Arithmétique - maths

I. Divisibilité
II. Nombres premiers
Arithmétique
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Arithmétique
I. Divisibilité
II. Nombres premiers
Table des matières
1
2
I. Divisibilité
a. Diviseurs & Multiples
b. Le Plus Grand Commun Diviseur.
c. Division Euclidienne
d. Critères de divisibilité
II. Nombres premiers
a. Définition
b. Décomposition en produit de facteurs premiers
c. Quelques astuces
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Arithmétique
I. Divisibilité
II. Nombres premiers
a.
b.
c.
d.
Diviseurs & Multiples
Le Plus Grand Commun Diviseur.
Division Euclidienne
Critères de divisibilité
a. Diviseurs & Multiples
Définitions
On dit que a divise b si on peut trouver un nombre k tel que
a × k = b. On note a|b.
On dit que b est un multiple de a si on peut trouver un nombre k
tel que b = a × k
Exemple
3 divise 21 et 21 est un multiple de 3 car 3 × 7 = 21, on note 3|21.
Propriété
Si a|b et a|c alors a|b ± c.
Exemple
On sait que : 3|12 et 3|9 alors 3|12 + 9 et 3|12 − 9 .
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II. Nombres premiers
a.
b.
c.
d.
Diviseurs & Multiples
Le Plus Grand Commun Diviseur.
Division Euclidienne
Critères de divisibilité
b. P.G.C.D.
Définition
Le PGCD de deux nombres a et b est le Plus Grand Commun
Diviseur de a et de b.
Exemple
Calculons le PGCD de 45 et 35.
Les diviseurs de 45 sont : 1,3, 5 ,9,15,45
Les diviseurs de 35 sont : 1, 5 ,7,35
Le PGCD est 5.
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II. Nombres premiers
a.
b.
c.
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Diviseurs & Multiples
Le Plus Grand Commun Diviseur.
Division Euclidienne
Critères de divisibilité
c. Division Euclidienne
Formule : Division Euclidienne
Dividende = diviseur x quotient + reste.
Exemple 1
Le reste de la division entière de 357 par 17 est 0. On dit alors au
choix :
357 est divisible par 17
17 est un diviseur de 357
357 est un multiple de 17.
Exemple 2
945 n’est pas divisible par 37 puisque le reste de la division entière
de 945 par 37 n ’est pas 0. On peut dire aussi au choix :
37 n’est pas un diviseur de 945 et 945 n’est pas un multiple de 37.
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II. Nombres premiers
a.
b.
c.
d.
Diviseurs & Multiples
Le Plus Grand Commun Diviseur.
Division Euclidienne
Critères de divisibilité
d. Critères de divisibilité
Propriétés : Démonstrations
Un nombre entier est divisible :
par 2, s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8,
par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3,
par 4, si le nombre formé par les 2 derniers chiffres est un multiple
de 4,
par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5,
par 6, critère de 2 + critère de 3,
par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9,
par 10, si son chiffre des unités est 0.
Exemples
30 est divisible par 2, 5, 10 et 3.
1071 est divisible par 3 et 9.
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I. Divisibilité
II. Nombres premiers
a. Définition
b. Décomposition en produit de facteurs premiers
c. Quelques astuces
a. Définition
Les nombres premiers ont fasciné des générations de
mathématiciens, mais de quoi s’agit-il ?
Définition
Un entier naturel est premier s’il n’admet que deux diviseurs : 1 et
lui-même.
Convention
1 n’est pas premier.
Il existe une infinité de nombres premiers.
Exemples
2, 3, 5, 7, 11 sont premiers.
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II. Nombres premiers
a. Définition
b. Décomposition en produit de facteurs premiers
c. Quelques astuces
b. Décomposition en produit de facteurs premiers
Propriété
Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit
de facteurs premiers. Cette décomposition est unique.
Exemples
60 = 2 × 2 × 3 × 5 ou 60 = 22 × 3 × 5.
728 = 2 × 2 × 2 × 7 × 13 ou 728 = 23 × 7 × 13.
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I. Divisibilité
II. Nombres premiers
a. Définition
b. Décomposition en produit de facteurs premiers
c. Quelques astuces
c. Quelques astuces
Comment faire pour montrer qu’un nombre est premier ?
Soit N un entier supérieur ou égal à 2. Pour montrer que N est
premier, il suffit de montrer que N √
n’est pas divisible par aucun
nombre premier inférieur ou égal à N.
Exemple
On
√ veut savoir si 157 est un nombre premier.
157 ≈ 12, 5. Il faut donc tester la divisibilité de 157 par 2, par 3,
par 5, par 7 et par 11.
157 n’est divisible par aucun de ces cinq nombres, donc 157 est
premier.
Exercice :
1 124 est-il un nombre premier ?
2 223 est-il un nombre premier ?
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a. Définition
b. Décomposition en produit de facteurs premiers
c. Quelques astuces
c. Quelques astuces
Méthode : Décomposition en produit de facteurs premiers
Pour décomposer un nombre N en produit de facteurs premiers, on
cherche le plus petit nombre premier qui divise le nombre N. On
divise ensuite N par ce nombre premier et si le quotient obtenu est
différent de 1, on recommence... Jusqu’à obtention de 1 comme
quotient.
Exemple :Décomposer 2 088 en produit de facteurs premiers.
2 088
1 044
522
261
87
29
1
2
2
2
3 Donc : 2 088 = 23 × 32 × 29.
3
29
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