Exercices de mathématiques des oraux de^ l`Ecole

SERGE FRANCINOU
HERVÉ GIANELLA
SERGE NICOLAS
Exercices de mathématiques
des oraux
de^ l'Ecole polytechnique
et des Écoles normales supérieures
Algèbre. Tome I
CASSINI
Table des matières
Introduction
Chapitre 1. Combinatoire
5
1.1. Nombres de Fibonacci
1.2. Nombre de dérangements (1)
1.3. Nombre de dérangements (2)
1.4. Nombre de dérangements (3)
1.5. Nombres de Bell
1.6. Cardinal d'une relation d'équivalence
1.7. Cardinal de GLn(K) et SLn(K)
1.8. Cardinal de SO2(Z/pZ)
1.9. Nombre d'involutions
1.10. Partitions d'un entier
1.11. Un problème de théorie extrémale des ensembles
1.12. Ensembles définis par récurrence
1.13. Distribution du premier chiffre des puissances de 2
1.14. Un théorème de Gauss
1.15. Théorème de Beatty (1926)
1.16. Un exercice du concours général
1.17. Un exercice d'Olympiades
6
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33
Chapitre 2. Théorie des groupes
35
2.1. Existence d'un idempotent
2.2. Groupes dont l'ensemble des sous-groupes est
2.3. Morphismes de Q dans Z
2.4. Equivalence K e r / = K e r / 2 -<=> I m / = I m / 2
2.5. Sous-groupes finis de Q/Z
2.6. Groupes abéliens de cardinal pq
2.7. Un cas particulier du lemme de Cauchy
2.8. Exposant d'un groupe abélien
fini
2.9. Puissances dans un groupe abélien d'exposant
2.10. Lemme de Cauchy
2.11. Centre d'un p-groupe
2.12. Nombre de classes de conjugaison
2.13. Un théorème de Frobenius (1895)
2.14. Classes de conjugaison
2.15. Sous-groupes finis de SÛ3(R)
339
fini
fini
35
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50
340
TABLE DES MATIERES
2.16. Groupes quasi-cycliques de Prùfer
54
2.17. Le groupe modulaire
552.18. Unicité dans le théorème de structure des groupes abéliens
finis
59
2.19. Génération du groupe symétrique
62
2.20. Plongement de Sn dans An+2
64
2.21. Morphismes de S4 dans 1S3
64
2.22. Automorphismes de Sn
69
Chapitre 3. Anneaux et corps
73
3.1. Calcul d'inverse
3.2. Anneaux tels que x3 = x
3.3. Commutativité ou anti-commutativité
3.4. Anneaux réguliers
3.5. Idéaux principaux
3.6. Anneau des décimaux
3.7. Anneau Z[X]
3.8. Anneaux factoriels
3.9. Anneaux euclidiens
3.10. Anneau des entiers de Gauss (1)
3.11. Anneau des entiers de Gauss (2)
3.12. Une extension de C[X]
3.13. Anneau sans idéal non premier
3.14. Automorphismes de Q(\/2)
3.15. Le corps Q(v^)
3.16. Valuations sur Q
3.17. Valeurs absolues non-archimédiennes sur C(X)
3.18. Indépendance des valeurs absolues sur Q
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101
Chapitre 4. Arithmétique
103
4.1. Étude de l'irréductibilité d'une fraction
4.2. Équation ab = ba dans N
4.3. Points du réseau Z™ visibles de l'origine
4.4. Produits d'entiers consécutifs
4.5. Parties de N additivement stables
4.6. Un exercice pour les années impaires
4.7. Équation du second degré dans Z/pZ
4.8. Un problème de congruence
4.9. Un multiple de 1996 qui ne s'écrit qu'avec des 4
4.10. Somme des puissances fc-ièmes dans Z/pZ
4.11. Théorème de Wilson (1759)
4.12. Cyclicité du groupe multiplicatif (Z/pZ)*
104
106
107
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110
111
111
112
112
113
113
TABLE DES MATIERES
341
4.13. Critères de primalité
4.14. Diviseurs premiers communs aux termes d'une suite arithmétique
4.15. Nombres de Fermât
4.16. Infinité des nombres premiers congrus à 3 modulo 4 . . . .
4.17. Version faible du théorème de la progression arithmétique de
Dirichlet (1837)
4.18. Plus petit nombre premier ne divisant pas n
4.19. Théorème de Kurschak (1918)
4.20. Théorème de Legendre (1808)
4.21. Un produit de trois entiers consécutifs n'est jamais une puis-
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
sance k-ième
Théorème de Palfy-Erdôs
Valuation p-adique de C£n
Congruences de Lucas (1878)
Un problème de congruence
Le problème de Ducci
115
116
116
119
119
122
123
124
125
126
129
129
131
132
n
4.27. Expression de Y J T ( £ ; )
136
fc=i
4.28.
4.29.
4.30.
4.31.
4.32.
4.33.
4.34.
4.35.
4.36.
4.37.
4.38.
Une majoration de a
Équation faisant intervenir a
Sur la fonction a
Un théorème d'Erdôs (1946)
Probabilité pour que deux entiers soient premiers entre eux
Écriture d'un nombre premier comme somme de deux carrés
Théorème des deux carrés, preuve combinatoire
Théorème des quatre carrés de Lagrange (1770)
Lemme de Davenport-Cassels
Une équation diophantienne
Théorème de Sophie Germain (1823)
137
137
138
139
142
145
147
148
150
152
153
Chapitre 5. Polynômes
157
5.1. Égalité polynomiale
158
5.2. Une sous-algèbre de R[X]
159
5.3. Condition de divisibilité
160
5.4. Condition pour que (P') p divise Pq
161
5.5. Équation polynomiale P 2 = 1 + (X2 - 1)Q2
162
5.6. Un théorème de Liouville (1879)
164
5.7. Théorème de Mason (1984)
165
5.8. Résultant de deux polynômes
167
5.9. Caractérisation d'un polynôme par les antécédents de deux
points distincts
169
342
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
5.17.
5.18.
5.19.
5.20.
5.21.
5.22.
5.23.
5.24.
5.25.
5.26.
5.27.
5.28.
5.29.
5.30.
5.31.
5.32.
5.33.
5.34.
5.35.
5.36.
5.37.
5.38.
5.39.
5.40.
5.41.
5.42.
5.43.
5.44.
5.45.
5.46.
5.47.
5.48.
TABLE DES MATIÈRES
Polynôme rationnel inséparable de degré 5
170
Un polynôme irréductible de Z[X]
171
Critère d'Eisenstein
172
Irréductibilité de $ p dans Q[X]
173
Décomposition de 1 + X + X2 H
hX™"1
175
Polynômes complexes d'image réelle
177
Sommes de deux carrés dans R[X]
178
Polynômes positifs sur [—1,1]
178
Polynôme positif
181
Diviseurs d'un polynôme de Z[X]
181
Polynômes de Hilbert
182
Interpolation de Lagrange
183
Polynômes complexes envoyant surjectivement Q sur Q . . 184
Caractérisation des polygones réguliers
186
Polynômes entiers et fonctions polynomiales induites sur
Z/p*Z
187
Un calcul de C(2)
192
Formules de Newton (1707)
193
Polynômes réels scindés
196
Un théorème de Kronecker
198
Racines réelles de nX" - X™""1
X- 1
199
Un polynôme scindé sur M
199
Dénombrement de racines réelles
200
Dérivation et polynômes réels scindés
201
Un théorème de Laguerre
202
Plans vectoriels de polynômes scindés
204
L'ouvert des polynômes scindés à racines simples sur M. dans
l'ensemble des polynômes unitaires de degré n
206
Polynômes de Tchebychev
207
Inégalités de Bernstein et de Markov
210
Théorème d'Enestrôm-Kakeya
214
Construction d'un polynôme satisfaisant des conditions sur le
module de ses valeurs
215
Inégalité de Landau
216
Critère de Routh-Hurwitz pour le degré 3
217
Règle de Descartes
218
Théorème de Sturm
220
Décomposition en éléments simples
221
Inversion de la matrice de Hilbert
222
Automorphismes de K(X)
224
Approximation d'un irrationnel algébrique par des rationnels 227
Transcendance de e
229
TABLE DES MATIERES
343
5.49. Polynômes à plusieurs variables à valeurs entières
5.50. Un théorème de Bezout
232
234
Chapitre 6. Espaces vectoriels. Algèbres
237
6.1. Intersection de sous-espaces
6.2. Supplémentaire commun
6.3. Drapeaux
6.4. Lemmes de factorisation
6.5. Condition pour que rgg ^ r g /
6.6. Endomorphismes stabilisant les sous-espaces de dimension k
6.7. Exemple d'utilisation des espaces quotients
6.8. Majoration de l'indice de nilpotence
6.9. Produit commutatif d'endomorphismes nilpotents
6.10. Inégalité de Sylvester
6.11. Pseudo-inverse
6.12. Endomorphismes u tels que Ker u = Imu
6.13. Endomorphismes u tels que Ker u ® Imu = E
6.14. Décomposition de Fitting
6.15. Endomorphismes tels que E = Ker u © Imu
6.16. Endomorphisme annulé par un polynôme de degré 2 à racines
simples
6.17. Équation linéaire dans £(E)
6.18. Projecteurs
6.19. Une somme de projecteurs
6.20. Endomorphismes de C[X]
6.21. Formule de Burnside
6.22. Théorème de Maschke
6.23. Automorphismes de la K-algèbre £(E)
6.24. Simplicité de £(E)
6.25. Idéaux à gauche de £(E)
6.26. Idéaux à droite de £(E)
6.27. Orthogonalité duale en dimension quelconque
6.28. Familles libres d'applications
6.29. Familles positivement génératrices
6.30. Familles positivement génératrices de E*
6.31. Sous-algèbres de dimension finie de C°(R,R)
6.32. Racine carrée de la dérivation
6.33. ^-dérivation (1)
6.34. ^-dérivation (2)
6.35. ^-dérivation (3)
6.36. Étude d'une algèbre
238
239
241
244
246
248
248
249
250
250
253
254
255
256
25S
259
260
263
264
265
268
271
273
274
275
277
27g
280
282
283
287
287
288
289
291
292
344
TABLE DES MATIERES
Chapitre 7. Matrices
295
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
Condition pour que igg ^ r g /
Fonctions multiplicatives et inversibilite
Degré et valuation du polynôme det(XA + B)
Endomorphismes de yVfn(C) stabilisant le groupe linéaire . .
Endomorphismes de .A/fra(C) conservant le rang
Équation matricielle X + *X = (TrX)A
Dual de Mn(K)
Tout hyperplan de M.n{K) coupe GLra(K)
Dimension maximale de sous-espaces de matrices de rang inférieur ou égal h p
7.10. Orthogonalité duale
7.11. Crochets de Lie de Mn(K)
7.12. Traces modulo p
7.13. Matrices monotones
7.14. Puissances d'une matrice strictement stochastique
7.15. Théorème de Frobenius-Kônig (1912-1916)
7.16. Décomposition de Bruhat et drapeaux
7.17. Bases d'un groupe abélien
7.18. Première colonne d'une matrice inversible de M.n{"L) . . . .
7.19. Matrices équivalentes dans Mn(Z)
7.20. Structure des groupes abéliens
finis
7.21. Lemme de Siegel
296
297
298
299
300
304
305
306
Table des matières
339
Index
345
307
311
312
314
315
318
320
322
325
328
329
333
335