Chapitre 04 Fonctions sinus et cosinus Terminale S FONCTIONS SINUS ET COSINUS I- Définition − → − → Le plan est muni d’un repère orthonormé (O; i , j ). Soit C le cercle trigonométrique de centre O. − → −−→ A tout nombre réel x on associe le point M de C tel que ( i , OM ) = x + k × 2π. − → − → cos(x) est l’abscisse de M dans le repère (O; i , j ), sin(x) est l’ordonnée de M dans le − → − → repère (O; i , j ). Définition La fonction cosinus, notée cos est la fonction qui, à tout réel x associe cos(x). La fonction sinus, notée sin, est la fonction qui, à tout réel x associe sin(x). II- Étude des fonctions sinus et cosinus 1. Réduction de l’intervalle d’étude Propriété 1 Pour tout réel x et pour tout entier relatif k, on a : • cos(x + k × 2π) = cos(x) ; • sin(x + k × 2π) = sin(x). On dit que les fonctions sin et cos sont périodiques de période 2π. − → − → Les courbes représentatives des fonctions cos et sin dans un repère orthogonal (O; i , j ) − → sont invariantes par toute translation de vecteur 2kπ i , où k ∈ Z. On pourra réduire l’intervalle d’étude à un intervalle d’amplitude 2π, on choisira [−π; π]. Propriété 2 Pour tout réel x : • cos(−x) = cos(x) ; • sin(−x) = sin(x). On dit que la fonction cos est une fonction paire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. On dit que la fonction sin est une fonction impaire. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’origine du repère. On pourra réduire l’intervalle d’étude à [0; π]. 2. Fonctions dérivées Théorème Les fonctions cos et sin sont dérivables sur R et, pour tout réel x : • cos′ (x) = − sin(x) ; • sin′ (x) = cos(x). 3. Tableaux de variation x −π ′ cos (x) = − sin(x) 0 cos(x) π 0 2 0 − ✯ 1 ❍❍ ✟✟ ❥0 ❍ 0 ✟ − π2 + ✯ ✟✟ ✟ −1 1 π 0 ❍❍ ❥1 ❍ Chapitre 04 Fonctions sinus et cosinus Terminale S π x −π − π2 0 π 2 ′ sin (x) = cos(x) − 0 + 0 − 0 ✯1 ✟✟ ❅ ❅ ✟ sin(x) 0 ❅ ❅ ✯ ✟✟ ❘ ❅ ❘ ❅ ✟ 0 −1 4. Courbes représentatives On représente ci-dessous les fonctions cos et sin sur l’intervalle [−π; π]. y = cos(x) y = sin(x) 1 −π −3 − π2 −2 π 1 −1 π 2 2 3 −1 puis sur l’intervalle [−3π; 3π] : y = cos(x) −8 −6 −4 −2 y = &sin(x) 2 4 6 Remarque Les fonctions cos et sin n’admettent pas de limite en +∞. Si l’on veut étudier, par exemple, la limite en +∞ de la fonction x 7→ utiliser les théorèmes de comparaison. Pour tout réel x, on a : −1 6 sin(x) 6 1. sin(x) 1 1 6 . Pour tout réel x, x > 0, on a : − 6 x Å xã x Å ã 1 1 De plus : lim − = 0 et lim = 0. x→+∞ x→+∞ x x sin(x) = 0. On en conclut, d’après le théorème des gendarmes : lim x→+∞ x III- Application au calcul de limites • Calculer lim x→0 sin(x) . x2 x>0 Pour tout réel x 6= 0, sin(x) sin(x) 1 = × . x2 x x 2 sin(x) , on va x 8 Chapitre 04 Fonctions sinus et cosinus lim x → 0 Terminale S sin(x) 1 = 1 et lim = +∞ x→0 x x x>0 On en conclut, par produit : lim x→0 sin(x) = +∞. x2 x>0 sin(2x) . • Calculer lim x→0 x sin(2x sin(2x) = × 2. x 2x sin(X) . lim (2x) = 0 et lim x→0 X→0 X sin(2x) = 1. On en déduit, par composition : lim x→0 2x sin(2x) sin(2x) On en conclut enfin, par produit : lim × 2 = 2 soit lim =2 x→0 x→0 2x x Pour tout réel x 6= 0, IV- Fonctions x 7→ cos(ax + b) et sin(ax + b) Théorème Soit a et b deux réels. Les fonctions f : x 7→ cos(ax + b) et g :7→ sin(ax + b) sont dérivables sur R. Pour tout réel x : • f ′ (x) = −a sin(ax + b) ; • g ′ (x) = a cos(ax + b). Exemple Etude d’une fonction trigonométrique On considère la fonction f définie sur R par f (x) = cos(2x) − 1. 1) Etudier la parité de f . 2) Démontrer que f est périodique de périodeh π. i π 3) Etudier les variations de f sur l’intervalle 0; . 2 4) Déduire des questions précédentes laïreprésentation graphique de f dans un repère ò 3π 3π − → − → orthogonal (O; i , j ) sur l’intervalle − ; . 2 2 1) Pour tout réel x, f (−x) = cos(−2x) − 1 = cos(2x) − 1 = f (x). f est donc une fonction paire, sa représentation graphique dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. 2) Pour tout réel x, f (x + π) = cos(2(x + π)) − 1 = cos(2x + 2π) − 1 = cos(2x) − 1 = f (x). f est donc pérodique de période π. − → → − Sa représentation graphique dans un repère (O; i , j ) est donc invariante par toute − → translation de vecteur 2kπ i , où k ∈ Z. ′ 3) La fonction h π if est dérivable sur R et, pour tout x réel, f (x) = −2 sin(2x). Si x ∈ 0; , alors 2x ∈ [0; π]. 2 i πh Pour tout x ∈ 0; , on a sin(2x) > 0. 2 sin(0) = sin(π) = 0. On en déduit le tableau de variation de f : 3 Chapitre 04 Fonctions sinus et cosinus x 0 ′ f (x) 0 f (x) Terminale S π 2 − ❅ ❅ ❘ ❅ −2 h πi 4) On trace la courbe représentative de f sur l’intervalle 0; , puis on effectue une 2 − → symétrie par rapport à l’axe des abscisses, et enfin une translation de vecteur π i et − → une translation de vecteur −π i . 1 −5 −4 −3 −2 1 −1 −1 −2 4 2 3 4 5