Antenne demi-onde - MP*1

MP*1-année 2015/2016
Antenne demi-onde
En un point M repéré par rapport à l’origine 𝑂 par ses coordonnées sphériques, on
étudie le rayonnement d’un élément de courant sinusoïdal d’intensité i, de pulsation ,
d’amplitude 𝐼, de longueur 𝑑𝑧 et de direction Oz placé en O et caractérisé par le vecteur:
𝑖𝑑𝑙⃗ = 𝐼𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑑𝑧. 𝑢
⃗⃗𝑧
On admet que cet élément est la source d’un champ magnétique qui vaut dans la zone
⃗⃗ (𝑟, 𝑡) = − 𝜇𝑜 𝑖𝑘𝐼𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝑧. 𝑒𝑥𝑝𝑖(𝑘𝑟 − 𝜔𝑡). 𝑢
de rayonnement : 𝑑𝐵
⃗⃗𝜑
4𝜋𝑟
Dans tout le problème, on s’intéressera au champ rayonné dans la zone de
rayonnement 𝑟 ≫ 𝜆.
1) Rappeler la signification de la
𝑧
zone de rayonnement
2) Sachant que, dans la zone de
𝑀
rayonnement, la structure du champ
électromagnétique s’identifie localement
𝑟’
avec celle de l’onde plane progressive,
donner l’expression approchée du champ
𝑃
𝑟
⃗⃗
⃗⃗
électrique 𝑑𝐸 en fonction de 𝑑𝐵 , 𝑢
⃗⃗𝑟 et 𝑐.
4) Une antenne rectiligne de
direction 𝑂𝑧 peut être considérée comme la
𝑂
somme d’éléments de courant analogues au
précédent: en chaque point 𝑃 de cote
−𝑎/2 < 𝑧 < 𝑎/2 de 𝑂𝑧 se trouve un
élément de courant analogue au précédent à
ceci près que la constante 𝐼 est remplacée par une fonction 𝐼 ( 𝑧 ). En utilisant les notations 𝑟’
⃗⃗ rayonné par l’ensemble de l’antenne. Dans la
et 𝜃′, donner l’expression exacte du champ 𝐵
⃗⃗ est donnée par une expression du type:
limite 𝑎 << 𝑟, montrer que la partie principale de 𝐵
+𝑎/2
𝑠𝑖𝑛𝜃
⃗⃗ (𝑟, 𝑡) = 𝛽𝐽
𝐵
𝑒𝑥𝑝𝑖(𝑘𝑟 − 𝜔𝑡). 𝑢
⃗⃗𝜑 avec 𝐽 = ∫−𝑎/2 𝐼(𝑧)𝑒𝑥𝑝𝑖(−𝑘𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑑𝑧
𝑟
𝛽 étant une constante complexe dont on donnera l’expression en fonction de 𝑘 et de 𝜇𝑜 .
𝜆
5) Une antenne demi-onde est définie par: 𝐼(𝑧) = 𝐼𝑜 cos(𝑘𝑧) et 𝑎 = 2. Dans ce cas,
𝑐𝑜𝑠(
𝜋𝑐𝑜𝑠𝜃
)
montrer que l’intégrale 𝐽 s’exprime sous la forme : 𝐽 = 𝛾 𝑠𝑖𝑛22𝜃 .
⃗⃗⃗ > du rayonnement. Le diagramme de
Calculer l’intensité énergétique < Π
rayonnement de l’antenne, c’est à dire le lieu des extrémités d’un bipoint de longueur
⃗⃗⃗ > ( 𝜃 ) mené à partir de l’origine dans les diverses directions d’émission est la suivante :
<Π