énoncé
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Devoir à la maison 7 à rendre le vendredi 20 janvier 2012 Une société de location de voitures possède trois agences, une à Rennes, une à Lyon, une à Marseille. Lorsqu’un client loue une voiture, un jour donné, dans une des trois villes, il la restitue le soir même dans une des trois agences. Une étude statistique a permis de montrer que, pour une voiture donnée : – si elle est louée à Rennes un certain jour, alors elle est laissée le soir à Lyon avec la probabilité 14 , tandis qu’elle est laissée à Marseille avec la probabilité 34 ; – si elle est louée à Lyon, alors elle est laissée à Rennes avec la probabilité 21 , laissée à Marseille avec la probabilité 1 1 4 , et ramenée à Lyon avec la probabilité 4 ; – si elle est louée à Marseille, elle est laissée à Rennes avec la probabilité 12 , laissée à Lyon avec la probabilité 14 , et ramenée à Marseille avec la probabilité 14 . Pour tout n de N, on note rn (resp. ln , mn ) la probabilité que la voiture se trouve à Rennes (respectivement Lyon, rn Marseille) le soir du n-ième jour. On suppose qu’au départ, la voiture est à Rennes. 1. Pour tout entier n de N , on définit la matrice colonne à trois lignes Un par : Un = ln . (a) introduire des événements adaptés à la notation des probabilités cherchées mn (b) déterminer r0 , m0 et l0 , puis expliciter U0 . (c) Montrer que pour tout n ∈ N, rn+1 = 12 ln + 21 mn et déterminer deux relation analogues sur ln+1 et mn+1 . (d) En déduire que, pour tout n de N, on a la relation Un+1 = AUn , où A est une matrice à déterminer. 4 1 0 (e) Montrer alors que pour tout n ∈ N, Un = An U0 . 1 . 2. On se propose dans cette question de calculer An , et on introduit la matrice S = 3 0 (a) Montrer que S est inversible et expliciter S −1 . 5 −1 −1 (b) On pose ∆ = S −1 AS. Expliciter, sous forme de tableau, la matrice ∆, puis la matrice ∆n , pour n ≥ 1. (c) Montrer alors que, pour tout n de N∗ , on a An = S∆n S −1 . En déduire l’expression de An . 3. (a) Exprimer, pour tout n de N× , rn , ln , mn en fonction de n. (b) Déterminer les limites de ces probabilités quand n tend vers +∞. 4. Le soir d’un jour donné, si on désire, où qu’elle se trouve, rapatrier la voiture à Rennes, le coût de cette opération est de 100 euros si la voiture est à Lyon, de 150 euros si la voiture est à Marseille, et évidemment nul si la voiture est à Rennes.On note Xn la variable aléatoire égale au coût de cette opération le soir du n-ième jour. Donner la loi de Xn puis calculer l’espérance mathématique de Xn . Devoir à la maison 7 à rendre le vendredi 20 janvier 2012 Une société de location de voitures possède trois agences, une à Rennes, une à Lyon, une à Marseille. Lorsqu’un client loue une voiture, un jour donné, dans une des trois villes, il la restitue le soir même dans une des trois agences. Une étude statistique a permis de montrer que, pour une voiture donnée : – si elle est louée à Rennes un certain jour, alors elle est laissée le soir à Lyon avec la probabilité 14 , tandis qu’elle est laissée à Marseille avec la probabilité 34 ; – si elle est louée à Lyon, alors elle est laissée à Rennes avec la probabilité 21 , laissée à Marseille avec la probabilité 1 1 4 , et ramenée à Lyon avec la probabilité 4 ; – si elle est louée à Marseille, elle est laissée à Rennes avec la probabilité 12 , laissée à Lyon avec la probabilité 14 , et ramenée à Marseille avec la probabilité 14 . Pour tout n de N, on note rn (resp. ln , mn ) la probabilité que la voiture se trouve à Rennes (respectivement Lyon, rn Marseille) le soir du n-ième jour. On suppose qu’au départ, la voiture est à Rennes. 1. Pour tout entier n de N , on définit la matrice colonne à trois lignes Un par : Un = ln . (a) introduire des événements adaptés à la notation des probabilités cherchées mn (b) déterminer r0 , m0 et l0 , puis expliciter U0 . (c) Montrer que pour tout n ∈ N, rn+1 = 12 ln + 21 mn et déterminer deux relation analogues sur ln+1 et mn+1 . (d) En déduire que, pour tout n de N, on a la relation Un+1 = AUn , où A est une matrice à déterminer. 4 1 0 (e) Montrer alors que pour tout n ∈ N, Un = An U0 . 1 . 2. On se propose dans cette question de calculer An , et on introduit la matrice S = 3 0 (a) Montrer que S est inversible et expliciter S −1 . 5 −1 −1 (b) On pose ∆ = S −1 AS. Expliciter, sous forme de tableau, la matrice ∆, puis la matrice ∆n , pour n ≥ 1. (c) Montrer alors que, pour tout n de N∗ , on a An = S∆n S −1 . En déduire l’expression de An . 3. (a) Exprimer, pour tout n de N× , rn , ln , mn en fonction de n. (b) Déterminer les limites de ces probabilités quand n tend vers +∞. 4. Le soir d’un jour donné, si on désire, où qu’elle se trouve, rapatrier la voiture à Rennes, le coût de cette opération est de 100 euros si la voiture est à Lyon, de 150 euros si la voiture est à Marseille, et évidemment nul si la voiture est à Rennes.On note Xn la variable aléatoire égale au coût de cette opération le soir du n-ième jour. Donner la loi de Xn puis calculer l’espérance mathématique de Xn .
