Feuille de TD 6

PCSI A
Mathématiques
Lycée Brizeux - année 2015-2016
Fe u i l l e d e T D 6
R é c u r r e n c e , s o m m e s , a r i t h m é t i q u e
Raisonnement par récurrence
Exercice 1. Soit f : N → N une application strictement croissante. Établir que pour tout n ∈ N,
f (n) ≥ n.
Exercice 2. Soit (Fn )n∈N la suite de Fibonacci définie par
F0 = 0, F1 = 1, ∀n ∈ N, Fn+2 = Fn+1 + Fn .
(a) Montrer que pour tout n ∈ N
Fn+1 ≥ n.
En déduire la limite de la suite (Fn )n∈N .
(b) Montrer que pour tout n ∈ N
Fn ≤ 2n
(c) Montrer que pour tout n ∈ N∗
Fn2 − Fn−1 Fn+1 = (−1)n−1 .
(d) Montrer que pour tout n ∈ N∗
n
X
F2 k−1 = F2n − 1.
k=1
(e) Montrer que pour tout n ∈ N
n
X
Fk = Fn+2 − 1.
k=1
Exercice 3. Soit n ∈ N∗ . On considère n droites du plan qui se coupent deux à deux mais telles que trois d’entre
elles ne se coupent jamais en un même point.
Déterminer le nombre de régions que la famille de droites délimite.
Sommes simples et produits
Exercice 4. Compléter les égalités suivantes :
n
X
ak+1 =
?
X
aj ;
j=?
k=0
n
X
an−k =
k=0
?
X
aj .
j=?
Exercice 5. Soient Sn = 3 + 5 + 7 + · · · + 2 n − 1 et Tn = 2 + 4 + 8 + · · · + 2n .
P
(a) Ecrire Sn et Tn à l’aide du symbole
;
(b) Que valent Sn et Tn ?
Exercice 6. Soit (ak )k∈N une suite. Simplifier au maximum
n
X
(2 ak+1 − 3 ak + ak−1 ) .
k=1
Exercice 7. Soit n ∈ N. L’objet de cet exercice est de calculer Sn =
n
X
k=0
1
k2 .
(a) Calculer
n
X
(k + 1)3 − k 3 .
k=0
(b) En écrivant (k + 1)3 − k 3 différemment, en déduire Sn .
n
X
(c) Comment procéder pour calculer
k3 ?
k=0
Exercice 8. Soit n ∈ N. Montrer que
n
X
k=0
1
k
=1−
.
(k + 1)!
(n + 1)!
Indication. Télescopage ou récurrence.
Exercice 9. Soient n ∈ N et r 6= 1 un nombre complexe.
(a) Calculer les sommes suivantes :
n
X
k rk ;
k=0
(b) Retrouver
n
X
n
X
k2 rk .
k=0
k2 .
k=0
Exercice 10. Etablir l’inégalité suivante :
∀n ∈ N∗ ,
2n−1
X
k=n
Exercice 11. On veut calculer
n
X
arctan(
k=1
1
1
≥ .
k
2
1
).
2 n2
On pose un = 2 n + 1 pour tout n ∈ N∗ .
(a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ ,
un − un−1
1
=
.
2 n2
1 + un un−1
(b) Montrer que pour tout n ∈ N, il existe un unique αn ∈] − π2 , π2 [ tel que un = tan αn .
(c) Que peut-on dire de la suite (αn )n∈N ainsi définie ?
n
X
1
(d) Déduire des questions précédentes que
arctan( 2 ) est une somme télescopique. Conclure.
2n
k=1
(e) Quelle est la limite de la suite (vn )n∈N définie par vn =
n
X
arctan(
k=1
1
)?
2 n2
Exercice 12. Soit n ∈ N. Calculer le produit suivant :
n
Y
2k .
k=0
Exercice 13. Soit n ≥ 2.
n
n−1
Y
Y
(a) Montrer que
(k 2 − k + 1) = 3
(k 2 + k + 1).
k=2
k=2
(b) En déduire une expression simplifiée de
n
Y
k3 − 1
.
k3 + 1
k=2
Un peu de nombres complexes
Exercice 14. Manipulation d’expressions trigonométriques
(a) Linéariser cos6 (θ) et sin6 (θ).
2
(b) Exprimer cos(6θ) et sin(6θ) à l’aide de cos(θ) et sin(θ).
Exercice 15. Soit n ≥ 2 un entier. On pose ω = e
n−1
X
2kπ
(a) (i) Montrer que
) = 0.
cos(
n
2iπ
n
.
k=0
(ii) Soit k ∈ Z. Montrer que |ω k − 1|2 = 2 − 2 cos( 2kπ
n ).
(iii) En déduire la valeur de Rn =
n−1
X
|ω k − 1|.
k=0
(b)
(i) Montrer que
n−1
X
sin(
k=0
π
cos( 2n
)
kπ
)=
π .
n
sin( 2n )
(ii) Soit k ∈ Z. Calculer |ω k − 1| en fonction de sin( kπ
n ).
(iii) En déduire la valeur de Sn =
n−1
X
|ω k − 1|.
k=0
(c) Sur les pas d’Archimède
(i) Calculer Tn =
n−1
X
|ω k+1 − ω k |.
k=0
(ii) Déterminer lim Wn . Interprétez géométriquement ce résultat.
n→+∞
Sommes doubles
Exercice 16. Compléter l’égalité suivante :
n X
n
X
2k+j =
k=1 j=1
? X
?
X
2k+j .
j=? k=?
Que vaut la somme en question ?
Exercice 17. Compléter l’égalité suivante :
n X
k
X
2k+j =
k=1 j=1
? X
?
X
2k+j .
j=? k=?
Que vaut la somme en question ?
Exercice 18. Calculer la somme suivante
j
n X
X
k.
j=0 k=0
Exercice 19. Calculer les sommes suivantes.
X
i+j
X
;
1≤i,j≤n
X
max(i, j)
1≤i,j≤n
Exercice 20. Calculer
X
min(i, j)
1≤i,j≤n
;
X
1≤i,j≤n
(j − i)2 .
1≤i<j≤n
3
ij
Coefficients binomiaux et formule du binôme de Newton
Exercice 21. Soit n ∈ N.
(a) Calculer les sommes suivantes
n X
n
k=0
k
n
X
;
(−1)k
k=0
n
.
k
(b) En déduire la valeur des sommes suivantes :
2n X
2n
k=0
2k
2n X
2n
;
.
2k + 1
k=0
Exercice 22. Soient n ∈ N et θ ∈ R. Simplifier :
n
n
n
1+
cos(θ) + · · · +
cos(θ) +
cos(nθ).
1
2
n
Exercice 23. Soient n ∈ N et p ∈ [0; 1]. On pose q = 1 − p.
(a) Calculer les sommes suivantes :
X
n
n
X
n
n
k
;
k (k − 1)
.
k
k
k=0
En déduire la valeur de la somme suivante :
k=0
n
X
k2
k=0
n
.
k
(b) Calculer les sommes suivantes :
n
n
X
n k n−k X 2 n k n−k
k
p q
;
k
p q
.
k
k
k=0
k=0
N.B. L’avant-dernière somme obtenue est l’espérance d’une loi binomiale de paramètre p.
Exercice 24. Soient p et n des entiers naturels vérifiant p ≤ n.
n−p
X p + j n + 1 (a) Montrer que
=
.
p
p+1
j=0
Indication. Télescopage ou récurrence.
n X
k
(b) En déduire
.
p
k=p
Exercice 25. Soient k, p et n des entiers naturels vérifiant p ≤ k ≤ n.
n
k
n
(a) Établir que n−p
k−p
p = k
p .
(b) En déduire la valeur des sommes suivantes :
k X
n−p
n
p=0
k−p
p
et
n
X
k=p
Exercice 26. Soit n ∈ N. Calculer la somme suivante :
n X
n X
k
.
j
j=0
k=j
4
n
k
(−1)
.
k
p
k
Arithmétique dans N
Exercice 27. Décomposer en facteurs premiers les entiers a = 175 et b = 255. En déduire le pgcd et le ppcm de a
et b.
Exercice 28. Déterminer le nombre de diviseurs de 41160.
Indication. Dans un premier temps, décomposer 41160 en facteurs premiers.
Exercice 29. Calculer le pgcd de 6765 et 987. En déduire leur ppcm.
Exercice 30. Montrer que pour tout n ∈ N, le reste de la division euclidienne de 10n par 9 est égal à 1.
En déduire qu’un entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exercice 31. Montrer que 7 divise 32n − 2n pour tout entier n ∈ N.
Exercice 32. Soit n ∈ N∗ . Le n-ième nombre de Mersenne, noté Mn est l’entier
Mn = 2n − 1.
(a) Montrer que si Mn est premier (on dit alors que Mn est un nombre premier de Mersenne) alors n est premier 1 .
Indication. Etablir la contraposée : si n n’est pas premier, alors Mn ne l’est pas.
(b) Soient n et m des entiers strictement positifs. Montrer que Mn divise Mm si et seulement si n divise m.
Exercice 33. Soit m ∈ N∗ . Montrer que si 2m + 1 est premier 2 alors m = 2n + 1 avec n ∈ N.
Exercice 34. Soit (Fn )n∈N la suite d’entiers de l’exercice 2. Montrer que pour tout n ∈ N, le pgcd de Fn et Fn+1
est égal à 1 (on dit dans ce cas que les entiers Fn et Fn+1 sont premiers entre eux.
1. Si n est premier, Mn peut ne pas être premier. Par exemple, M11 = 2047 = 23 × 89. On conjecture qu’il existe une infinité de
nombres premiers de Mersenne
n
2. Les entiers de la forme Fn = 22 + 1 sont les entiers de Fermat. Les entiers de Fermat F0 = 3, ; F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257 et
F4 = 65537 sont des nombres premiers. On conjecture que ce sont les seuls parmi les entiers de Fermat. Si cela est vrai, ceci impliquerait
que les seuls polygones réguliers qu’on peut construire à la règle et au compas dont le nombre de côtés est premier sont les polygones
réguliers à 3 côtés ; 5 côtés ; 17 côtés ; 257 côtés et 65537 côtés.
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