Oral 12 - PC* Carnot Dijon
publicité
Oral 2012 PC*
Suites
1
1∏
(k + n) n . ( CCPol 11)
n k=1
1√
2. Limite de la suite de terme général un = n (n + 1)(n + 2)...(n + n) ?
n
n
1. Déterminer la limite de Pn =
( Centrale 11 )
3. Soit Sn =
n
∑
k=0
kCnk et f (x) =
n
∑
xk Cnk . Calculer f ′ (x) et en déduire une ex-
k=0
k+1
pression simple de Sn . En donnant une relation entre Cnk et Cn+1
, retrouver
l'expression de Sn .
4. Soit la √
suite réelle (u) dénie par u0 > 0, u1 > 0 et, pour tout n de N,
un+2 = un un+1 . Calculer un en fonction de n et déterminer sa limite.
√
Même question avec un+3 = 3 un un+1 un+2 (Mines-Ponts)
n
5. lim
n→+∞ 2
(
√
n
√ )
n 1
a−
; (a > 0).
a
6. Soit n ∈ N∗ ; montrer que l'équation xn − nx + 1 = 0 a une unique solution
un dans ]0, 1[. Montrer que la suite (un ) est convergente. Donner un développement asymptotique à deux termes de un . ( 11 )
u2n + 3
7. Étudier la suite dénie par u0 > 0 et, pour tout n, un+1 =
2un + 2
1
8. (un ) est une suite réelle décroissante telle que un+1 + un ∼ . Montrer que la
n
suite converge et déterminer un équivalent. ( CCPol 11)
Espaces vectoriels normés
9. E = C p ([0, 1], C). Pour tout entier k, 0 ≤ k ≤ p et tout élément f de E on
note Nk (f ) = |f (0)| + |f ′ (0)| + ... + |f (k−1) (0)| + ||f (k) ||∞
Montrer que Nk est une norme de E .
Les normes Nj et Nk sont-elles équivalentes ?
10. E = Mn (R). L'ensemble des matrices inversibles est-il ouvert ? fermé ? borné ?
Mêmes questions avec l'ensemble des matrices de déterminant égal à 1.
11. K est un convexe fermé de R2 ne contenant pas O. Montrer qu'il existe une
droite passant par O telle que K soit inclus dans l'un des demi-plans délimités
par la droite.
Soit alors K, L deux convexes fermés de R2 . On suppose que K est borné et
K ∩L = ∅. Montrer qu'il existe une droite séparant le plan en deux demi-plans,
l'un contenant K , l'autre contenant L.
Mines- Ponts 11
Séries
12. Nature de la série de terme général
Mines-Ponts 11
∑
PC*
(−1)n
, α > 0.
nα + (−1)n
Oral 2012 PC*
13. Soit la suite de terme général : un = (n4 ∑
+ n2 )1/4 − P (n)1/3 où P est un
polynôme. A quelle condition sur P la série un converge-t-elle ?
14. (un )n∈N est une suite de réels positifs. On note pour tout n de N :
vn =
∑
∑
un
un
, wn =
1 + un
1 + u2n
Les séries
un et
vn sont-elles de même nature ?
∑
∑
Les séries
un et
wn sont-elles de même nature ? ( Centrale 11 )
(
15. Étude de Un = cos n π ln
2
(
n−1
n
))
. Convergence de la série ?
(Petites Mines 11 (*) )
)
(
1
16. Convergence, pour p ∈ {2, 3, 4} de la série de terme général Un = sin π (1 + np ) p .
On remplace p par un réel strictement compris entre 0 et 2. Donner une valeur
approchée de la somme partielle d'ordre N et faire une conjecture quant à la
convergence de la série. (Centrale 11 avec Maple).
17. Étudier la suite dénie par u0 = 1 et, pour tout n de N∗ , un+1 = un
1 + 2un
..
1 + 3un
)
∑( 1
1
En étudiant
−
, déterminer un équivalent de un .
un+1 un
18. a, b sont deux réels strictement positifs et la suite u est dénie par u0 > 0
n+a
et ∀n ∈ N, un+1 =
. En considérant la suite de terme général wn =
n+b
( b−a )
ln n un , donner une condition nécessaire et susante sur (a, b) pour que
la série de terme général un converge.
En cas de convergence montrer que lim nun = 0 et calculer la somme de la
série. (Mines -Ponts 11)
(
)
(−1)n
(−1)n
19. Nature des séries de terme général un = √
et un = ln 1 + √
?
n + (−1)n
n
n
20. Soit t ∈ R, t ̸= 0 ; on pose un = e−it ln∑
.
En étudiant un+1 − un montrer que (un /n) converge si et seulement si la
suite (un ) converge. (On pourra remarquer que la suite est bornée)
En étudiant un2 et u2n , montrer que la suite n'est pas convergente.
1
Étudier la série de terme général 1+it .
n
Fonctions
21. Déterminer les fonctions f continues de R dans R, dérivables en 0 telles que
∀x ∈ R, f (2x) = 2f (x).
Déterminer les fonctions f continues de R dans R telles que :
∫
y+2x
∀(x, y) ∈ R , f (x) − f (y) =
2
f (t)dt
x+2y
(Mines -Ponts 11)
PC*
Oral 2012 PC*
ex − 1
22. Soit f : x ∈ R 7→
prolongée par f (0) = 0.
x
Montrer que f est dérivable en 0 et préciser f ′ (0). Donner un développement
limité à l'ordre 5 en 0 de f, f 3 , f 5 . Montrer que f est développable en série
entière au voisinage de 0 et que f est strictement croissante. Montrer que f
est un c∞ -diéomorphisme de R dans R et que f −1 est impaire.
Donner un développement limité à l'ordre 5 en 0 de x 7→ (f −1 (x))5 .
2
∗
( CCPol 11)
2
23. f est une
( fonction de classe)c de ] − 1, 1[ dans R. Déterminer, si elle existe,
1
f (x) − f (0)
f ′ (x) −
. Petites Mines 11 (*)
x
x
24. Soit f une fonction réelle dérivable de R. Montrer que si lim f ′ (x) = +∞ ,
lim
x→0
x→+∞
f (x)
alors lim
= +∞.
x→+∞ x
25. Soit f ∈ C 2 (R, R). On suppose f et f ′′ bornées sur R. Montrer que f ′ est
bornée sur R.
26. Étudier la fonction f : x 7→ ln |ln |x||. Tracer sa courbe représentative.
(CCPol)
27. F est une fonction de classe c1 de [0, 1] dans R.Montrer que
∫
1
1
xF (x)F (x)dx ≥ −
2
′
0
∫
1
F 2 (x)dx
0
1
Soit alors f continue de [0, 1] dans R et F dénie par : F (x) =
x
∫ 1
∫ 1
Montrer que
F 2 (t)dt ≤ 4
f 2 (t)dt. (X-Espci)
0
28. Existence et calcul de
∫
x
f (t)dt
0
0
∫
0
Intégration
+∞
ln t
dt.
et
Centrale
29. f est dénie sur ]0, 1], à valeurs
∫ 1 réelles, continue par morceaux et décroissante
sur ]0, 1]. On suppose que 0 f (t)dt est convergente.
Montrer que limx→0 xf (x) = 0. (X-Espci)
Utiliser une suite de fonctions
30. Étude complète de la fonction x 7→
∫
x
1
X-ESPCI 11 (*)
et
dt.
t
31. Dénition, dérivabilité et calcul de f : x 7→
( Mines-Ponts 11 (*))
32. a < b . Convergence et calcul de
∫
1
0
∫
b
√
a
PC*
t−1 x
t dt.
ln(t)
dx
(x − a)(b − x)
.
Oral 2012 PC*
33. Domaine de dénition de F (x) =
∫
+∞
−∞
e−t e−ixt dt. Étudier sa dérivabilité.
2
Trouver une équation diérentielle vériée par F et retrouver sa valeur.
∫
π
2
34. Soit I =
ln(sin x)dx et J =
0
puis que I égale J. Calculer
I et
J.
)
(
35. Calculer I =
∫
π
ln
0
a − cos t
b − cos∫t
∫
π
2
ln(cos x)dx. Montrer que I et J existent,
0
dt avec a > 1 et b > 1.
π
ln(u − cos t)dt)
∫
∫ +∞
1 π
36. Soit J(t) =
cos(t cos θ)dθ et L(x) =
J(t)e−xt dt.
π 0
0
(a) i. Montrer que J est c1 sur R. Représenter J sur un intervalle convenable. Admet-elle une limite en +∞ ?
ii. Trouver φ et ψ telles que J(t) =+∞ φ(t) + o(ψ(t)).
Que peut-on dire de la distance entre deux zéros successifs de J ?
(b) i. Trouver a0 , b0 , a1 , b1 , a2 , b2 non tous nuls tels que
(On pourra utiliser F (u) =
0
∀t ∈ R, (a0 + b0 t)J(t) + (a1 + b1 t)J ′ (t) + (a2 + b2 t)J ′′ (t) = 0.
(c)
i. Montrer que L est dénie pour x ≥ 0. Calculer L(0).
ii. Justier l'existence pour x > 0 de
∫
+∞
tJ(t)dt et de
0
iii. En déduire une équation diérentielle pour L.
Centrale 11 (Maple) 11 (*)
37. Soit f : x 7→ e
−x2
et F : x 7→
∫
+∞
∫
+∞
tJ ′ (t)dt .
0
f (t)dt. Montrer que F est bien dénie et
x
déterminer sa limite en +∞. Évaluer F (k) pour k ∈ {1, 2, ..., 40}. Que donne
f (x)
Maple pour l'évaluation de f (x)/F (x) ? Montrer que F (x) ∼+∞
.
2x
Centrale 11 avec Maple
∫
1
π2
ln(1 + tn )dt est équivalent à
.
12n
0
∫ +∞
x ln x
dx
39. On pose f (a) =
(1 + x2 )a
0
38. Montrer que
(a) Déterminer le domaine de convergence
(b) Calculer f (2) et f (3).
40. a ∈ R. Montrer la convergence de l'intégrale J(a) =
Montrer que J(a) =
0
+∞
∑
n=1
∫
a2
+∞
sin ax
dx
ex − 1
a
+ n2
Utiliser la fonction 2π -périodique égale à eax sur [0, 2π[ pour calculer J(a).
( Mines -Ponts)
PC*
Oral 2012 PC*
∫
+∞
1
dt existe-t-elle ?
2 n
−∞ (1 + t + t )
1
Tracer f (t) =
et donner son axe de symétrie.
t + t2 + 1
∫
∑
Montrer que an est divergente. Expliciter an en fonction de un =
41. an =
0
Donner une relation liant un et un+1 .
42. Justier l'existence de
∫
+∞
+∞
1
du.
(1 + u2 )n
x
dx. (Mines- Ponts 11)
∫ x
43. Soit f continue de R dans R. Montrer que F : x 7→
sin(x − t)f (t)dt est
1+
0
x4 | sin x|3/2
0
solution sur R de l'équation y” + y = f .
∫
π/2
sin2 (nx)
44. Soit n ∈ N . Calculer
dx. (Utiliser eix ). ( 11 )
2
sin x
∫ +∞0
sin(xt2 )
45. Déterminer lim
dt.
x→+∞ 0
1 + t2
∗
Suites et séries de fonctions
46. n ∈ N∗ , x > 0, fn (x) =
sin nx
√ .
nx + x x
Montrer que fn est prolongeable par continuité en 0. Montrer que f est intégrable sur ∫]0, +∞[.
+∞
Soit Un =
fn (t)dt. Montrer que (Un ) converge et déterminer sa limite.
0
47. Soient f0 : [a, b] → R continue, avec [a, b] ⊂] − 1, 1[ et :
∫
∀n ∈ N,
Étudier la convergence de
∀x ∈ [a, b],
fn+1 (x) =
x
fn (t)dt.
a
∑
fn et calculer sa somme. (Centrale)
+∞
∑
1
48. Déterminer l'ensemble de dénition de S(x) =
.
2
xn + n
n=1
Montrer que S est continue puis de classe c1 sur R∗+ .
Trouver un équivalent en 0+ et en +∞ de S(x).
+∞
∑
(−1)n−1 n
.
49. On pose, pour tout x réel, f (x) =
x2 + n2
n=1
Justier la dénition∫de f . Montrer que f (0) = ln 2.
+∞
cos xt
Montrer que f (x) =
dt
et + 1
0
Trouver a réel tel que f (x) ∼ ax2 quand x → +∞.
+∞ in2 x
∑
e
50. Soit f : x 7→
. Montrer que f est dénie sur R et est de classe c∞ .
n
2
n=0
p
∑
f (p) (0)
On pose pour p ∈ N, ap =
et Gp : x 7→
a k xk .
p!
k=0
PC*
Oral 2012 PC*
Calculer ak pour 0 ≤ k ≤ 9. Représenter Gk pour 1 ≤ k∑
≤ 5.
Montrer que le rayon de convergence de la série entière
an xn est nul. (Centrale 11 avec Maple)
sin nx
51. Pour n ∈ N∗ montrer que fn (x) =
dénie sur ]0, +∞[ est intégrable
nx + x2
sur ]0, +∞[. Montrer que cette intégrale a une limite à déterminer quand n
tend vers +∞.
Séries entières
52. Soient x et t deux réels avec |x| < 1.
2
Montrer que x 7→ ln(x
( − 2x cos(t)
) + 1) admet un développement en série
entière. Calculer Re
Calculer
∫
3π/2
1
x − exp(it)
et en déduire les coecients du DSE.
ln(x2 − 2x cos(t) + 1)2 dt. X-Espci 11 (*)
π/2
53. La suite (dn ) est dénie par d0 = 1 et la relation ∀n ∈ N, dn+1 = n(dn + dn−1 ).
Montrer que pour n ≥ 2, n!/3 ≤ dn ≤ n!.
En déduire le rayon de convergence de S : x 7→
+∞
∑
dn
n=0
n!
xn .
Montrer que S est solution de l'équation diérentielle (1 − x)y ′ − xy = 0.
Exprimer S à l'aide de fonctions usuelles. Donner une expression de dn .
( CCPol 11 )
1
54. On note pour tout n : an = 2n
2
(
)
2n
.
n ∑
Déterminer le rayon de convergence de
an z n .
( +∞
∑
Montrer que pour tout z tel que |z| < 1 on a :
55. Soit (an ) une suite complexe telle que
cn =
n
∑
ak . Soit f (t) =
k=0
∑ an tn
∑
an z
n=0
=
1
1−z
an converge. Notons S =
et g(t) =
n!
)2
n
∑ cn tn
n!
∑
n≥1
.
(a) Déterminer le rayon de convergence de ces deux séries.
(b) Trouver une relation entre f, g ′ et g .
(c) Calculer
∫
Centrale 11 (*)
t
e
0
−u
f (u)du et
∫
t
e−u g(u)du.
0
56. Rayon de convergence et somme de f (x) =
+∞ (∫
∑
n=0
57. Pour tout entier n on pose : an =
n
∑
k=0
PC*
1
.
(2k)!
0
1
)
2 t (1 − t) dt xn .
n n
n
an et
Oral 2012 PC*
(a) Montrer que la suite (an )n∈N converge et déterminer sa limite.
∑
(b) Montrer que pour |x| < 1 la série entière an xn converge. Quel est le
rayon de convergence de la série entière ?
(c) Montrer que (1 − x)
p
∑
n
an x = a0 +
n=0
(an − an−1 )xn − ap xp+1 .
n=1
Que peut-on en déduire ?
58. Développer en série entière arctan
∑
p
∑
(
x2 + 1
x2 − 1
)
au voisinage de 0.
59. Soit an z n une série entière de rayon de convergence R > 0. Déterminer les
∑
∑ an
∑ n!an
rayons de convergence des séries :
a2n z n ;
zn ;
zn.
n
n!
60. Résoudre l'équation
+∞
∑
n
(3n + 1)2 xn = 0.
n=0
Séries de Fourier
61. (a) Soit u : R− → R, fonction périodique, de période 2π et telle que quelque
soit x appartenant à [−π, π[, u(x) = x. Dessiner l'allure de la courbe
représentative de u.
(b) Montrer que
∫
π
0
+∞
∑
1
π2
(−1)n+1 π
; redémontrer
=
.
x sin(nx)dx =
n
n2
6
n=1
(c) soit fp :]0, 1[→ R qui à x associe fp (x) =
prolongeable par continuité sur [0, 1].
(d) Soit Ip =
∫
ln(x)x2p+1
. Montrer que fp est
x2 − 1
1
fp (x)dx. Calculer Ip+1 − Ip . Trouver la limite de (Ip )p∈N .
∑
∑
(e) Nature de
Ip et
(−1)p Ip .
0
CCPol 11 (*)
√
62. Soit f : R → R, 2π -périodique et telle que ∀x ∈ [−π, π], f (x) = |x|. Représenter f et caluler ses coecients de Fourier an , bn pour quelques valeurs de
n. Représenter S10 et f ∫sur [−3π, 3π].
+∞
Justier l'existence de
0
sin t
√ dt. Que peut-on dire de la suite de terme
t
général n3/2 an ? ( Centrale 11 avec Maple)
63. Développer f (x) = Arcsin (sin x) en série de Fourier. Mines-Ponts
64. Existe-t-il une fonction f : R → R continue telle que les coecients de Fourier
soient : an = 21n et bn =
∫ 0?
π
dt
.
0 5 − 4 cos t
65. Déterminer toutes les fonctions f c1 , 2π -périodiques telles qu'il existe un réel
a, tel qu'en tout point t de R, f ′ (t) = f (t + a). Mines-Ponts 11 (*)
Application : calculer
PC*
Oral 2012 PC*
Équations diérentielles
66. Résoudre y” + y = cotan(x) sur ]0, π[. ( 11 )
67. Résoudre l'équation diérentielle y ′′ + y = arctan(x) avec y(0) = y ′ (0) = 0.
Représenter cette solution.
∫ x
On pose f0 : x 7→ arctan(x) et pour tout n ∈ N, fn+1 : x 7→
(x − t)fn (t)dt.
Pour n ∈ N∗ on note Sn =
n
∑
0
fk . Calculer f1 , f2 , f3 , f4 .
k=0
Représenter sur un même graphe S∑
4 et la solution de l'équation.
Montrer que la série de fonctions
fn converge normalement sur tout segment. ( Centrale 11 avec Maple)
68. On dénit l'ensemble Ea = {f paire, de classe c1 / ∀x ∈ R, f ′ (x) = f (x + a)}.
(a) Montrer que f ′ est impaire et f ′′ est dénie sur R et est paire.
(b) Montrer que f (a − x) + f (a + x) = 0. Montrer que f est de classe c∞ .
(c) Montrer que f ′′ + f = 0 puis qu'il existe A / pour tout x, f (x) = A cos x.
(d) Déterminer Ea .
(e) Déterminer Fa = {f impaire de classe c1 / ∀x ∈ R, f ′ (x) = f (x + a){.
CCPol 11 (*)
69. Résoudre xy ′′ + 2y ′ − xy = 0 (après avoir trouvé une solution particulière
développable en série entière). Mines -Ponts 11 (*)
70. Soit E = {f, fonctions de classe C 1 sur [0, 1] / f (0) = f (1) = 1}.
Est ce un espace vectoriel
? est ce un espace ane ? Trouver la borne inférieure
∫
1
de g avec g : f 7→
(f 2 (t)+f ′2 (t)dt, f dans E . (indication utiliser g = f +f ′ ).
0
X-Espci 11 (*)
71. Soit (E) : (x2 − 3)y” + 5xy ′ + 4y = (x2 − 3)2 .
Existe-t-il une fonction polynomiale solution de (E) ?
72. Soit u une fonction de classe C ∞ , qui s'annule en un unique point x0 . Résoudre
u.y ′′ = u′′ .y . Y-a-t-il une solution évidente ?
Changement de fonction inconnue y = λ.u. Ens 11 (*)
73. On considère le système diérentiel (S) : x′ = −x2 −2x+xy; y ′ = y 2 +2y −xy .
Montrer que, pour tout (α, β) ∈ R2 , tout t0 ∈ R, il existe une unique solution
de (S) vériant x(t0 ) = α et y(t0 ) = β .
Résoudre le problème pour x(0) = −2 et y(0) = 0.
Représenter à l'aide de DEplot le champ vectoriel associé.
Déterminer les trajectoires dont le support est inclus dans une droite. Donner
les équations de ces droites.
Déterminer les points en lesquels le vecteur tangent aux courbes solution est
colinéaire à (−1, 1) , puis à (1, 0).
Déterminer les trajectoires dont le support est inclus dans un cercle. Déterminer l'équation de ces cercles (Centrale 11 avec Maple).
PC*
Oral 2012 PC*
2 −2 1
74. Résoudre les systèmes X ′ = AX et X ′ = AX + B avec : A = 2 3 2
−1 0 0
1
et B = 1 .
2
75. Soit f ∈ C 2 (R, R) telle que ∀x ∈ R, f ”(x) − 2f ′ (x) + 2f (x) ≥ 0.
Montrer que ∀x ∈ R, eπ f (x) + f (x + π) ≥ 0.
76. On considère les deux équations diérentielles :
|y|
y
(E1 ) : y ′ +
= x et (E2 ) : y ′ +
= x. Résoudre ces équations. A-t-on des
|x|
x
solutions dénies sur R ? Étudier le problème de Cauchy.
77. Soit u ∈ C(R+ , R). Donner sous forme intégrale les solutions de l'équation
diérentielle y” + 3y ′ + 2y = u.
Montrer que si u a une limite nulle en +∞, il en est de même des solutions de
cette équation diérentielle.
78. (a) Chercher une solution (autre que la fonction nulle) développable en série
entière de l'équation diérentielle : x2 y ′′ + x(x + 1)y ′ − y = 0.
(b) Exprimer cette solution à l'aide des fonctions usuelles.
79. Déterminer toutes(les
de R dans R telles que, pour tout
)
∫ fonctions f continues
x
x de R, f (x) = x
tf (t) dt + 1 .
0
Fonctions de plusieurs variables-Intégrales multiples
√
80. Soit f : R2 − > R dénie par f (x, y) = 1 − x2 − y 2 sur l'ensemble de dénition de f .
(a) Représenter l'ensemble de dénition de f .
(b) D = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 > 1}.
Montrer que si (xn , yn )n∈N est une suite d'éléments de R2 \D qui converge
vers (x, y) alors (x, y) est un élément de R2 \ D.
Montrer que D est un ouvert.
Calculer les dérivées partielles de f par rapport à x et y .
(c) Déterminer les extremums de f sur D′ = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 11}.
Préciser pour chacun d'eux s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum
et s'il est global ou local.
(d) Représenter la surface z = f (x, y). Retrouver le résultat de la question
c).CCPol 11 (*)
81. Soit f : R → R, de classe c∞ et φ dénie par :
f (x) − f (y)
si x ̸= y .
φ(x, y) =
x−y
Montrer que φ(x, y) =
∫
1
f ′ ((1 − t)x + ty) dt. En déduire que φ admet un
0
PC*
Oral 2012 PC*
prolongement de classe c∞ à R2 . ∫
Calculer, pour p, q entiers de N ,
1
(1 − t)p tq dt. En déduire
0
∂ p+q φ
(a, a).
∂xp ∂y q
82. Soit f , C , on dit que f est harmonique si ∆f = 0.
(a) Montrer (x; y) 7→ arctan(x/y) est harmonique.
(b) Soit f de classe C 3 ; montrer que si f est harmonique alors les dérivées
premières selon x et y le sont aussi.
2
( )
∂
∂f
.
(c) Montrer que (∆) = ∆
∂x
∂x
(d) Soit f : (x, y) 7→ h(x2 + y 2 ). Montrer que f est harmonique si h′ vérie
une équation diérentielle que l'on précisera. Trouver l'ensemble des h tel
que f soit harmonique.
∂f
∂f
(e) Soit g : (x, y) 7→ y + x . ( ?). Montrer que g est harmonique.
∂x
∂y
CCPol 11 (*)
2
∂ 2f
2∂ f
−
y
= 0 où f ∈ C 2 (R, R) avec le changement de
∂x2
∂y 2
variable u = xy, v = y/x. (CCPol)
83. Résoudre (E) : x2
84. Soit Ω = {(x, y) ∈ R2 / x > 0} et k ∈ R+∗ . Soit f de classe C 1 sur Ω à valeurs
dans R.
∂f
∂f
(a) Résoudre x (x, y) − y (x, y) = kf (x, y) sur R+∗ (1). (On pourra
∂x
∂y
utiliser les coordonnées polaires)
(b) Trouver les solutions f de classe C 1 sur R2 de (1) et montrer que f = 0.
Centrale 11 (*)
85. f ∈ C 1 (R, R) vérie : ∃k ∈]0, 1[ tel que ∀x ∈ R, |f ′ (x)| ≤ k.
Soit F dénie sur R3 par : F (x, y, z) = (x + f (y), y + f (z), z + f (x)).
Montrer que F est un c1 -diéomorphisme de R3 sur R3 *. Mines-Ponts
86. Donner une condition nécessaire et susante portant sur (a, b) ∈ R2 pour que
l'application f : (x, y) 7→ (x + a cos y, y + b sin x) réalise un diéomorphisme
de R2 sur R2 .
PC*
Oral 2012 PC*
Algèbre : généralités ; ensemble C
87. On note Z[i] = {a + ib/ (a, b) ∈ Z2 }. Montrer que cet ensemble est un anneau
commutatif et déterminer ses éléments inversibles.
Soit (x, y) ∈ Z[i]2 avec y ̸= 0. Montrer qu'il existe (q, r) ∈ Z[i]2 tels que
x = qy + r avec |r| < |y|. (11 )
88. Nombre d'applications d'un ensemble à n + 1 éléments dans un ensemble à n
éléments ? Nombre de surjections ? X-Espci
89. Parmi les racines 2nème de l'unité, déterminer combien sont racines nème de 1
et combien sont racines nème de -1.
Soit E une racine nème primitive de 1 (primitive = toutes les racines nème de
1 sont multiples de E ). Montrer que P (X) = X 2 − E admet deux racines
diérentes.
Soit x1 et x2 ces racines, montrer que x1 ou x2 est racine nème de -1.
X-Espci 11 (*)
z+1
90. Soit f : z 7→
. Trouver l'ensemble des z ∈ C tels que f (z) ∈ R, puis tels
z−i
que f (z) ∈ iR, puis tels que |f (z)| = 2. ( CCPol 11 )
Polynômes
91. A est un polynôme de degré n de C[X] qui admet n racines distinctes. B est
un élément quelconque de C[X]. Étudier l'application qui à tout polynôme P
de Cn [X] associe le reste de la division euclidienne de BP par A (linéarité,
noyau, image, éléments propres...) (X -ESPCI)
92. Quels sont les polynômes P de C[X] tels que XP (X + 1) = (X + 3)P (X) ?
CCPol
93. P ∈ R(X] est de degré 7. On suppose que P + i est multiple de (X − i)4 .
Déterminer P ′ et en déduire P . ( CCPol 11)
94. Résoudre le système x + y + z = 2 , 1/x + 1/y + 1/z = 1/2 , xyz = −2.
95. P est un polynôme réel, non constant, scindé à racines simples et a ∈ R∗ .
Montrer que P 2 + a2 n'admet que des racines simples dans C.
96. Soit P dans C[X], unitaire de degré n ≥ 1.
n
∑
P (k)
.
(k
−
i)
0≤i≤n,i̸
=
k
k=0
En déduire que max {|P (k)|, 0 ≤ k ≤ n} ≥ n!/2n .
Calculer
∏
97. Soit P ∈ R[X] de degré n ≥ 2, scindé, à racines simples x1 < x2 < ... <
xn . Montrer que P ne eut avoir deux coecients consécutifs nuls Calculer
n
∑
k=1
1
P ′ (x
k)
.
98. Soit P ∈ R[X], on dit que P est positif si pour tout x de R on a : P (x) > 0.
Le but de l'exercice est de montrer que tout polynôme P positif peut s'écrire
sous la forme P = A2 + B 2 , avec (A, B) ∈ R[X]2 .
PC*
Oral 2012 PC*
(a) Soit P un polynôme positif non constamment nul, montrer que toute
racine réelle de P est de multiplicité paire.
(b) Soit P un polynôme positif de degré 2, montrer que P peut s'écrire sous
la forme P = A2 + B 2 .
(c) Soit A, B, C et D quatre polynômes de R[X], le produit du polynôme
A2 + B 2 par C 2 + D2 peut-il s'écrire comme la somme de deux polynômes
de R[X] élevés au carré ? Conclure.
(d) Soit A(+, ., R) un anneau commutatif. Soit G = {a2 + b2 , (a, b) ∈ A2 }. G
est-il stable par somme ? Par produit ?
Centrale 11 (*)
Algèbre linéaire
99. E est un espace vectoriel de dimension nie et u ∈ L(E).
Montrer, pour tout i de N, les équivalences suivantes :
ker ui = ker ui+1 ⇐⇒ Imui = Imui+1 ⇐⇒ E = ker ui ⊕ Imui
100. Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie et f, g deux éléments de E ∗ .
Montrer que ker f ⊂ ker g ssi il existe λ ∈ K tel que g = λf .
101. Soit E un C-espace vectoriel de dimension p. Soit f ∈ L(E).
On note ER le même espace vectoriel vu comme un R-espace vectoriel, de
même qu'on note fR l'application f dans ER .
Montrer que fR ∈ L(ER ).
Calculer la trace puis le déterminant de fR en fonction de la trace et du déterminant de f . X- Espci 11
102. Soit E l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels de degré inférieur
ou égal à 3. Soit f : E → E
P → f (P ) : R → R
X → P (X + 1) − P (X)
(a) Montrer que f ∈ L(E)
0
0
(b) Déterminer une base de E dans laquelle f admette
0
0
pour matrice.
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
103. ∫Soient
a0 , a1 , ..., an , n + 1 réels non nuls. Montrer que les applications f : P 7→
ai
P (t)dt forment une base de L(Rn [X], R). Mines-Ponts 11 (*)
0
104. Soit E , ev de dim nie et f, g , 2 endomorphismes de E tels que E = Imf +Img
et E = Kerf + Kerg . Montrer qu'on a 2 sommes directes. Même chose en dim
innie. CCPol 11 (*)
PC*
Oral 2012 PC*
105. E est l'ensemble des fonctions continues de [−1; 1] dans R telles f /[−1; 0] et
f /[0; 1] soient des fonctions anes. Montrer que E est un espace vectoriel.
Déterminer une base de E . Petites Mines 11 (*)
Déterminants
106. Soit (p, n) ∈ N∗2 avec p ̸= n. Soit A ∈ Mn,p (R) et B ∈ Mp,n (R). Calculer
det(AB) det(BA). ( Mines- Ponts 11)
2 1
1 2
107. Calculer ∆n = 0 1
. .
.. . .
0 ···
1α
2α
2α
3α
108. Calculer ..
..
.
.
α
n (n + 1)α
· · · 0 . . . . . . .. .
... ...
0 ...
2 1 0
1 2 0
···
···
···
pour α ∈ {1, 2, 3}.
..
.
α (2n − 1)
nα
(n + 1)α
109. On note I la matrice unité de Mn (R) pour n ∈ N∗ .
Soit A la matrice de Mn (R) dont tous les coecients valent 1 ; a et b sont
deux réels. On pose B = aI + bA.
(a + bn)p − ap
Montrer que : ∀p ∈ N, B p =
A + ap I .
n
110. Soit n ≥ 2, A ∈ Mn (R) telle que, ∀X ∈ Mn (R), det(A + X) = det(A) +
det(X).
Montrer que det(A) = 0 et que A = 0. ( 11 )
n
n − 1 ··· 2
1 ...
1
n
2 .. ... ... ...
111. Calculer 2
. .
.
.
.
..
. . . . n − 1 ..
n − 1 ···
2
1
n 112. A et B sont deux matrices carrées réelles. On note PM le polynôme caractéristique
M quelconque. On dénit une matrice M par blocs :
( d'une matrice
)
A B
M=
. Montrer que PM = PA−B PA+B .
B A
113. Soit θ ∈ R. Pour n ∈ N, on dénit la matrice An ∈ Mn (R) de coecient
général ai,j par : ai,i = 2cos(θ), -1 si j = i + 1 ou si j = i − 1, 0 sinon.
Calculer le déterminant de An . Centrale 11 (*)
Matrices
114. Montrer que toute matrice carrée d'ordre n de rang 1, à coecients réels,
s'écrit sous la forme X t Y où X, Y sont deux vecteurs colonne de Rn . Montrer
PC*
Oral 2012 PC*
que si A est de rang p elle peut se décomposer comme la somme d'exactement
p matrices du type Xi t Yi .
115. Soit M ∈ Mn+p (R) décomposée par blocs : M =
(
A B
C D
)
avec A ∈ GLn (R).
Montrer que : rg(A) = rg(M ) ⇐⇒ D = CA−1 B . (X)
116. Montrer que toute matrice carrée d'ordre n à coecients réels, de rang 1,
s'écrit sous la forme X t Y , où X, Y sont deux vecteurs Rn .(vecteurs colonne)
Montrer que si A est une matrice de rang p elle peut se décomposer comme la
somme de p matrices Xi t Yi .
117. Soit A une matrice carrée de taille n (corps de base K), montrer que :
A inversible ⇔ il existe un polynôme annulateur de A qui prend la valeur 1
en 0. Mines-Ponts 11 (*)
118. Soit A ∈ Mn (C) et B =
(
)
(0) A
∈ M2n (C). Déterminer le rang de B en
A (0)
fonction de celui de A. (11)
119. Montrer qu'une matrice carrée est diviseur de 0 si et seulement si son déterminant estnul.
0 1 −1
−3
4 −3. Déterminer un polynôme de degré 2 annulateur de
120. Soit A =
−1 1 0
A et en déduire An pour tout n de N. ( CCPol 11)
121. Soit M ∈ Mn (R) telle que M 5 + M 2 + M = (0). Montrer que le rang de M
est pair.
0 0 1
122. Soit A = 1 0 0 . Calculer Ak pour tout k de N.
0 1 0
1
On pose Cn =
(I3 + A + A2 + ... + An ). Étudier la convergence et la lin+1
mite de la suite (Cn ).
0 1 1 1
1 0 1 1
123. Déterminer une matrice M telle que M 2 =
1 1 0 1
1 1 1 0
124. Soit A ∈ Mn (C) telle qu'il existe p ∈ N∗ vériant Ap = (0).
a) Montrer que An = (0).
b) Calculer det(A + In ).
c) Calculer det(A + M ) lorsque AM = M A (sans trigonaliser).
125. Soit A ∈ M3 (C). Donner une condition nécessaire et susante sur det(A) et
tr(A) pour que la matrice A soit semblable à la matrice −A. ( 11 )
126. Soit A, B deux matrices réelles carrées d'ordre n, montrer que det
PC*
(
A −B
B A
)
> 0.
Oral 2012 PC*
127. Une matrice est dite positive si tous ses coecients sont positifs. On dit qu'elle
possède la propriété (P ) si elle est inversible et si son inverse est positive.
Soit A ∈ Mn (R). Montrer que :
A vérie (P ) ⇔ (∀X ∈ M
n (R), AX positive ⇒ X positive
)
Montrer que la matrice A =
−1
2
0
..
.
0
2
0
···
.
−1 . .
... ... ...
... ...
−1
···
0
2
0
..
.
0
2
−1
possède la propriété (P ).
128. Soit A, B, C trois matrices de M\ (R) telles que AB − BA = C et BC = CB .
Montrer que, ∀p ∈ N, AB p+1 = B p (BA + (p + 1)C).
Montrer que dans ce cas det(B) = 0 ou det(C) = 0. (X)
Réduction des endomorphismes
129. Étudier la matrice de terme ai,j = ai−j , a non nul.
X-Espci 11 (*)
130. Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel normé de dimension nie dont
le polynôme caractéristique est scindé à racines simples. Caractériser et dénombrer les sous-espaces stables par f .
131. Soit A une matrice de M3 (R) qui n'est pas la matrice nulle etvériant A= A3 .
0 0
0
0 .
0 0 −i
Montrer que A est semblable à (matrice donnée en ligne) : 0 i
CCPol 11 (*)
132. E est un ev de dimension n. (e1 , ..., en ) est une base de E . Soit f ∈ L(E)
dénie par :
f (e1 ) = en , f (e2 ) = e1 , ..., f (en ) = en−1
Déterminer vecteurs propres et valeurs propres. f est-elle diagonalisable ? f
est-elle inversible ? Petites Mines 11 (*)
2iπ
133. n est un entier naturel de la forme 4q + 1 ; on pose ω = e n .
n−1
∑
)
(
2
ω k ; An = ω (r−1)(s−1) 1≤r,s≤n ∈ Mn (C).
k=0
√
Expliciter G5 . Montrer que |Gn | = n.Calculer A2n puis A4n .
Prouver que E = E√n ⊕ E−√n ⊕ Ei√n ⊕ E−i√n avec Eλ = Ker(An − λIn ).
Calculer tr(An ), tr(A2n ) ,det(An ) et det(A2n ) sachant que les dimensions des
espaces précédemment dénis sont an , bn , cn , dn . En déduire Gn .
Cette méthode permet-elle de trouver Gn si n n'est plus de la forme 4q + 1 ?
Gn =
134. Soit A une matrice de GL6 (R) tel que : A3 − 3A2 + 2A = 0.
Montrer que A est diagonalisable et calculer son polynôme caractéristique.
CCPol 11 (*)
PC*
Oral 2012 PC*
−4 3 3
0 0 −2
135. Soit A = −1 2 1 et B = 1 2 1 et f, g endomorphismes de R3
−5 3 4
1 0 3
canoniquement associés à A et B . Montrer que f est diagonalisable et donner une base dans laquelle f est diagonale. Vérier que la matrice de g dans
cette base l'est également.. Existe-t-il P, Q deux polynômes de R[X] tels que
P (A) = B et Q(B) = A ?
Soit alors A, B deux matrices de Mn (R) telles que AB = BA. On suppose que
A possède n valeurs propres distinctes. Montrer que A et B sont codiagonalisables. Montrer qu'il existe P ∈ R[X] tel que B = P (A). A quelle condition
existe-t-il Q ∈ R[X] tel que A = Q(B) ?
(Centrale 11 avec Maple)
−2 0 1
136. Soit A = −5 3 0 et soit X ∈ M3 (R) tel que X 2 − 3X = A
−4 4 −2
Montrer que AX = XA. En déduire les valeurs possibles de X .
1
··· ···
1
..
..
.
.
137. La matrice A =
est-elle diagonalisable ?
1
··· ···
1
1 − n ··· ··· 1 − n
138. Soit (A, B) ∈ Mn (C)2 , p ∈ N avec B = Ap .
Montrer que A diagonalisable ⇐⇒ B diagonalisable.
0 a2 a3
a1 0 a3
.
139. Soit A =
a1 a2 . .
. .
.. ..
a1 a2
n
∑
si et seulement si
k=1
···
...
an−1
an
an
..
.
; montrer que λ est valeur propre de A
an
0
ak
= 1. A est-elle diagonalisable ?
λ + ak
140. Soit u un endomorphisme d'un C−espace vectoriel normé de dimension n.
Montrer que u est diagonalisable si et seulement si :
∀λ ∈ C, ker(u − λId) = ker(u − λId)2 .
141. Soit {A1 , ..., Ap } un sous-groupe ni de GLn (C).
On admet que, ∀k, (Ak )p = In .
a) Montrer que, pour tout k, Ak est diagonalisable. Que dire de sp(Ak ) ?
b) Montrer que, pour tout k, |tr(Ak )| ≤ n. Que dire du cas d'égalité ?
c) On pose A =
p
∑
Ak . Montrer que A est diagonalisable.
k=1
d) Montrer que tr(A) est un entier divisible par p.
Que dire du cas tr(A) = 0 ?
PC*
Oral 2012 PC*
142. Soit A ∈ Mn (R) vériant A3 = A2 + A + In . Montrer que (Ap ) converge vers
une matrice de projection et la déterminer.
−1 8
8
1
143. Résoudre l'équation M 2 − 4M = 8 −1 8
3
8
8 −1
144. Soit A ∈ Mn (C) telle que tr(A) = 0, An ̸= 0 et rg(A) = 2. Montrer que A est
diagonalisable. ( 11 )
0
0
. Montrer que A est semblable à
1
0
3
1
0
−4 −1 0
145. Soit A =
11
5
2
−17 −8 −1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
.
1
1
146. Soit A ∈ Mn (K) telle que At AA = In . Montrer que, si K = C, alors A est
diagonalisable. Que dire de A si K = R ?
147. A est une matrice réelle d'ordre n qui vérie A = t A = A2 . Déterminer
∑ les
2
valeurs propres de A. Montrer que tr(A ) = rg(A) et que rg(A) =
a2i,j .
1≤i,j≤n
148.
a) Soit d1 , ..., dn des scalaires distincts et D = diag(d1 , ..., dn ). Pour M ∈
Mn (K) on pose : Φ(M ) = DM − M D. Montrer que Φ est linéaire et
déterminer son image et son noyau.
b) Soit A une matrice de trace nulle. Montrer que A est semblable à une
matrice n'ayant que des 0 sur la diagonale.
c) Soit K un corps inni et A ∈ Mn (K). Montrer l'équivalence :
tr(A) = 0 ⇔ ∃(X, Y ) ∈ Mn (K)2
/ A = XY − Y X
Espaces euclidiens et hermitiens
149. Montrer que pour toute matrice P réelle inversible, P peut s'écrire P = ΩT ,
cette décomposition étant unique avec Ω matrice réelle orthogonale et T une
matrice réelle triangulaire supérieure ayant ses coecients diagonaux positifs.
Soit A une matrice réelle d'ordre n, montrer que :
(det(A))2 ≤
n ∑
n
∏
(ai,j )2
i=1 j=1
Mines-Ponts 11 (*)
150. (a1 , ...,
an ) ∈ Rn , (b1 , ..., bn ) ∈ Rn , Mn ∈ Mn+1 (R) est dénie par :
0
b
Mn = 1
type.
(0)
a1
(0)
...
0
... ...
an
bn
. Déterminer les matrices orthogonales de ce
0
PC*
Oral 2012 PC*
151. On dénit le produit scalaire ⟨ , ⟩ tel que pour tout A, B appartenant à Mn (R),
⟨A.B⟩ = tr(t A.B).
(a) Montrer que l'on a bien déni un produit scalaire.
(b) Montrer que P : A 7→ 1/2(t A + A) est un projecteur orthogonal.
CCPol 11 (*)
a b c
152. Montrer que c a b est une matrice de rotation si et seulement si les
b c a
réels a, b et c sont les racines d'un polynôme du troisième degré du type :
4
X 3 − X 2 + α avec 0 ≤ α ≤ 27
.
√
√
1√ 1 − 3 1 + √3
153. Nature géométrique de A = 1 + √3
1√ 1 − 3 . Calculer A481 .
1− 3 1+ 3
1
154. Soit E un espace euclidien, e = (e1 , ..., en ) une famille de vecteurs unitaires de
E telle que : ∀x ∈ E , ||x||2 =
n
∑
(ei |x)2 .
i=1
Montrer que la famille e est orthogonale et que E = V ect(e).
155. Montrer que la matrice A =
0 ···
0
1
.. . . . .
.
. .
.
0 1 ..
1
0
0
est orthogonale.
..
.
··· 0
Calculer A . A est-elle diagonalisable ?
Si A est la matrice de f dans la base canonique de Rn , donner les éléments
caractéristiques de f .
2
156. E = C([0, 1], R). Montrer que (f, g) 7→
∫
1
xf (x)g(x)dx dénit un produit
0
scalaire sur E . Déterminer le projeté orthogonal de x 7→ 1 sur V ect(x 7→
x, x 7→ x2 ). ( CCPol 11 )
157. Soit A une matrice symétrique de M3 (R). Montrer qu'il existe α ∈ R tel que :
∀(X, Y ) ∈ (R3 )2 , A(AX ∧ AY ) = αX ∧ Y .
158. Soit A l'ensemble des matrices symétriques de Mn (R) et AS celui des matrices
antisymétriques. Montrer que ces deux ensembles sont des supplémentaires
orthogonaux
scalaire canonique de Mn (R).
pour le produit
Soit M =
1 ···
2
..
.
n ···
···
1
2
; déterminer le projeté orthogonal de M sur S .
..
.
··· n
159. E est un espace euclidien de dimension n, f un endomorphisme de E vériant :
∀(x, y) ∈ E 2 , (x|y) = 0 ⇒ (f (x)|f (y)) = 0.
Montrer qu'il existe a > 0 tel que, pour tout vecteur x de E , ||f (x)|| = a||x||.
PC*
Oral 2012 PC*
160. E est un espace euclidien de dimension n rapporté à une base orthonormée
B=
)
(e1 , ..., en
. Soit H l'hyperplan d'équation
n
∑
xi = 0 dans la base B .
i=1
Soit B′ la famille de vecteurs (u1 , .., un−1 ) dénie par : pour tout i, ui = ei −ei+1 .
Montrer que B′ est une base de H . Construire une base orthonormée de H à
partir de cettte base.
Déterminer la projection orthogonale de en sur H . Retrouver ce résultat en
déterminant la projection orthogonale de en sur H ⊥ .
161. Soit A, B deux matrices symétriques réelles à valeurs propres positives. Montrer que det(A + B) ≥ det(A) + det(B). ( Mines -Ponts 11)
162. On munit R[X] du produit scalaire déni par :
∫
∀(P, Q) ∈ R[X] , ⟨P, Q⟩ =
+∞
2
P (t)Q(t)e−t dt.
2
−∞
(a) Vérier qu'on dénit bien un produit scalaire.
(b) Soit (Pn )n∈N la suite de polynômes dénie par P0 = 1, P1 = X et ∀n ≥ 1,
Pn+1 = 2XPn − Pn−1 . Calculer les Pn avec Maple pour n = 0..7.
(c) Écrire la matrice (⟨Pi−1 , Pj−1 ⟩)1≤i,j≤8 . Déterminer une base orthonormale
de R7 [X]. (Centrale 11 avec Maple)
163. Calculer inf
(a,b)∈R2
∫
+∞
(
1 − ax − bx2
)2
e−x dx.
0
164. On dénit Pn polynôme de Legendre comme suit :
∀n ∈ N, ∀x ∈ R, Pn (x) =
dn
((x2 − 1)n )
dxn
Degré de Pn ?
Montrer que le polynôme admet n racines distinctes dans ]-1 ;1[.
X-Espci 11
Géométrie ane et euclidienne
165. Quelle est la distance du point A de coordonnées (1, 1, 1) au plan P1 d'équation
3x + 2y + z = 0 ?
Soit P2 : x − y + 2z = 0 et D = P1 ∩ P2 . Déterminer la distance de A à D.
166. Soit P un plan muni d'un repère orthonormal (O,⃗i, ⃗j), A un point de (O,⃗i)
distinct de O.
C est le cercle de centre C, de rayon R tangent à (O,⃗i) en A.
T est l'autre tangente à C passant par O.
B est le point tel que B = C ∩ T . Déterminer, lorsque R décrit R+∗ , l'ensemble
des projections orthogonales de C sur la droite (AB).
167. On se place dans le plan euclidien canonique.
PC*
Oral 2012 PC*
(a) Soit H, I, J trois points distincts. Écrire une procédure donnant les coordonnées du projeté orthogonal de H sur (IJ).
(b) Soient A, B, C trois points non alignés. Si M ∈ (AB) on note P1 le projeté
orthogonale de M sur (BC), P2 le projeté orthogonal de P1 sur (AC) et
N le projeté orthogonal de P2 sur (AB). Écrire une procédure ayant pour
argument d'entrée A, B, C, M et qui retourne N .
(c) On munit la droite (AB) d'un repère. Si M a pour coordonnée x, on
note φ(x) la coordonnée de N . Soit (xn )n∈N la suite dénie par x0 ∈R et
∀n, xn+1 = φ(xn ). Montrer que φ est k - lipschitzienne avec k ∈]0, 1[. En
déduire que la suite (xn ) converge. Que dire de la limite ?
( Centrale 11 avec Maple)
168. Dans le plan ane euclidien rapporté à un repère orthonormé (O, i, j) on
donne la conique C et la droite D d'équations : x2 + y 2 + 3x + 2y − 5 = 0 et
ux + vy + h = 0. Nature de C ? CNS sur u, v, h pour que D soit tangente à C .
Lieux géométriques-Courbes
169. On considère la courbe plane dénie par l'équation suivante :
Γ : x2 + 2xy + 4y 2 − 1 = 0. Représenter Γ.
An de décrire la courbe, on utilise le paramétrage normal (le vecteur dérivé
est de norme 1) suivant : t 7→ (x(t); y(t)).
→
−
a) Donner une équation vériée par les coordonnées du vecteur T déni dans
la base de Frénet
−
→ −
→
b) En déduire les coordonnées des vecteurs T et N en fonction de x et y .
−
→
dT
c) Donner une équation vériée par les coordonnées du vecteur
.
dt
−
→
dT
d) En déduire les coordonnées de
en fonction de x et y .
dt
e) Donner le rayon de courbure de Γ en fonction de x et y .
On considère le paramétrage suivant :
(
t 7→
)
√
√
1
1
1 − √ cos( 3t); √ sin( 3t)
3
3
a) Calculer le rayon de courbure en tout point de la courbe plane dénie par
le paramétrage précédent.
b) Vérier que ce paramétrage correspond à la courbe Γ.
c) Vérier que l'expression de la courbure est identique à celle obtenue e).
Centrale 11 (avec Maple) (*)
170. Soit Cλ la courbe d'équation x2 + 2λxy + y 2 + 2x + 2y = 0. Déterminer les
points communs à toutes les courbes Cλ .
Nature de Cλ suivant la valeur de λ ?
Ensemble des centres de ces courbes ? (Mines-Ponts)
PC*
Oral 2012 PC*
171. Déterminer la courbure en un point d'une ellipse (11).
√
172. Étudier la courbe en polaires : ρ = 2 2 cos(2θ).
173. Soit a, b et c trois réels tels que a + b + c ̸= 0.
A et B deux points distincts xés dans un plan ane euclidien.
Caractériser le lieu γ des centres de gravité de (A, a), (B, b), (M, c) quand M
décrit le cercle de diamètre [AB].
174. Une propriété de la parabole. Le plan ane euclidien est rapporté au repère
orthonormé . Soit α un réel strictement positif. On considère la parabole (P )
d'équation y = αx2 . Une droite D rencontre (P ) en deux points A et B . Les
tangentes en A et B à (P ) se coupent en un point C . Soit σ une mesure de
l'aire comprise entre la droite D et la parabole (P ) et soit Σ une mesure de
σ
2
l'aire du triangle ABC . Montrer que le rapport est égal à . .
Σ
3
1
175. Construire la courbe d'équation polaire ρ =
. Comment obtientcos θ − cos(2θ)
on les tangentes à la courbe ? Montrer qu'il y a une branche parabolique de
direction (Oy).
176. Montrer que le lieu des milieux des cordes d'une parabole (H) parallèles à une
droite D donnée est une droite.
1 i(k+1)t
177. Soit pour k ∈ N∗ , fk : t 7→ eit −
e
.
k+1
Étudier fk et représenter les graphes de fk pour k = 4..8.
Déterminer le repère de Frénet et la courbure en t. (centrale 11 avec Maple).
( −
→)
→ −
→ −
178. L'espace ane est rapporté à un repère orthonormé O, i , j , k . Montrer
qu'il existe un unique arc paramétré de point courant M (t) , de classe c2 , tel
−−→
−−→
−−→
−−→
d2 OM
dOM
−
→ dOM −
→
−
→
que
= i +
∧ j avec OM (0) =
(0) = 0 .
2
dt
dt
dt
Représenter graphiquement cet arc et donner les coordonnées de la tangente
en un point. Pouvait-on prévoir ce résultat ? Calculer la longueur de l'arc de
courbe pour t variant de 0 à 2π .
179. Soit (C) d'équation x2 y 4 + x4 y 2 )2. Tangente à (C) en (1, 1) ? ( 11 )
Surfaces
{
180. Identier dans R3 la courbe d'équation
x2 + y 2 − 2y − 3 = 0
Donner l'équa2y − 2z + 3 = 0
tion de la surface engendrée par la rotation de cette courbe autour de l'axe
(Ox).
181. L'espace euclidien est muni d'un repère orthonormé. On considère trois points
distincts A ∈ (Ox), B ∈ (Oy) et C ∈ (Oz). Déterminer l'équation du cône de
sommet O qui contient le cercle circonscrit au triangle ABC . (X)
182. Existe-t-il un point M tel qu'un vecteur normal au
plan
tangent en M de la
1
surface d'équation x + y − z = 1 soit colinéaire à 2 ?
3
2
2
2
PC*
Oral 2012 PC*
183. Soit S la surface dénie par le paramétrage
R2 → R3 , (u, v) 7→ M (u, v) = (u + v, u2 + v 2 , u3 + v 3 )
(a) Donner une équation cartésienne de (S). Déterminer les points réguliers
de (S) et l'équation du plan tangent en ces points.
(b) Donner une équation cartésienne de Γ, ensemble des points M (u, v) en
lesquels le plan tangent est parallèle à (Ox)..
(c) Donner une équation de la surface de directrice Γ et de direction (1, 0, 0).
( Centrale 11 avec Maple)
3
184. R
{ C le cercle d'équation
{ est muni de sa structure euclidienne canonique. Soit
z=0
x=z+4
. Détermiet D la droite d'équations
y = 2x + 3
x2 + y 2 − 2y − 1 = 0
ner les sphères contenant C et qui sont tangentes à D.
185. Soit (S) : (x2 + y 2 + z 2 )3 = (x2 − y 2 − z 2 )2 .
(a) Représenter (S).
→
(b) Donner la matrice A de la rotation R d' axe −
e x et d' angle t.
(c) Montrer que R(S) = S . En déduire une propriété de S .
(d) Montrer que M = (1/4; 3/8; 3/8) ∈ (S). Trouver un plan tangent P à (S)
en M .
(e) Représenter (S) et P sur le même graphique.
→
→
(f) Soit Q = V ect(−
e x, −
e y . Trouver une équation de C = Q ∩ (S). Passer
cette équation en coordonnées polaires. En déduire une représentation
paramétrique de (S).
Centrale 11 (*) avec Maple
186. Décrire la surface d'équation : xy + yz + zx = 1; (S). Déterminer l'équation
du cône de sommet A(−2, −2, 0) circonscrit à (S) . Montrer que l'intersection
du cône et de la surface est une courbe plane.
187. a est xé dans R+∗ . On considère les deux surfaces :
(C) : x2 + y 2 = a2 et (S) : x2 + y 2 + z 2 = 2a2
(a) Caractériser les deux surfaces, les dessiner.
(b) On pose : ∀θ ∈ R, ⃗u(θ) = ⃗i cos θ + ⃗j sin θ. Déterminer, d'abord par
une équation diérentielle, les fonctions h C 1 telles que les tangentes à
la courbe Γ paramétrée par : θ 7→ O + a⃗u(θ) + h(θ)⃗k soient tangentes à
(S).
(c) Étudier la projection orthogonale γ de Γ sur yOz .
188. Nature des quadriques :
xy + yz + zx + 4x + 4y + 4z + k = 0 ; droites tracées sur la surface ?
idem avec x2 + y 2 + z 2 + 2xz − 4x + 4y + 1 = 0
x2 + 2y 2 + z 2 + 2xz = 2 ; x2 + 2xy + ay 2 − 1.
PC*
