q
)
n’est positif que si
2
<1
< 0. Donc la solution n’est régulière dans ce
< 0.
Essayons maintenant de voir si, dans ces domaines de q, où la solution est régulière, les géodétiques vont à l’in…ni ou bien se terminent si
! 1. Pour celà on a besoin de l’équation des
géodésiques. Le mouvement géodésique d’une particule qui se déplace dans le champ de gravitation
g
de la métrique (5.50) est obtenu en utilisant l’équation des géodésiques
d2 x
+
ds2
:
dx dx
=0
ds ds
(5.58)
:
qui dérive du lagrangien L = g x x donné par (5.10) où : = @s . Comme ce dernier est indépendant
de t et ', on aura deux constantes du mouvement : l’énergie E =
Si on impose une contrainte L =
:2
=
d
ds
2
2
=
@L
:
@t
et le moment angulaire J =
" l’équation des géodésiques prend la forme suivante
f k2 E 2
3q 1
+ 2kE(E!
+"k 2
2
(
2q
J)
q
+
2q 1
h
[
! 1 et q > 1,
:2
3q 1
soit en intégrant s
3
(1
2
2
Ev J(1
k(1
2
)
2
)]
1 q
(5.59)
)g
On va seulement se concentrer sur le terme dominant en puissance de
Lorsque
@L
: .
@'
q)
des équations (5.59).
! 0 et donc les géodésiques
Chapitre 5 : Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
63
se terminent à l’in…ni. La solution n’est donc pas régulière si q > 1. De la même manière, lorsque
! 1 et q < 0, on montre facilement, en tenant seulement en compte le terme dominant en ,
q+1
2
que s
qui n’est prolongeable à l’in…ni (s ! 1) que dans le cas où
a montré que notre solution est régulière seulement si
2
< 0 et
1 < q < 0. Par suite on
1 < q < 0.
Cependant cette solution peut avoir des courbes fermées de genre temps (CTC) pour certains
domaines de ses paramètres ! et v. Les cercles
= constant sont de genre temps chaque fois que
g'' = V = r2 < 0:
Dans le cas du trou noir générique (5.50), les zéros de r2 sont localisés par
s
v2
k 2 2q 1 = !
!2
2
1
Si
2
1 < q < 0 et
absents si
v
1
2
(5.60)
< 0, deux cas se présentent selon le signe de v. Si v > 0 les CTC sont
<!< p
v
1
2
mais si ! > p
v
1
2
les CTC existent mais ne sont pas cachées par
l’horizon, ce qui rend la solution irrégulière pour ce dernier domaine de !. Si maintenant v < 0,
les CTC sont absents si
v
1
2
<!< p
v
1
2
mais si ! > p
v
1
2
les CTC existent et ne sont pas
cachées par l’horizon, ce qui rend la solution irrégulière pour ce dernier domaine de !.
5.5.2
Diagrammes de penrose
Dans cette section, nous allons construire le diagramme de Penrose de la solution trou noir
en rotation de la théorie TME dilatonique donnée par la métrique (5.50). L’extension analytique
maximale de l’espace-temps de Minkowski et de Schwarzschild a été facilement réalisée dans la section 2 du chapitre 2 en utilisant un système de coordonnées approprié ce qui a permis de construire
directement leur diagrammes de Penrose. Ce système de coordonnées n’est pas toujours facile à
trouver pour certains espaces-temps. Pour y remédier, nous allons les construire par morceaux.
Mais avant on aura d’abords besoin de l’expression du scalaire de courbure de la solution (5.50)
2
R=
2
n
(2q
1)2
(11q 2
8q + 1)
2
2q 2
+ q(q
1)
2 2q 1
h
1
o
(5.61)
qui nous permettra de détecter les singularités causales.
En négligeant les coordonnées angulaires, la solution (5.50) peut s’écrire
ds2 =
R2
r2
dt2 + dx2
(5.62)
Chapitre 5 : Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
64
Fig. 5.1 –Les deux morceaux composant le diagramme de Penrose de la structure conforme de la
solution de Minkowski
où R2 et r2 sont données respectivement par les équations (5.47) et (5.49) et x est une nouvelle
coordonnée dé…nie par
dx =
r
d =
R2
k 3 3q 1
+ 2!k
k2
2
q
+
k(1
2q 1
h
2q
1=2
v2
1 q
2
)
d
(5.63)
Ce qui est remarquable c’est que la partie (t; ) de la métrique (5.50) est conforme à celle de
la métrique de Minkowski et par conséquent, sa structure conforme est identique à celle-ci. Donc
les diagrammes de Penrose de la solution (5.50) sont constitués des mêmes morceaux (…g. 5.1) que
ceux composant le diagramme de Penrose de Minkowski (…g 2.1). Si on ne tient compte que du
terme dominant en puissances de
quand
dx
où
=
1
k2
1
2
1=2
v2
2
2q 1
h
.
1 < q < 0, l’équation (5.63) précédente devient
q+1
2
d
(5.64)
Chapitre 5 : Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
Fig. 5.2 –Diagramme de Penrose de la solution (5.50) dans le cas
1
65
q < 0 ou, qui est similaire
au diagramme de Penrose de la solution de Schwarzschild.
En intégrant, la variable x prend la forme suivante
x=
2
(q + 1)
1 q
2
+ cste
(5.65)
Nous pouvons maintenant construire le diagramme de Penrose associé à la solution (5.50) pour
le domaine
1 < q < 0 où cette dernière est régulière.
courbure (5.61)) à l’in…ni. Lorsque
varie de zéro ( où se trouve la singularité de
tend vers l’in…ni, la variable x tend vers une valeur in…nie, et
comme on a vu, dans l’étude des géodésiques que la solution est prolongeable à l’in…ni (
! 1) et
donc régulière, la partie du diagramme de Penrose est donc identique à celle de Minkowski lorsque
r ! 1 (…g. 5.1 (b)). Comme
= 0 est une singularité de genre espace, la partie du diagramme
est une double ligne horizontale. En réunissant les deux parties, nous obtenons le diagramme de
Penrose de la …gure 5.2, qui est similaire au diagramme de Penrose de Schwarzschild.
5.6
Masse, moment angulaire et thermodynamique
La masse et le moment angulaire des solutions trous noirs en rotation de la théorie de TME
couplée à un champ scalaire dilatonique sont les charges de Killing, dé…nies par la relation [4]
Q( ) =
1
Z
@M
p
jgjF 0i ( )dSi
(5.66)
Chapitre 5 : Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
@M est la limite de l’hypersurface de genre espace M ; F
66
sont les hyperpotentiels associés aux
vecteurs de Killing @t et @'
F
( ) = Fg ( ) + Fe ( )
(5.67)
La variation in…nitésimale de l’action (5.8), avec le lagrangien (5.10), qui résulte des variations
in…nitésimales X =
scalaire
= 12 ( : )
X,
( )
I=
Z
2
d x
Z
et
d
d
d
= 0 du vecteur X, du spineur
@L
1 @L
+
0
@X
2@ 0
X
montre que l’invariance de celle-ci sous le groupe SL(2; R)
et du champ
(5.68)
SO(2; 1) ( I = 0 8 ) implique la
conservation du moment angulaire généralisé J ( dJ
d = 0) donné par l’expression
J = L + SE = X
X0 +
1
2
T
avec
T
=
@L
@ 0
(5.69)
Un calcul similaire à celui fait pour TMGE dans [38], permet d’obtenir la charge de Killing pour
TME couplée à un champ scalaire dilatonique
Q( ) =
T
( : J+
)
0
(5.70)
où J est le super moment angulaire constant (5.69), avec
L = X ^ X0
et le scalaire
(5.71)
donné par l’expression
b
b X0
= X:
Les champs munis d’un "chapeau" sont ceux du fond "le vide", et
(5.72)
est la di¤érence entre les
champs des trous noirs et ceux du fond. La masse et le moment angulaire sont respectivement les
charges de Killing pour les vecteurs
= ( 1; 0) et
= (0; 1) et sont donnés, comme pour TMGE,
par les expressions suivantes
M
=
J
=
JY +
JT
JX
(5.73)
Nous allons par la suite calculer la masse et le moment angulaire et voir qu’ils véri…ent la
première loi de la thermodynamique des trous noirs suivante
dM = TH dS +
h dJ
(5.74)
Chapitre 5 : Trous noirs de TME couplée à un champ scalaire dilatonique
La température de Hawking TH et la vitesse angulaire de l’horizon
h
67
combinés à la forme ADM
de la métrique
N 2 dt2 + r2 (d' + N ' dt)2 +
ds2 =
1
d
( rN )2
2
(5.75)
qui n’est autre que la métrique (5.50) de la théorie TME dilatonique, auront pour expressions
TH =
1
0
rh N 2 (
4
h
N' (
=
h)
h)
=
=
2
RR0
p
V
Y
V
=
E
(5.76)
=
h
(5.77)
h
L’entropie du trou noir S est due uniquement à la contribution de la gravitation et elle est donnée
par
S=
2
4
rh (
h) =
2p
4
V(
h)
(5.78)
Les paramètres du trou noir en rotation de la théorie TME dilatonique étant ! et v, le vide est
donc dé…ni par ! = 0 et v = 0 (u = 0). La masse et le moment angulaire (5.73) s’écrivent alors en
fonction de v et
h
M
J
E
=
2
E
=
(2q
2q 1
h
1)
2v +
2
(2q
1)
2q 1
h
2v
1
ainsi que la température de Hawking TH , la vitesse angulaire
TH =
E
4
(2q
2
1)
h
S=
4
2
1
q
=
2
2
1
2
1
q
q
2
2q 1
h
v
h
(5.79)
et l’entropie S
2q 1
h
1 q
2q 1
h
h
(5.80)
v
(5.81)
2q 1
h
v
q
1 q
h
1
2
1
2q 1
h
v
(5.82)
les expressions (5.79), (5.80), (5.81), (5.82) sont consistantes avec la première loi de la thermodynamique des trous noirs (5.74) indépendamment de la variation des v et ! du trou noir.
Pour conclure ce chapitre, notons que la théorie TME couplée à un champ scalaire dilatonique
satisfait la relation de Smarr suivante
M=
3q
2(2q
1
TH S + 2
1)
hJ
(5.83)
Chapitre 6
Conclusion Générale
Dans cette thèse, nous avons construit et étudié de nouvelles solutions trous noir asymptotiquement plates de la gravitation à trois dimensions.
Dans un premier volet, la construction des trous noirs a été focalisée sur la théorie de la gravitoélectrodynamique topologiquement massive (TMGE) qui est une théorie d’Einstein- Maxwell à trois
dimensions augmentée de deux termes de Chern-Simons de la gravitation et de l’éléctromagnétisme.
Dans le second volet nous avons construit des trous noirs de la théorie de l’électrodynamique
topologiquement massive (TME) couplée à un champ scalaire, le dilaton. Pour les deux classes
de trous noirs, nous avons calculé la masse et le moment angulaire et nous avons véri…é qu’elles
satisfont la première loi de la thermodynamique.
Dans le chapitre trois, aprés avoir fait un bref rappel sur l’historique et la nécessité d’une théorie
dynamique (d’où l’ajout du terme de Chern-Simon), nous avons supposé que l’espace-temps à trois
dimensions posséde deux vecteurs de Killing en procédant à une réduction dimensionnelle [3], pour
trouver des solutions stationnaires à symétrie circulaire.
Dans le quatrième chapitre, nous avons trouvé des solutions stationnaires en rotation de la théorie TMGE en utilisant un ansatz adéquat d’un vecteur de l’espace-temps de Minkowski …ctif. Ces
solutions trous noirs ne sont régulières que pour certains domaines des paramétres de ces dernières.
Nous avons alors étudié leur structure globale ( courbes fermées de genre temps, diagrammes de
Penrose). On a aussi calculé leur masse et moment angulaire et véri…é qu’il satisfont la première
loi de la thermodynamique. Puis aprés on a vu que nos trous noirs admettent quatre vecteurs de
killing locaux générant soit l’algèbre SL(2; R)
R ou bien une algèbre de Lie, ce qui nous amène,
Chapitre 6 : Conclusion Générale
69
pour un ensemble donné de paramètres du modèle, à trouver des transformations de coordonnées
locales qui donnent nos solutions à partir des solutions du vide.
Dans le chapitre 5, on a aussi trouvé des solutions stationnaires en rotation mais cette fois-ci
pour la théorie TME couplée à un champ scalaire dilatonique. Un nouvel ansatz a été utilisé et ces
solutions sont régulières seulement pour certains domainesdes paramètres du trou noir. L’étude de
la structure globale génère de nouveaux diagrammes de Penrose qui ne sont des trous noirs que
pour certaines conditions imposées au paramètre q de l’ansatz. La masse et le moment angulaire
ont été calculés et ces trous noirs satisfont la première loi de la thermodynamique.
Annexe A
Relativité Générale
L’idée fondamentale à la base de la relativité générale est que le champ de gravitation, qui se
manifeste par ses e¤ets sur le mouvement des corps massifs, n’est autre que la géométrie courbe de
l’espace-temps. Cette géométrie riemannienne est dé…nie sur une variété (espace-temps) à quatre
dimensions. On munit sur cette variété un tenseur métrique g
qui dé…nit le carré de la distance
ds2 entre deux points in…niment voisins, comme forme quadratique non dégénérée de l’écart de
leurs coordonnées
ds2 = g (x)dx dx
où
(A-1)
= 0; 1; 2; 3 et g (x), qui varie avec le système de coordonnées quelconque x , est une matrice
symétrique (g
= g ) et inversible et de signature ( + ++).
La relativité restreinte s’interesse uniquement au systèmes de coordonnées inertiels. En relativité
générale l’objet mathématique qui permet de lever cette restriction sont les connexions a¢ nes
encore appelées, les symboles de Christo¤el (symétriques en ( ; )), englobant ainsi les systèmes
de coordonnées non inertiels quelconques. Si on associe au système de coordonnées x une base
fe g, le gradient d’un quadrivecteur est a¤ecté par la variation du quadrivecteur lui même, et par
celle du système de coordonnées curviligne quelconque. On dé…nit donc la dérivée covariante d’un
quadrivecteur de composantes contravariantes A , non plus par sa dérivée ordinaire mais par
D A =@ A +
où le terme qui contient les symboles de Christo¤el
A
(A-2)
exprime la variation du vecteur de base e
par rapport à la coordonnée x dans la direction e . On peut aussi dé…nir la dérivée covariante de
Chapitre A : Relativité Générale
71
la composante covariante A = g A par
D A =@ A
A
(A-3)
On peut généraliser ces dé…nitions aux dérivées covariantes de tenseurs covariants, contravariants
ou mixtes. Pour un tenseur mixte par exemple on a la dé…nition suivante
D T =@ T +
T
T
(A-4)
g
g
(A-5)
La dérivée covariante du tenseur métrique s’annulle
D g
=@ g
ce qui nous permet d’obtenir les symboles de Christo¤el en fonction de la métrique
1
= g
2
où g
(@ g
@ g )
(A-6)
est le tenseur métrique contravariant, dont les composantes sont les éléments de la matrice
inverse de g
tel que
g g
et
+@ g
(A-7)
=
le symbole de Kronecker.
Pour un champ de vecteurs A , les dérivations covariantes successives ne commutent pas
D D A 6= D D A
et le résudu du commutateur dé…nit ce qu’on appelle le tenseur de courbure, ou le tenseur de
Riemann
[D ; D ] A
R
A
(A-8)
En utilisant les dé…nitions des dérivées covariantes, on obtient les composantes du tenseur de
Riemann en fonction des symboles de Christo¤el
R
=@
@
+
(A-9)
Comme tous les symboles de Christo¤el sont nuls pour un espace plat tous les symbole, toutes
les composantes du tenseur de Riemann sont nuls pour ce cas et ceci est réalisé seulement si on
Chapitre A : Relativité Générale
72
aucun champ gravitationnel.Par ailleurs, le tenseur de Riemann satisfait aux propriétés de symétrie
suivantes
R
R
où R
g R
+R
=
R
+R
= 0
R
= R
(A-10)
et aux identités de Bianchi
+D R
D R
+D R
=0
(A-11)
Par contraction sur les indices du tenseur de Riemann, on obtient le tenseur de Ricci
R
=g
R
R
(A-12)
qui est, d’aprés la symétrie du tenseur de Riemann, lui aussi symétrique R
= R .La contraction
du tenseur de Ricci nous donne le scalaire de courbure (comme c’est un scalaire il ne dépend pas
du système de coordonnées)
R
g R
(A-13)
De même la contraction des identités de Bianchi conduit à l’équation
D
1
R
2
R
=0
(A-14)
Ces identités de Bianchi contractées sont analogues à l’équation de continuité covariante pour le
tenseur d’énergie-impulsion T : Ces équations de continuité s’écrivent dans un repère minkowskien
@ T = 0, et leur généralisation covariante en relativité générale est
D T =0
(A-15)
L’analogie qu’Einstein a faite entre l’équation (A-14) et (A-15) l’a amené à postuler les équations
qui déterminent le champ de gravitation engendré par une distribution de matière
G
où G
1
Rg
2
=R
= T
est appelé tenseur d’Einstein, et où la constante d’Einstein
(A-16)
est reliée a la constante de
Newton G par la relation
=
8 G
c4
(A-17)
Chapitre A : Relativité Générale
73
Les équations d’Einstein (A-16) peuvent être trouvées en minimisant l’action ( I = 0)
I = IE + Im
(A-18)
où l’action IE de la gravitation est l’action d’Einstein-Hilbert
1
IE =
2
où
Z
R
p
jgjd4 x
(A-19)
p
jgjd4 x (avec g = det(g )) est la densité invariante de 4-volume en coordonnées curvilignes,
et où Im est l’action de la matière
Im =
Z
Lm
p
jgjd4 x
(A-20)
Annexe B
Vecteur et équation de Killing
Un vecteur (champ) de Killing est un champ vectoriel sur une variété riemannienne qui conserve
la métrique de cette variété. Ce champ représente une isométrie. Une transformation de coordonnée
x ! x0 est une isométrie de la métrique g (x) si
g 0 (x0 )
@x @x
g
@x0 @x0
(x) = g (x0 )
(B-1)
et elle a donc la propriété de conserver les distances.
Dans le cas d’une transformation de coordonnées in…nitésimale
x0 = x + " (x)
avec
j"j
1
(B-2)
la variation dun champ T est dé…nie comme suit
T (x) = T 0 (x0 )
T (x0 )
(B-3)
(x)@ T (x)
(B-4)
A u premier ordre en " cette variation devient
T (x) = L T (x) =
où L est appelée dérivée de lie le long du vecteur
du champ T .
Si on considère deux transformations in…nitésimales succesives de paramètres
facilement que
1
2
2
1
=
3
avec
3
=
1@
2
2@
1
1
et
2
on véri…e
et que cette isométrie possède la
structure de l’algèbre de lie
L ;L
0
= Lf
; 0g
(B-5)
Chapitre B : Vecteur et équation de Killing
75
avec
;
0
=
@
0
0
@
(B-6)
Les éléments de la matrice de transformation de coordonnées in…nitésimale (B-2) se réduisent à
@x
=
@x0
On dit que
condition
"@
(B-7)
(x) est un vecteur de Killing de g (x) et que au premier ordre en " il véri…e la
g(x) = L g(x) = 0. En e¤et si on utilise l’équation (B-7), la dé…nition de l’isométrie
(B-1) se réduit à l’équation de Killing
L g
=g @
+g @
+
@ g
=0
(B-8)
qui s’exprime en termes de dérivées covariantes par
D
+D
=0
(B-9)
Par exemple, la notion de vecteur de Killing permet de dé…nir un espace-temps stationnaire par
une métrique possédant un vecteur de Killing
(x) de genre temps
j j2 = g
où
<0
= @t . Dans ce cas les transformations in…nitésimales engendrées par
dans la variable t qui est bien le temps si gtt < 0.
(B-10)
sont les translations
Bibliographie
[1] M. Bañados, C. Teitelboim and J. Zanelli, Phys. Rev. Lett. 69, (1992) 1849.
M. Bañados, M. Henneaux, C. Teitelboim and J. Zanelli, Phys. Rev. D48, (1993) 1506.
[2] S. Deser, R. Jackiw, and S. Templeton, Phys. Rev. Lett. 48, 975(1982) ; Ann. Phys. (N.Y)
140, 372(1982).
[3] K. Ait. Moussa and G. Clément, Classical Quantum Gravity 13, 2319 (1996).
[4] A. Bouchareb and G. Clément, Classical Quantum Gravity 24, 5581 (2007).
[5] G. Clément, Classical Quantum Gravity 11, L115 (1994).
[6] G.D. Birkho¤, Relativity and Modern Physics (1923), (Cambridge, MA : HarvardUniversity
Press).
[7] M.D. Kruskal, Phys. Rev. 119 (1960) 1743.
[8] G. Szekeres, Publ. Mat. Debrecen. 7 (1960) 285.
[9] W. Israel, "Dark stars : the evolution of an idea" dans "300years of gravitation" (Cambridge
University Press).
[10] R.P. Kerr, Phys. Rev. Lett. 11 (1963) 237.
[11] B. Carter, Phys. Rev. Lett. 26 (1971) 331.
[12] D.C Robinson, Phys. Rev. Lett. 34 (1975) 905.
[13] J. Bekenstein, Ph. D. Thesis, Princeton University, 1972.
[14] J. Bekenstein, Phys. Rev. D7 (1973) 2333.
[15] L. Smarr, Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 71.
[16] J.M. Bardeen, B. Carter et S.W. Hawking, Commun. Math. Phys. 31 (1973) 161.
BIBLIOGRAPHIE
77
[17] S.W. Hawking, Commun. Math. Phys. 43 (1975) 199.
[18] J. Bekenstein, Phys. Rev. D9 (1973) 3292.
[19] M.T. Grisaru, Physica A 124, (1984), 347.
[20] S. Deser and R. Jackiw, Annals Phys. 153, (1984) 405. S. Deser, R. Jackiw and G. ’t Hooft,
Ann. Phys. (N.Y) 152, (1984) 220.
[21] S. Deser, R. Jackiw and S. Templeton, Phys. Rev. Lett. 48, (1982) 975.
S. Deser, R. Jackiw and S. Templeton, Ann. Phys. (N.Y.) 140, (1982) 372.
[22] G. Clément, Phys. Rev. D 49, 5131 (1994).
[23] G. Clément, Classical Quantum Gravity 10, L49 (1993).
[24] M. Gürses, Classical Quantum Gravity 11, 2585 (1994).
[25] K. Ait. Moussa , G. Clément and C. Leygnac, Classical Quantum Gravity 20, L277 (2003).
[26] S. Deser, R.Jackiw, and G.’t Hooft, Ann. Phys. (N.Y) 152, 220 (1984).
[27] M. Bañados, C. Teitelboim, and J. Zanelli, Phys. Rev. Lett. 69, 1849(1992) ; M. Bañados, M.
Henneaux, C. Teitelboim, and J. Zanelli, Phys. Rev. D 48, 1506 (1993)
[28] M. Bañados, G .Barnich, G. Compère, and A. Gombero¤, Phys. Rev. D 73, 044006 (2006).
[29] Y. Nutku, Classical Quantum Gravity 10, 2657 (1993).
[30] S. N. Solodukhin, Phys. Rev. D 74 (2006) 024015.
[31] Y. Tachikawa, Classical Quantum Gravity 24, 737 (2007).
[32] G. Clément, Phys. Rev. D 68, 024032 (2003).
[33] I. Vuorio, Phys. Lett B 163, 91 (1985) ; R. Percacci, P. Sodano, and I. Vuorio, Ann. Phys.
(N.Y) 176, 344 (1987).
[34] M. E. Ortiz, Ann. Phys. (N.Y) 200, 345 (1990).
[35] G. Clément and D. Gal’tsov, Nucl. Phys. B 619, 741 (2001).
[36] P. Castelo Ferreira, "Rotating Electric Classical Solutions of 2+1D U (1) Einstein Maxwell
Chern-Simons", arXiv :hep-th/0506244 v2 [hep-th].
[37] K.Ait Moussa., ”Supergravité non symétrique et gravitation topologiquement massive à trois
dimensions”, PhD Thesis, Université de Constantine, Algeria. (2001).
[38] K.Ait Moussa, G.Clément, H.Guennoune and C.Leygnac, Phys. Rev. D 78 (2008) 064065.
‫ملخص‬
‫ مرفوقة بالعنصرين شارن‬,‫ نقوم ببناء حلول الثقب الوسود لنظرية أنشطين مكسوال ذات ةثلةثة أبعاد‬,‫في هذا العمل‬
‫ ةثم لنظرية أنشطين مكسوال لعنصر شارن وسمميمنس للكهرومغنطيممس مممزدوج‬,‫وسيمنس للجاذبية و الكهرومغنطيس‬
‫ لكتكون متجانسة وسببيا إلممى فممي مجممالت‬,‫ هاكته الحلول ذات كتناظر دوراني هي كاملة جيدزيائا‬.‫مع حقل الديلكتون‬
.‫ و انطربيتهما حسبت و هم يتوافقون مع القانون الول للترموديناميك‬,‫ عزم عطا لتهما‬,‫ كتلتهما‬.‫معينة للمعايير‬
‫الثقب السوداء لشارن وسيمنس الولى لها أربعة معايير محلية لجبر ايزومتري و يسممتطيعون الولمموج مممن فراغهممم‬
.‫بمتغيرات إحداةثية محلية‬
Résumé
Dans ce travail, nous construisons des solutions trou noir de la théorie d’EinsteinMaxwell à trois dimensions, avec les deux termes de Chern-Simons de la gravitation
et de l’électromagnétisme respectivement, puis la théorie d’Einstein-Maxwell avec le
terme de Chern-Simons de l’électromagnétisme couplée à un champ scalaire
dilatonique. Ces solutions en rotation sont géodésiquement complètes, et
causalement régulières sous certains domaines des paramètres. Leur masse,
moment angulaire et entropie sont calculés et satisfont la première loi de la
thermodynamique. Les premiers trous noirs de Chern-Simons admettent
quatre paramètres locaux d’une algèbre isométrique, qui de façon générique
est sl(2,R)*R, et peuvent être générés à partir de leur vide correspondant par les
transformations de coordonnées locales.
Abstract
We construct in this work black hole solutions to three-dimensional EinsteinMaxwell theory with both gravitational and electromagnetic Chern-Simons
terms, and Einstein Maxwell theory with electromagnetic Chern-Simons term
coupled to a dilatonic scalar field. These intrinsically rotating solutions are
geodesically complete, and causally regular within a certain parameter range.
Their mass, angular momentum and entropy are found to satisfy the first law
of black hole thermodynamics. The first Chern-Simons black holes admit a
four-parameter local isometry algebra, which generically is sl(2,R)*R, and may
be generated from the corresponding vacua by local coordinate
transformations.