CHAPITRE 1 MODES DE REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES COMBINATOIRES 1.1 MODÈLES LOGIQUES 1.1.1 Introduction Trois hypothèses simplificatrices permettent de décrire certains systèmes concrets à l'aide de grandeurs dépendant du temps et n'ayant que deux états physiques distincts. Le chapitre 1 est consacré à l'étude d'éléments dont les états de sortie dépendent uniquement des états d'entrée mesurés au même instant. On définit la fonction logique d'un tel élément comme étant le tableau de correspondance entre les états d'entrée et les états de sortie; divers modes de représentation de ces fonctions sont introduits : tables, diagrammes de Venn et expressions algébriques. L'algèbre logique introduite à cet effet repose sur un nombre restreint de postulats dont il découle des théorèmes qui sont démontres et illustrés par des applications pratiques. 1.1.2 Définition On appelle système concret tout objet physique comportant un nombre fini d'accès ou bornes; certaines d'entre elles sont les bornes d'entrée, les autres sont les bornes GND = 0v Fig. 1.1 2 ANALYSE ET SYNTHÈSE DES SYSTÈMES LOGIQUES de sortie et l'état physique des premières détermine de façon plus ou moins complexe l'état des secondes en fonction du temps. 1.1.3 Exemple Le schéma électronique de la figure 1.1 présente un système concret comportant deux bornes d'entrée (désignées par 1 et 2) et une borne de sortie (désignée par 3). 1.1.4 Expérience La figure 1.2 décrit la variation en fonction du temps t des tensions électriques x l(t)'x2(t) etx3(t) mesurées entre les trois bornes du schéma de la figure 1.1 et la terre; ce diagramme temporel ou chronogramme constitue le protocole d'une expérience. On constate que : • les tensions d'entrée x\ et x^ ne prennent au cours du temps que deux états physiques distincts : 0V et +5V; ces deux états seront simplement désignés par les symboles 0 et 1 ; • la tension de sortie x^ varie de façon continue et prend au cours du temps une infinité d'états physiques distincts. • %^ x,(t) 0 ^«^ X,(t) 0 //W Y i (It) X t) va V, X, (t) ————— :^^^ ^W/M. ^i Y- / 1 2 ———— 0 ———— 1 X(t) ^ AO. - A,o A 01 o A|— Y(t) 0 ———— Z(t) Q A A / Fig. 1.2 1.1.5 Commentaire Pour décrire le comportement du système concret de la figure 1.1, on cherche à établir une relation entre les variations des entrées et celles de la sortie; une telle relation serait facilitée si la tension de sortie x3 se présentait sous la forme des tensions d'entrée MODES DE REPRÉSENTATION DES SYSTÈMES COMBINATOIRES 3 X1 ou x2, c'est-à-dire si elle ne comportait que deux états 0 et 1. L'introduction de trois hypothèses simplificatrices permettra d'aboutir au résultat recherché : la représentation finale de x3 sera une traduction approximative de la réalité physique ou modèle du système concret. 1.1.6 Première hypothèse En admettant l'existence de deux tensions constantes VQ et v^ (fig. 1.2) on peut déterminer à chaque instant une variable X y ( t ) définie de la façon suivante : • X3(t) = 0 si xs(t) < VQ • Xs(t) = 1 si xs(t) > vi • X3(t) = 2 si ro < X3(t) < v, La variable Xy peut prendre trois valeurs distinctes ou états : X^ est un signal discret ou quantifié; la description de ^3 par Xy est une quantification de x^. On constate dans la figure 1.2 que l'état X^ = 2 apparaît transitoirement, lors du passage direct ou inverse des états X y = 0 à X y = 1 : cette constatation suggère une deuxième hypothèse. 1.1.7 Deuxième hypothèse En admettant que la durée des variations des entrées est nettement supérieure à la durée de l'état transitoire caractérisé par X y = 2, on peut négliger la représentation de cet état : la variable X ( t ) (fîg. 1.2) illustre une telle simplification. On constate alors que le signal X(t) ne comporte que deux états 0 et 1 ; on constate également l'existence de retards ou délais séparant l'action sur les entrées (variations de x\ et x^) des effets sur la sortie (variations de X) '. on remarque en particulier que le délai AOI lors d'une variation de A" de 0 à 1 n'est pas égal au délai Aïo de la variation inverse. 1.1.8 Troisième hypothèse En admettant que les délais Aoi et Aïo sont égaux à une constante A, indépendante du temps, la variable X ( t ) peut être remplacée par une nouvelle variable Y(t) (fig. 1.2). 1.1.9 Définition : modèle logique asynchrone En admettant successivement les trois hypothèses de la quantification, de l'élimination des transitoires et de l'égalisation des délais on obtient un modèle particulier du système concret étudié : c'est le modèle logique asynchrone auquel se réfère l'ensemble du présent volume. 1.1.10 Définition : modèle logique combinatoire En admettant que le délai A de Y(t) est nul, on obtient la variable Z(t) (fig. 1.2) qui décrit un cas particulier très important du modèle asynchrone : c'est le modèle logique combinatoire.