Forcing et sémantique de Kripke

FORCiNG ET SEMANTIQUEDE KRIPKE-JOYAL
exemples coment
se propose de montrer par divers
Ce travail
de Kripke-Joya1 perrnet de rendre compte de certains
dans le cadre de la théorie
: celles
cations
des rnodèles.
qui utilisent
apparaît
introduits
grossière et donc 1es pré-
une analyse plus 1oca1e et se basent en
conséquence sur des topologies non triviales.
tique de Kripke-Joyal
1a sérnantique
I1 comporte der-x types d'appli-
la topologie
et ce11es qui nécessitent
faiscearx
forcings
Dans tous ces cas, la séman-
conrne une généralisation
convenable de 1a
notion de forcing.
1. Sénantique de Kripke-Joya1.
Dans ce paragraphe, nous introduisons
1a suite
certaines
et fixons
seront citées
les concepts qui seront utilisés
notations.
dans
Quelques importantes propriétés
sans démonstration.
1.1. Définitions
et rappels.
c possédant des limites à gauche finies mu"z@orie
i.e. pour chaque objet A de C, on S'est
recouvrement,
de
notion
nie d'une
de morphismes de C de but A te11e que
donné gne classe Cov(A) de fanilles
ur,
a.
h
(idA) € Cov(A) (A se recouvre lui-même)
Si (Ai - A)iet
Alors
c . si
(Ai
i
€ Cov(A) et f : B - A
B - B)i€I € Cov(B)
(Ai - n)'iel € cov[A) et (Aij
Alors (Aij 'A)iet
Ai);e-1, € cov(Ai)
€ Cov[A).
j€J.,
Si F : CoP -IEns est^un foncteur,
par le lenrne de Yoneda, on identifi.e
les
ensembles FA et Hom(A,F) où A est f inrage de A par le prolongenent de Yoneda.
d'écrire o € Fa, on écrira souvent cl : A - F. Dans cette for-
Agssi au lieu
nulation
si f : B + A est un morphi-smede la catégorie
C, ct o f corres'pond
à lf élément Ff (cr) de FB.
I,In faiseeau
tions
sur un site
de séparation
1. o, B € F(A) et (Ai
Si (oi)iei
suivantes
1es condi-
:
€ cov(A)
lA)iei
= I o f,
Si pour tout i € I, o o fi
Alors cr = B.
2. Soit (Ai
F : CQ - IEns vérifiant
C est un foncteur
et de recollement
f.
1 A)ier € Cov(A).
est une famille
cri o rTi = cri
"
nj
Virj
que cli € F(Ai) et
telle
€ I
^
n.
,r
A. x[.
tA
J
t\
"i,/
,/
\ti
\A,
\,/
'j\^/fi
J
alors
on trouve r.m cl (nécessairement unique par 1) te1 que
0i = o
"
f, Pour tout i € I.
Or:rnote Sh(çrJ) la catégorie des faisceaux sur C, J étant 1a tooologie associée à la notion de recouvrement utilisée.
on écrira
habituelle
effet,
pltts simplement Préf(!).
Si J est 1a topologie
grossière,
Si X est un espace topologique,
de recouvrement faj.t de l'espace des ouverts de X r-rnsite.
les conditions
(a-c) signifient
1a notion
En
respectivennent :
- tout ouvert se recouvre lui-même,
- 1a restriction
à un sous-ouvert d'rm recouvrement est encore un recouvrenent,
- si chaque U, est recouvert par des U.. et si 1a famille
vre U, alors la famille
La notion de faisceau sur 1e site
1a définition
des Ui recou-
des U.. recouvre également U.
des"ouverts de X corresnond exactement à
de faisceau sur X classique t3l.
4
Remarque.
qui précèdent, 1a catégorie sous-jacente C du site
Dans les définitions
considéré a êtê supposée petite.
de petitesse,
cette restriction
Cependant, i1 est parfois
utile
corilrne
cela est signalé dans [4],
de lever
au chapitre
IV, remarque 1.3.
En effet,
l-ise wre topologie
canonique sur un topos non nécessairement petit.
suite,
dans le théorème de Giraud par exemple, on uti-
nous rencontrerons une situation
Dans 1a
semblable (voir 2.2.2.).
1.2. Langage et interprétation.
Soi-t L un langage du premier ordre (éventuellement nulti-sorte).
prétation
Une inter-
M de L dans Sh(!.,J) est défini-e par la donnée
pour chaque sorte s, d'un faisceau Ms;
pour chaque symbole opérationnel
Mf : Ms, x
* k.,
pour chaque synbole relationnel
R de tlpe s,
IN
Ces données pemettent
tout couple (t,x)
drinterpréter
un terme et une formule dont les variables
suite de varj.ables sans répétition
x.
de la définition
de
" Nlsn.
de M pour 1es termes et formules se fait
d"
k
...tn))
= M(f(tr ...tn),X)
...
nf est autre que 1e produit
tr))
ou (ç,x) où t,e sont
sont contenues dans la
Si x est une suite de n variables
par induction sur leur longueur :
= t'I(xr,x) = pi, i9me projection
\(xr)
k(R(tr
libres
sn, on écrira llx pour l.{s, x ...
sortes respectives s,
et lk(f(tr
rr,. d'Lrn sous-objet MR
xltls
deMs x...
La prolongation
tr, - r, d'un morphisme
f : t,
- Ms dans Sh(Ç,J);
vers lr{s'
= l{f o <t\k(tr), ...,
fibré
\(trr)r.
des morphismes
MR
<k(tr),
Irl,r
La stmcture
..., k(tn)>
I
Ir,ls, " . . .
x lt{srn.
de topos de 1a catégorie Sh(C,J) permet d'interpréter
signes logiques Â, V, -, l,
V, 3.
Nous renvoyons le lecteur
tous les
désireux de
plus de détails aux ouvrages [12] et t6l.
1.3. Forcing de Kripke-Joya1.
Le forcing
qui lie
de Kripke-Joya1, également appelé sémantique, est une relation
1es objets de 1a catégorie C, consi-dérés conrneconditions,
aux formu-
5
les du langage I donné par I'intermédiaire
d'une interprétation
M convenable-
ment choisie.
Supposons ute suite
x = <Xr ...
*rrt de variables
On définit X ll_ tp [a, ... u.r] où ar:
X-l.tKi
fixée une fois pour toute.
(i=l,...,n)
par induction sur
X
1a longueur de tp.
- les !grug_1g:-e!9grt9g9:
x lF a tâl
ssi
â e ç(o)(x).
- 1a Çgliggsliet
x lF a ^ {, [â] ssi
x lF a tâl et x lF U tâ1.
- t. pi:igtçlie!
i1 y a un recouvrement
Cxij
x lF e v û [â] ssi
pour tout i € I,
r.
x) iaI tel que
on ait
Xi ts a [â o frl ouxi lF U tâ. fi].
- 1'Iryliselie!
ç - ù [â] ssi
X lF
- ra
Nggeligl
-lç
X lF
tâl
pour tout f : y - X
Y lF a [â . fJ implique y ll-U ta . f].
pour tout f : Y -+ X,
s i v l l - ç [â . f] al ors Q € C ov[y).
ssi
- 1aQse!grfrçetisl_9ri:!9!!te.11e
x h-
lx 9(x)
[â] ssi
iI
y a un recouvrernent (xij
(bi r Xi - Nfi)
famille
xi IF
e [â " fi,
ie t
r.
x)ier
et une
vérifiant
bj].
- 1aQgetlifisetigl_gtiygr:e1_1ç
XIF
: y-+Xettoutb:
y
on a bien
lF ç [â " f, b].
Vxç(x) [â] ssi
pourtoutf
Corrne le montrent les définitions
donne à la notion de vérité
conrne suit
ci-dessus,
la sémantique de Kripke-Joya1
Lrt caractère local.
Ce dernier peut srénoncer
:
Proposition.
Soit r-urrecouvrement txi. j
f.
X)ier
y-tuF
c1eX dans C.
m
X I F a tel ssi pour tout i de I, X. lF a [ â . f ] .
l -
X
X
De p1us, 1e forcing possède une propriété
de fonctorialité,
à savoir :
Proposition.
sixlF
e râl
X
;\lors pour tout
vll= a
f : Y - X morphisme de C, on a encore
[â
x
f].
"
d'une formule est établie
Ainsi., si la véracité
e1le le restera pour toute condition
conditions
cadre, on appe1-1-e
= {",...
\to(x)
qui 1ie la validité
effet,
les objets de C.
an lai€Mx.(X)
^-'1X
sous wle certaine
(1 <i<n)
condi-tion,
Rappelons que dans ce
"plus forte".
ûn démontre facilement que
etxl|-
drune formule pour f interprétation
on dira que M est r.rr modèLede gr ce qui s'écrit
tousXetâ:X-lrfi,ona
ela,
arrl}, ce
M au forcing.
M F
x
En
ç, ssi pour
Itr a tâl
ssiiW-o=Ir'k.
des démonstrations des faits
Les détails
qui précèdent peuvent être trouvés
dans t121.
2. Exenples utilj-sant
la topologie grossière.
Dans ce paragraphe, nous a11ons montrer comnent, pâT la sémantique de KripkeJoyal,
quatre situations
de forcing
classique
peuvent être regroupées dans
un cadre catégorique en tne seule notion de forcing.
1e caractère 1oca1 qui fait
est absent.
adoptée.
viatx
1'originalité
Dans ces situations,
de la sémantique de Kripke-Joyal
C'est la raison pour laquelle la topologie grossière y a êté
Pour cette topologie,
1es seuls recouvïements aônis sont les tri-
et tous 1es préfaisceaux sont des faisceaux.
Nous verrons plus loin
conrnent certains
des topologies non triviales.
forcings
classiques
donnent lieu
à
/
2.1. Forcing de Kripke.
Le forcing
de Kripke [8) a étê introduit
sémantique intui-tiorrriste.
par S. Kripke dans son étude de 1a
Nous ferons aussi référence à t1Ol.
2.1.1. Rappel.
On se donne un quadn-rp1e (H,R, ô,[H est un ensemble (celui
R une relation
) où
des états de connaissance),
d'ordre partielle
sur H,
ô est une application
de H dans 1es ensembles qui associe à chaque état
p € H lrensemble ô(p) des objets constmits jusqu'à 1'état p,
de manière à ce que pRq implique ô (p) c ô (q)
et F- est rtrre relation
entre états
de connaissance et formules.
Ces dorurées sont de plus astreintes à vérifier
= â d'éléments de
n-uple (ar
ô (n)
"r,)
oun
- p
lF a tâl
- p
lF e tal
pour tous p,q € H et tout
impliqueâcô(p).
- p F ç ^ U Iâl
- p lF e v û tâl
-p ll-ç-û [â]
-l,p
- p
tâ]
[- p
lx
ç [â]
ll- p
q [â]
vx
lF
et pRq impliquent q lF e tâl
(fonctoriali-té).
ssi
ssi
ssi
p lF e tâl et p lF V Iâ1.
p lF ç IâJ ou p lF U tâ1.
p o u rt o u t q t e l q u e p R q ,q l F ç t â l i m p l i q u e
q lF u Iâ1.
ssi
pour tout q te1 que pRq on n'a pas q [- ç tâ].
i1 existe un b € ô (p) te1 que p
lf to tâ,bJ.
ssi
ssi
pour tout q te1 que pRq et tout b e ô (q)
q lF e [e,b].
Dans ce contexte, une formule A tâl est valide
si pour tout p te1 oue
â c ô (p) on a bien p lF q tâ1.
2.1 .2. Notts a11ons voir que le forcing ainsi défini
est un cas par-ticulier
de sémantique de Kripke-Joyal.
Conrnesite
de base H, prenons 1'ensemble H préordonné par la relation R
grossière.
Ainsi il v a trre flèche de p dans q ssi
et mrrni de 1a topologie
pRq.
L'application
ô peut alors se comprendre corme un préfaisceau ô : HoP-lEns
à ô (q) chaque fois que pRq c'est-à-dire
ssi i1 y a une
flèche de q vers p. On interprète alors le langage unisorte de 1a logique
car ô (p) est inclus
intuitionniste
dans le topos des préfaisceaux ensemblistes sur H.
L'wrique sorte s'interprète
par ô .
Si R est un symbole relationnel
K ( R )( p ) = { u , . . .
fonctoriel
on définit
n-aire,
€ ô (p) et n lf- nta,
"i
car pRq impfique que ô (p) est inclus
arrli et K(R) est bien
an |
a,rJ entraîne q lf Rla, . . . .ur,l.
p h- Rlar
Ceci termine la description de f interprétati.on
à ô (q) et que
K.
Remarquonsque dans le point 2.1. 1e forcing des formules atomiques n'apas
C'est pourquoi i1 a fa11u définir K à I'aide de ce forcing.
été défini.
de KriDke [8] où pour
11 y a tne version de "modèles avec quantification"
n-aire
tout symbole relationnel
n
n
O (R,p) de ô"(p;.
R et tout p de I'1, on se donne une partie
---
Dans ce cas, on définira
KR(p) = 0 (R,p) sans utiliser
le
forcing.
11 est bien clair
que sur le site H 1a sémantique de Kripke-Joyal
coÎncide
exactement avec le forci,ng de Kripke.
2.2. Forcing infi-ni de Robinson.
Nous faisons référence pour les définitions
au texte de Robinson [13].
2.2.1. Rappel.
-1,
3
Considérons un langage L du premier ordre ayant comrneconnecteurs ^, v,
et I une classe de structures
pour L.
M ll- ç [a,... urr] où lr{est une structure pour L et ar, ...,
des éléments de l'{ par induction sur 1a longueur des formules ç :
ûn définit
ç atornique
e=V^X
-lrf
e =
M lf ,o ta, . . . ur,l
Mll-ûnxla,
lvl lF
-l
Ù lar
ssi
"r,l
urr]
ssi
M lf to ta,
Mlfr!ta,
ur,l'
M lf x ta,
u.,1.
M lf
:x rf.r[x) [u, ...
ur,]
ssi
il
ur,l.
y a un b € It4tel que
M lf rf ta,
2.2.2. Regardons (I,ç)
arrJet
vN ) M on n'a pas
ssi
N ll- rl ta,
ç = 3x rl(x)
ân
arr,bl.
corrrnetm préordre I.
11 y a wr foncteur évident de EoP vers lEns, c'est
1e foncteur ensemble
sous-jacent noté l-1.
ConrneI est rme classe de structures
de L dans chaque it{ de I.
pour L, i1 y a une interprétation
i",
lulunissons I de la topologie grossière;
ment petit
(voir remarque en 1.1).
On définit
alors I'interprétationR
nous obtenons un site
non nécessaire-
de L dans 1a catégorie des préfaisceaux
sur I.
L'tmique sorte s'interprète par l-l .
n_n
lRf est 1e morphisme de l-ln vers l-l défini au niveau M par i,,,(f).
n
_
n'
R.(R) est Ie sous-foncteur de l-ln aefini au niveau l{ par iM(R). A ce stade,
i1 apparaît que la sémantique de Kripke-Joyal associée à f interprétation
R ainsi
définie"ntest
autre que le forcing infini de Robinson.
hn
En effet, M lf Rla, ...
(ar ...
ssi
€ R . ( i i )( M )
"r,l
"r,)
n
(ar .:. rr,) € iM(R)
ssi
n
ssi
l,l F Rla .. . .rrl
nl
ssi
M fi- Rla,
rrrl.
Pour les autres connecteurs, tout se passe normalement, 1a topologie grossière ayant effacé le caractère local.
2.3. Forcing de Keisler.
Le forcing
certaines
(forcing
de Keisler
notions
fini)
[7] se présente lui-nême conrne une généralisation
de forcing
parmi lesquelles
se trouvent
celles
de
de Robinson
et de Barwise.
2.3.1. Rappels.
Soit
L un langage du premier ordre avec éga1ité et ayant V, l, 3 pour connec(Les autres connecteurs sont des abréviations des trois connecteurs
de base).
teurs.
On construta tr,.
oi:t dit
en permettant les disjonctions
eue Lo est un fragment d" [r,,
infinies
si 1es quatre points
dénombrables.
suivants
sont
vérifiés
(1) ç€ L impliqueo€ Lo
(2) p(x) € tO inplique -le(x) et 3x to(x) dans tO
(3) ç(x) € LO et t un terrne, alors tO(t) € tO
(a) ç € LO inplique que toute sous-formule de e est dans LO.
LO est dénombrable par hlpothèse.
Soit C un ensemble dénombrable de constantes et K le langage L enrichi
constantes de C.
des
10
Soit KO le fragment de K obtenu en remplaçant dans r.rne formule tp de lA *
ensemble fini de variables par des constantes de C.
On dira que (P, (, f) est uTrcpropriété de foncing pour L si
(i)
(ii)
(iii)
(P, S
est un ordre partiel
avec plus petit
élérnent 0,
associant à chaque p € P un ensemble de forrmrles
f est une fonction
atomiques closes de K,
si p ( q, alors f(p) . f(q),
(iv) si- s,t sont des tennes de K sans variables libres, alors
- s=t e f(p) entraîne t=s € f(q) pour un q > p
- t=s et ç(s) e f (p) entraîne ,r(t) € f (q) pour un q > p
- i1 y a un c € C et un q>p
te1 que c=t e f(q).
0n définit
alors p lF ç pour une sentence de KO :
- si tp est atomieue, p lF ç ssi O € f(p)
- p
IFTç ssi Vq ) p on n'a pasq lF ç
- p
'o
lF v0 ssi iL y aunç € 0 tel que p l|_
- p lF 3x s ssi i\ y aun c € C tel que p lF ç(c).
au langage L finitaire.
2.3.2. On se restreint
De La, obtenu en compl6tant
L par les constantes de C, dans le topos cles préfaisceaux sur 1e préordre
(P, SoP, on définit une interprétationll(o
de 1a manière suivante :
- 1'r.rnique sorte a pour interprétation
le préfaisceau constant CKo eui à
chaque p € P fait correspondre l'ensemble des terrnesr.,clos de la;
- 1'opérationKo(f) se définit parKo(fl(tr
tr,) = f(tr ... tn);
n
- quant au préfaisceau Ko(R) sous-objet de (CKo)", i1 est défini nar
n
tn)};
.., I p lF R(t,
x o ( R )( n ) = { t ,
- enfin chaque constante c € C donne 1i-eu à trne transformation naturelle
Koc : 1 - CKo qui. vaut au niveau p ( X(oc)o(*) = c.
A nouveau, il
K
apparaît clairement que le forci-ng de Kripke-Joya1 associé à
coîncide avec le forcing
de Keisler.
Etuclions 1e cas des formules atomi-
IJ
ques.
On sai-t que
n [- n1t,
tn) tÔl ssi 1e produit
(CKo)n(p) et de f injection
fibré
du morphisrne
de Ko(n) (p) dans (cKo)n (p)
est 1e plus grand sous-objet de 1 (p), ou encore ssi <t,
de itr
...t.
i n lf n1t,
t r r ) ) e t J o n cs s i p l f R [ t '
t > est élément
n
tnj
'
11
2.3.3. Dans l'analyse
sance du forcing
qui précède, nous n'avons pas utilisé toute la puisde Keisler.
llne interprétation
plus fine K, oeut être
donnée comne suit.
Ûn définit
tout d'abord une relation
c-d
ssi
Les conditions
Vq€P
3p€p
d'équivalence sur les constantes de C :
p)-etel
queplf
c=d.
(iv)
de propriété de forcing font bien de - 1rr1€équivalence.
e, on sait que vq € p, 3p'| € p tel que p'
lF . = d.; pour ce
p', il y a un p" ) pr te1 que p"
=
e. Donc, au niveau p", les formules
lF d
c= detd=esont
f o r c é e s . E n c o n s é q u e n c e p a(ri v 2 ) , i r y a u n
p2p"2p')q tel que p lF c = e. La relation- €st donc transitive.
si c - d et d-
Ceci entraîne
p'll-.=d
son caractère
(iv3)
réflexif;
et donc3p")p'tel
Vq € p Jp, 2 q tel que
partransiquep"F- d=c
(iv1).
=. (iv z). La classed'équivalence
en effet
tivité, ilya'np>qtel
quep lF.
de c sera notée E. on définit alors f interprétation K, :
- 1'r-tnique sorte s'interprète
conrne1e préfaisceau constant y .
- 1a transformation naturelle K. (b
," définit à l,aide de (iv 3).
r
,4.
Kr(t)o[c,
.rr) = c ou c est la constante dont I'existence est assurée
par (iv 3) : lqlz p tel que c - f(cr ... .r,). La classe E est
indépendante
des représentants .rrr... c' choisis grâce à (iv 2).
- le sotrs-faisceau
(C./ \rt est
pct caractérisé
au x,
K (Ît)
fR) de (c/
cq?rrr6r;
au niveau p par
)n
n
K r ( R )( p ) = { E , . . .
iI existe c, € E,
c , . ,€ 8 . , t e t s q u e
% |
p lF R(c,
crr) ). Le caractère fonctoriel ae'x, (Ri aeri.r* du caractère
fonctoriel du forcing.
Remarquonsque contrairement à cf
_,K,qR; n'est
pas un préfaisceau constant.
- à toute constante, on associe
la transformation naturelle évidente
K, (.)p(*) = E.
2.3.4. Un sous-ensemble G c p est génér,ique s'il satisfait aux
trois
tions suivantes : 1. si p € G alors tout q =<p est dans G;
2. si p,q € G alors i1 y aunr€Gavecrlpetrlq;
3. pour 1-oute sentence (9 de Kg, il
condi-
rr a irn p € G te1 que
PFaoup[-Tç.
Le modè1e M (au sens habituel)
est engendré p a r L ' e n s e m b L e g é n é r , i q u e G s i
srinterprète surjectivement dans M et pour t o u t e s e n t e n c e
o de Ko, sril y
un p € G tet que p lF ç, alors M F ç.
Considérons le foncteur L restreignant
L,
d
les préfaisceaux sur (P, ()oP au site
12
(grossier) (c, SoP.
de 1a définition
La prernière condition
d'ensemble généri-que fait
de L r"rr
que L respecte CI.
foncteut, Logique. Voyonsl par exemple, le fait
'lEns}
p € G
=
avec
(P,
Lcrn(n) {sous-objets de p :
SoP
= {sous-objets a" i , (G, SoP -lEns} = na(P).
des ensenbles
par l'égalité
La seconde êga].rtê se justifie
{q I qe p et f(q) I O} et iq I q € G et ;(q) I 0} dans 1e cas oùp € G.
Le foncteur L permet donc de restreindre f interprétation K, décri-te plus
haut.
On pose K, = L Kr.
On a 1e résultat
suivant
:
Tout ensembLegénértque G engendre un modèLe.
Cela signi-fie qu'il y a un modèle canonique l'l tel
par un quelconque é1érnent de G soit
vraie
que toute sentence forcée
M avec Kt
On pose tU(ft1(p) =
dans Ir4. Ûn identifie
des symboles relationnels.
sauf pour f interprétation
= {d, ... En I it existe c, € E,
.n € E, et q € G tels que
a I
n(cr ...
crr)].
f"ï(t)
M ts ,Q
ssi
ssi
donc constant. 11 est bien clair alors que
"rt
(par définition)
p lF tpt$l
Vp € G
(carMestconstant)
p
l
F
ç
t
Ô
l
æ€G
ssi
L'interprétationM
construite
3p€G
plFa.
est donc bien un modèle au sens annoncé.
2. 4. Forcing ensernbliste.
Dans ce point,
fut
introduit
nous considérerons brièvement le forcing ensembliste te1 qu'i1
Pour plus de détai1s,
par Cohen et repris par Shoenfield.
voir par exemple [9J.
2.4.1. RapPels.
Soit M un rnodèle de ZF.
ûn se donne gn ensemble C de M ordonné avec plus grand élément et on définit
<a,q> € b,
trois formules du langage de ZF : on écrit a €o b pour 1q.2 p
=
c) et
p lF a € b pour 3c(c €O b n P lF u
vdt(d€o u-lr(q(r
lF d€b)) n (d€qb-3r(q
p lF a=bpourvq<p
(r lF d € a))1.
On constate que ces définitj-ons sont fonctorielles
q ( p et a €n b entraînent a €q b:
q < p et p lF a € b entraînent q ll- u € b et
en P, c'est-à-dire
q (p
= b entraînent
p lF
"
et
q [- a = b'
coflllneun préordre muni c1ela topologie grossièconrne r"ne sérnantique
r€, le forcing ensernbliste peut également se décrire
S du
interprétation
une
définir
I1 suffit pour cela de
de Kripke-Joyal.
lieu
donne
Lrunique sorte
langage de zF dans les préfaisceaux sur (c, s.
res= ont pour interprétation
au préfaisceau constant M' Les s1'mboles€ et
2.4.2.
Si on regarde (c, s
pective
au niveau P
sie)(p) = {ab I p lF a € b}
3. Le forcing
et
s(=)(p) = {ab I p lF a = b}'
faj-ble de Robinson'
une notion
t13l déjà cité plus haut, A. Robinson introduit
notion
que
cette
Nous a11ons voir
atténuée de forcing : le forcing faible.
est liée à la topologie de la double négation'
Dans son article
3.1. RapPels.
Considérons un langage L et une classe I de stmctures
pour L conrne au
point 2.2.1,
Soient Q une sentence de L et N{ une structure de I'
ssi i1 n'y a pas
ûn dit que I{ fo,ce faibLement Q, ce qui se note M Ë t,
sachant que 1e syrnbole lid,extension M' de M dans I te11e que M' ll-lç,
estceluiduforcinginfinideRobinsondéfinien2.Z.1.
I{' de
d'avantage, on voit que frl fl1 O ssi pour toute extension
En explicitant
11,y a une extension M" de l,'t' dans I telle
M dans I;
autrement dit
on voit
ssi I{ lt--1-1ç.
naturellement
donc apparaître
que M' fl- to,
ia double négation
dans 1a définition
or i1 est bien cormu (voir t6l) que 1a double négation
que 1a sémantique de
est une. topologie dans uu.rtopos. Nous allons voir
faible'
Kripke-Joyal associée à cette topologie permet de retrouver 1e forcing
la
topoloà
relatifs
faits
quelques
Mais avant ce1a, rappellons rapidement
du forcing
faible.
gie de 1a double négation.
si G est un préfaisceau sous-objet
faisceatx sur une catégorie C, la
-11G,
se définit point
tion, notée
-l -lG(A) =
tx € FA ] pour tout g :
de F dans la catégorie Préf(Q
des pré-
fermeture de G dans F pour la double négaconrnesuit :
existe r.rnh : C - B tel
par point
B - A il
que
(x) € GC).
" tr)
- Sh(c'-l-l)
ûn sait qu'il y a un foncteur "faisceai.r assocj.é" a : Préf(c)
F(g
14
exact à gauche.
voir que aG n'est
Si G est un sous-objet d'wr faisceau F, i1 est facile
-l -lG.
autre que
3.2. soit r 1a catégorie de préordre associée à r (cfr.
allons définir
une interprétationR*
f interprétation
Nous
en prolongeant
lR de L dans Préf(I)
si ç est trne sentence, on sait
final
z.z.?.).
de I dans Fais(l,ff),
de
par le foncteur "faisceau associé".
que JRç est un sous-objet du préfaisceau
qui est en fait
ci-dessurs, on sait
ivlais alors
fournit
trn faisceau.
Or conne 1R*9 vaut a lRp, par 1a remarque
que IR*tpnrest autre que -l-llRç.
la sémantique de Kripke-Joyal
1a suite
I{ ll- el$l
d'équivalence que voici
associée à f interprétation
ssi
n*(,p) (M) est non vide,
ssi
r lR(ç) (M) est non vide,
ssi pour toute extension M' de M dans I,
M' de M' dans I telle
lR*
:
i1 y a une extension
que IR(tp)g{") soit
ssi pour toute extension Mt de M dans I,
M" de Mr dans I te11e que Ir{" [- e
il
non vide,
y a une extension
ssiMËr.
Le résultat
annoncé est donc établi.
4. Topos des ensembles valués par r:ne algèbre de Hevting conplète H.
Pour pouvoir étudier conrnent 1e forcing booléo-valué (voir [5], par exemple)
peut rentrer
dans le cadre d'une sémantique de Kripke-Joya1 associée à une
topologie non triviale,
il nous semble nécessaire de faire quelques rappels
concernant les catégories
de faisceaux
sur une algèbre de Heyting complète.
'l
4. . Théoràne de Higgs.
Fixons wre fois
pour toute une a1gèbre de Heyting complète H. Cette algèbre
de Heyting donne lieu à un préordre H sur 1equel on peut définir
1a topologie canoniquement associée à 1a structure complète en disant qurune fanille
(hi)iet couvre h€H ssi v h. - h. Les axiomes de topologies étant triviI
i€I
alement vérifiés,
on obtient Ie topos Sh( H).
Le théorèrne de Higgs fournit rme autre description de cette catégorie de
faisceaux.
0n appelle ensembLeH-uaLué 1es couples (x,ô ) où x est un ensemble et
ô : x x x + H une application ensembliste sor.-unisearx conditions
15
- ô (xx') = ô (x' ,x)
(s1rnétrie)
- ô(xx') n ô(x',x") (ô(x,x")
(transitivité).
H
tJn morphismede (X,ô) uers (Y,e) est décrit par rne application
f:
XxY-Hvérifiant
- f (xl) n ô (xx'; ( f (x',y)
H
- f (x,v) ^ e (W') ( f (x,y')
H
- f(xy) n f(xy') (e[y-v')
H
- ô(rx) = u f(x.v)
y€Y
Intuitivement,
té.
lrapplication
(substitutivité
en x)
(substitutivité
en y)
ensembliste
(fonctionalité)
(caractère partout
défini) .
ô peut se comprendre corrne 1e domaine d'égali-
est 1e plus grand é1émentde H où x et x' sont égaux.
Ainsi ô(x,x')
ô (xx) est 1e plus grand élérnent de H sur lequel x soit
En particulier
Semblablement, f(x,y)
défini.
se comprend alors cornnele plus grand é1érnent de H
sur 1eque1 y est f image de x par f.
Si g est un morphisne de (Y,e) vers (Z,B), 1a composéeg o f de (X,ô) vers
(Z,B) est définie par g o f (x,z) = V tf ({r) n g(y,z)).
La composition
y€Y
H
ainsi définie admet ô commeneutre, ce qui fait de 1a collection des ensembles H-valués r.me catégorie notée JEnsrr.
Le théorèrne suivant est un important résultat,
dû à D. Higgs.
&Éelème.
Toc nqt6o^.ies IEns' et Sh( II) sont équivalentes.
Voici trre courte esquisse de la démonstration.
\
l ^ 1
I
(Pour plus de détai1s,
se
r . 1 \
r e t e r e r a L / . Jo u L r r j J .
Au faisceau
.
F, on associe
v
Ll
= V { h I 'pni (. x- ) = p i ( x ' ) i ,
n
de H où les restrictions
1e couple
(X,ô) où X =
c'est-à-dire
LL F(h)
h€H
et ô(xx')
=
que ô (xx'l est le plus grand élérnent
de x et x' coîncident.
Dans l'autre
sens, on fait
correspondre au H-ensemble (X,ô) le faisceau associé au préfaiscear.r séparé
par P(h) = {Ïh € X I ô (xx) ) }r} sachant que Ïh = iy € X | ô (x,y) )
) h] est 1'ensemble des éléments qui sont égar-x à x au moins sur h.
P défini
Ceci décrit
1'éouivalence annoncée.
11 s'ensuit 1e
tr
16
Corollaire.
htH
Pour plus de clarté,
est un topos.
rendons explicite
la structure
de topos dont JBnsnest
munie.
a. les produits
fibrés.
soient f : (x,6) - (Y,e) et g : (z,g) Leur produit
fibré
a((xz),(x'z'))
[y,e) der.rxmorphismesde lEnsn.
est 1e couple (X x Z,c) où
= ô(xx')
V
I B(zz,) |
H
Hy€y
(f(Ir)
n g(zy)) n V
H
Hy€y
(f(x,y) n
H
^ g(z',I)).
H
Les projections de (x x Z,o) sur (X,ô) et (z,g) sont claires.
b. la notion de sous-objet.
Le morphisme f est nonomorphiquessi f(xy) n f(x',y) < ô(xx').
De plus, on
a la proposition suivante, dont 1a démonstrHtion sera esquissée :
Proposition.
17 y a bijection entre 1es sous-objets de (Y,e) et les aoplications
ensemblistes s : Y - H satisfaisant
les deux inégalités
s(y) I e(11r') ( s(y')
et
s(y) < e(yy) dans H.
H
Esquisse de la dénpnstration.
* soit f : (x,ô) - (y,e) un nonomorphisme
de lEnsr. ûn lui associe
s, : y - H en posant sr(f)
=
Y- f(4r).
x€X
* Soit s : Y - H une te1le application.
f,
: (X,e) -
(Y,e) où e(yy') = e(y."')
1a bijection
rttl
correspondre
définie par
â
f , ( r , r ' ) = e( y , y ' ).
Ceci fournit
Oir 1ui. fait
prérme.
E
c. 1'objet Q du topos lEnsn.
I1 n'est pas difficile
d a n sI E n s , e s t , t ,
;
Si f : (X,ô) -
de vérifier
que 1'objet classifiant 1es soris-obiets
n' = h - n'
n' * h.
;>
û
), sachant que n
(Y,e) est un mono, i1 est classifié
ef ' (Y,e)- (H, *),
os(y,h) =
X
t,xr,
= sç(V) *
^HH
î
n
û
par
e(y,y)
h n e(y,y).
17
4.2. Les obiets cornplets de ]Ensn.
Noris a11ons considérer une certaine
sous-catégorie
encore équivalente
: cel1e des objets complets.
4.?..1. Définitions
et propriétés.
de JEnsnqui lui
sera
IJn singLeton de (X,ô) est une application s : X - H répondant aux conditions
- s(x)
(injectivité)
t(*') <ô(xx')
t
- s(x)
U(t*') (s(x')
(substitutivité).
û
I1 est évident que tout élément a de X donne lieu
(X,ô); il suffit de poser â1x; = ô (x,a).
La réciproque n'est
pas en général satisfaite.
H-valué (X,ô) est cornplet stIIy
a bijection
à un singleton â de
On dira qu'wl ensemble
entre ses éléments et ses
singletons.
Prooosition.
Tout ensernble H-ualué
sentble H-ualué
(X,ô)
peut
être
cornpLété et est
isomorphe
cotmne en-
à son cornpLété.
la construction de 1a complétion (X,ô ) de (X,ô ) .
ô(s,t) = V (s(x) I
on définit i = {s I s : X - H singleton de (x,ô)}
"t
H
x€X
t(x)) ; i1 est clair que fÎ,Âl est un H-ensemble. Voyons sa structure
Voici
= V â(x) a. s(x) =
H
x€X
( s(a) et s(a) = s(a) n ô(aa) (
= s(a) car ô(xa)
= V ô(x,a)
A s(x)
^ s(x)
x€XHHH
complète.
Pour ce1a, calculons d'abord ôG,t)
< V s(x) n ô(x,a).
H
x€X
Si o : Î - H est un singleton sur (X,ô), il s'agit naintenant de lui associer
ce
un élément so € Î t"f que Ço = o. On pose tout simplement so(x) = ofi;,
qui fournit
le résultat
attendu.
nous a1lons exhiber un isomorphisme i de lEnsn entre (X,ô ) et û,ôl .
En tant qu'applicati-on ensenblj.ste i a pour domaine X x X et pour codomaine
H. Onpose i(x,s) = s(x).
Enfin,
Cette défj.nition
satisfait
1es conditions
imposées aux morphismes :
18
- i(x,s) n ô(nc') < i(x',s)
H
- i(x,s)
I t(r,t)
H
= s ( x -) H
I
=
(s(x) A s(x') A t(x))
V
H
H
x'€X
l-l
x,€X
- i(x,s)
1i(x,t)
H
(s(x') | t(x'))
V
H
x'€X
= s(x)
A t ( x ) < V s ("xH) I t ( x ) = ô ( s , t )
H
x€X
- ô(x,x) = V i(x,s)
s€X
en effet
V i ( x , s ) = V s ( x )= V S ( s , i )= ô G , T )= T ( x )= ô ( x , x ) .
s€Î
De plt-rs, i vérifie
s€X
s€X
1es propriétés
de mono et épimorphisme, à savoir
i(x,s) 4 i(x',s) = s(x) A s(x') (ô(x,x')
HH
r/
V i(x,s)=
x€X
et
f /
V s(x)=ô(s,s).
x€X
I
Soient (X,ô) et (Y,e) deux objets de JEnsr.
(resp. (6,e)-totaLe)
ensenbliste f : X - Y est (ô, e)-stticte
si e(f (x), f (x)) < ô (x,x) (resp. e(f (x), f (x)) = ô (x,x)).
Cette application
(
e s t ( ô , e ) - e æ t e n s i o n n e L Lsei ô ( x , x ' )
e(f(x), f(x')).
N o u sn o t e r o n s
Une application
Homr^ c\ (X,Y) 1'ensemble des applications
c-l
Lv
(ô,e)-totales
et extensionnelles
r
de X vers Y qui vérifie
la
Proposition.
((X,ô) , [y,e)) = Ho*1ô,e; (X,y) .
Sl [y,e) est complet, Hom
Ensn
Démonstration.
1. Soit f : (X,O) - (Y,e) m morphisme de lEnsr.
indexée par X de singletons
A chaque singleton
conplet.
f*
On lui
associe une famille
= f(x,y).
: Y - H en posant simplement f"(I)
f* correspond un unique é1ément f* de Y puisque Y est
I1 yadonct-rre application f : X-Yqui
facilernent que f est bien un é1ément d" *to*(U,.)
2. Si g est une application
(ô,e)-totale
associef*àx.
Onvoit
(X,Y).
et extensionnelle,
on 1ui associe
Q : X x Y - H; (x,y) ^ e(f(x), g).
Les correspondances ainsi
établies
sont bien inverses lfune de ltautre.
E
19
4.2.2. Nouvelle descriptj-on des faisceaux sur H.
Nous a11ons associer à chaque faisceau r.rnH-ensemble complet.
Soit F wr
faisceau.
Notons IF I'ensemble l1 F(h) et définissons E : tr -+ II en posant
=
E(x)
h ssi x € F(h); l'applicâ€lorl e décrit le domaine d'existence de
que lron note
chaque éIément de tr. On construit aussi une restriction
1 : IF x H -+IF et qui associe à un cotrple (x,h) 1'élément *ih = Ff(x) orl f
est 1'unique morphismedu préordre H décrit par f inéga1ité h n E(x) < E(x).
Les propriétés de préfaiscealD( de F impliquent que
(1)
*181*; = *
(x16)15'= *1
(h ^ h')
H
Q)
elxrn) = Ex n h
(3).
Soient a, b deux éléments de IF.
On dit que b est une eætension de a si u = blE(a).
lJne partie
fait
X de IF est cornpatible si tout couple d'éléments x, x' de X satis-
1'éga1ité *1E*,= *'1E*.
L'union d'une partie
petite
X de tr (si el1e existe) est, par définition,
extension UX de tous les élérnents de X.
Vx€X
si
Si F est r:n faisceau,
Vx € X
UX vérifie
1a plus
donc
UX.,U*=x
b1E* = *
alors
btf
lrX;
( tr, E, 1) possède la propriété
= UX.
que tout sous-ensemble
compatible de IF a une r.:nion unique.
Ceci nous permet d'avancer une nouvelle définition
surHestuntriple
( X , E , 1 )o ù E :
X-Het
de faisceau : un faisceau
1 : XxH*Hsont
desapplica-
(1),
(2) et (3) et te1 eue toute Daïtie cornpatible cle X
tions vérifiant
admet une wrion unioue.
Cette nouvelle définition
est bien équivalente à 1'ancierme.
nous allons associer à tout faisceau (fonctoriel)wr
tout ensernble complet un tripte
satisfaisant
Pour le voir,
H-ensemble complet et à
1a nouvelle définiti"on.
L'équivalence se dédui-t alors du théorèrne de Higgs.
1 . ( t r , E , 1 ) d o n n e l i e u a u l l - e n s e m b l ec o m p l e t ( t r , ô ) o ù ô ( x , x ' ) =
=V{h I
= *'1h}.
"-,r,
( F,ô)
est complet car si s est wr singleton,
la partie
20
X = {*1r(*)
n'est
| * € tri est compatible et admet donc wre union tnique qui
autre que l'élénent wrique associé à s.
2. Si (X,ô) est un ensemble complet, on définit
E(x) = ô(x,x) et x.,h cormne
l'unique élément associé au singleton s : X -+ H; x' ^ ô(x,x')
n. Le
û
(X,8,1) ainsi défini est bien un faisceau.
triple
5. Forcing Heytingo-valué.
Dans ce paragraphe, nous a11ons étudier
ce que devient la sénantique de
associée à Sh( H) dans le topos lEnsn. Or dans ce dernier topos,
y a trne notion de forcing valué par H qui apparaît naturellenent.
Kripke-Joyal
il
Notts verrons que ces deux définitions
coincident.
L'application
de ce résulaux modèles booléo-va1ués du paragraphe 6 permettra alors de prouver
que la sémantique de Kripke-Joyal rend également compte des langages de
tat
forcing tels qu'introduits
par Jech, par exemple (voir
t5l).
5.1. Traduction danslEns, de la sémantique de Kripke-Joval sur Sh(H).
Soient L r.rn langage multisorte
du 1er ordre et M une interprétation
de L
dans Sh(H). Nous allons opérer 1a traduction dans lEnsn de 1a sémantique
de Kripke-Joyal
associée à cette situation.
Grâce au théorème de Hi-ggs, f interprétation
Continuons de lrappeler
M se transporte
dans 1Ensr.
M.
Dans 1e point
4 .2.2. , or a rennrqué que le H-ensemble associé à r.n faisceau
est automatiquement complet.
L'interprétation
M est donc cornpLète, c'est-à-dire
catégorie pleine de lEnsn constituée
à valeur dans la sous-
des objets complets.
Considérons 1'é-
noncé p h- tptal.
Nous supposerons - et ceci sans perte de généra1ité
encore un sens s'i1
à la situation
- que cet énoncé a
y a irn q ) p tel que â.I"k-(q).
décrite
antérieurenent
En effet,
en restreignant
on se ramène
â à p.
En conséquence, si I'on note 0I1,ô) l,interprétation
de 1a suite x dans
EnsH' l'énoncé p lF çtâl aura un sens à 1a condition que la suite â d'éléments de lvlx-soit définie au moins au-dessus de p, c'est-à-dire
p (ô (â e) = E;(â) (domaine d'existence de ta suite â).
Dire que
p lF n(x) [aJ signifie que la restriction
de a à p est un élément de MR.
si on regarde MR et l'lx conrnedes H-ensembles, soit
le monomorphismed' inclusion.
i : (MRre) -
[rtr,ô)
,
21
de a à p soit
que la restriction
Le fait
un élément de MR se traduit
alors par I'existence dans MR d'un é1ément b 1ui aussi défini au moins
sur p (e(b,b) = EOO) > n) et dont f image par i coincide avec a au-dessus
d " p , a u t r e m e n dt i t V c x € I ' T x 6 ( a , o ) ^ p = i ( b , o ) ^ p c a r ô ( a , - ) n p
HHH
est 1e singleton associé à a restreint à p et i(b,-) | p est le singleton
H
associé à f image de b restreinte à p.
La traduction
de la conjonction est claire.
L'énoncé p lF a v Utal signifie
qu'il
Voyons la disjonction.
y a un recouvrement
(n1)1., de n (i.e. .!_ n1 = n) tel quen' lptâl ou pi lF Vtat.
La traduction
i€I
se fait tout aussj- facilement pour 1es autres connecteurs;
ceci nous amène à la définition
de
5.2. Sémantique de Kripke-Joya1 pourlEnsn.
complète de L dans JEnsn. Nous allons définir
Soit M une inteqnrétation
K]
p ll _ p[â] avec â e lfi et
\(a)
x
- formule atomique :
2 p par induction
sur la longueur de ç.
K]
p
il y a un b € M, tel que
l|;. e[â] ssi
x
- E , ^ ( b )> p
a'
- vcr € ]r{x ô-(â,cr) ^ p = i(b,o) n p.
..HH
- conjonction
:
KJ
KJ
KI
p lÊ e ^ Vtâl ssi p ll_- çtâl et p ll_ qrtâ1.
X
- disjonction
:
K]
p ll= a v {jtâl ssi il
xKlKl
y a un recouvrement (n1)1a, de p pour lequel
ç[â] ou pi ||;- !.,tal.
Pi lÊ
XX
- implication
:
KI
p lÊQ-!;[â]
K]
o l[-otâl
ssivq(p
X
- quantificateur
K]
p lÊ 3x ç(x)[â]
x
existentiel
KJ
i m p l i q u eq l l - U t â ] .
:
ssi i1 y a un recouvrement (p,).,-,
.1-1el
de p
, et pour chaque
22
i de I *
bi € lvtotel que E*(b1) ) p. et
K]
Pi F
o[â'bti'
X,X
- quantificateur universel :
KI
p l- Vx A(x) [â] ssi pour tout q < p et tour b € l,tx te1 que
KI
E x G) ) q o n a q l ts a [a ,b ].
XrX
5.3. Forcing Heytingo-valué.
considérons toujours
une interprétation
premier ordre dans 1Ensr.
complète M d'wr langage L du
Nor.rsa11ons associer
une notion de forci.ng et dans un stade ultérieur,
cide avec 1a sémantique de Kripke-Joyal
A tout couple (o,Ï;
un sous-objet
}tf
où Ï contient
suivante
1es variables
interprétation
constater qurelle
coîn-
en S.2.
de g, M associe
libres
de Ivlx et donc une unique application
Iufi - H qui classifie
classifiant
définie
à cette
notée llqll, :
ce sous-objet dans lEnsn, puisque (H,
les sous-objets.
est l'objet
î)
aisément la suite-d'égalités
On vérifie
:
ilenpllr(a)
= t l e l l n ( a )n l l r p l l n ( a )
llç v tilH(a) = llelln(a) v llpllr(a)
||e - rplr(a) = lltollH(u) nrpiln(a)
il
-l
ll lelln(a) =
tt,pttr(a) = llolln(a)
Og
;
llrxtp(x)ll (a) = V
ilçllrr(a,b)
bo,{x
llvx e(x)ll (a) = A
(E_(b) + llçlln(a,b)) t1a).
^
;
H
b€l\,k
On définit
alors
plËçtâl
où âe rfi et \(â)>n
le forcing
Heytingo-valué
comrnesuit
:
ssi p ( llellHG).
5.4. Théorème de correspondance.
La sémantique de Kripke-Joyal
La démonstration
se fait
et 1e forcing Heytingo-valué coîncident.
par induction
sur 1a longueur de e.
z3
Nous en indiquerons trois
étapes essentielles.
1. Le cas des formules atomiques.
Pour fixer
KI
1es idées, montrons que
R(x)[a] ssi n fi- n(x1131
.
P l-
K]
1.a. Si p ll- R(x)tal, on sait qu'i1 y a wr b € Mx tel que Ex(b) > p
e t V c r€ h , 6 ( o , a ) ^ p = i [ b , o ) n p . M a i s a l o r s
HH
p = p,r ô (a,a) = p ^ i(b,a) < i(b,a) (Y i(g,.) = tlR(x)||r(a)
HHB
si on se souvient que le morphisme classifiant
un nono i est donné
par
i(8,-)
)-/H
(cfr. s.1.c.)
1.b. Si p lF R(x)[a], on sait que p ( llR(x)lln(a). 11 s'agit de trouver
un b € M dont f image par i soit a au moins au-dessus de p. Puisque
i est un mono, I'application
tm singleton.
t : MR- H qui associe i(B,a) à B est
La complétude de MR assure alors
tmique élément représentant ce singleton
t,
ltexistence
c'est
d'un
1e point b cherché.
En effet
(*) Eo&) = âit,t;
=V i(B,a) = l|R(x)iln(a) 2 p par hypothèse.
p
De plus, conneMRet tr4xsont complets, i1s sont isomorphesà leur
conpléti-on et le diagranrne
, 0À ,;)
[MR ,e )
ïl
ti
lî
tl
Qtlx,ô)
i
t û
-
, trtî*,ôl conrrute, sachant que
- ûc est 1'application
1â,ô1-totale et extensionnelle (3.2.1.)
s sur (MR,e) associe 1e singleton î(s) sur (rvlx,ô)
défini par î(s) (o) = V (i(B,cr) ^ s(g)).
BH
La condition i(b,cl) ^ p = ô(a,cl) ^ p pourtout cr revient donc
HH
î(t)[cx) ^ p = ô(a,a) n p pui-sque b est déterminée entièrement par le
HH
singleton t.
qui au singleton
or
V
Y
(i (B,a)
H
,,(B,cr)
H
i [B,a)) < ô (a,o) et donc
i(B,a))
p(ô(a,o)
H
np.
H
24
De plus ô (a,o) ^ p < ô (a,cr) ,. V i(B,a)
H
HB
(par (*) (hypothèse)
=V (o(a,a) n i(B,a)) <V
BHBH
Lrégalité
attendue est donc vérifiée
tt(B,a) n i(B,a)).
et les notions coincident
au
niveau atomique.
2. Le cas des form:les
disjonctives.
K]
2.a. Strpposonsp
e v Utâ].
[-on sait donc qu'il y a un recouvrernent (n1)1a1 de p tel
que
KI
KI
pi [- p[â] ou pi [- ûtâ].
En conséquence, par l'hlpothèse d' j-nduction, pour ce recouvrernent
HH
on a pi [- qlât ou pi [- q,fât, crest-à-dire pi ( llollr@) ou
p1< lrPtlrG).
I1 est donc clair
que pour tout i de I
= llro v rptln(â). En passant au supremum, on
<
llplln(â)
llUllHG)
Pi
.1
tr
H
obtient
la thèse à savoir
p=Vpi([evifilHG).
i^H
2.b. Supposonsp ll- e v Utel.
0n sait donc que p ( llgllH(â)
(p ^ ilallrr6),
llvllH(â). It est bien clair alors que
,y
H
p A llpllH(e)) constitue un recouvrement de p pour 1eque1,
HHII
par induction,
la condition
cherchée est satisfaite.
3. Le cas des forrmrles tmiverselles.
KI
3.a. Sr.pposonsp ll- vx tp(x)[â].
On sait, pâr définition,
eu€ pour tout q ( p et tout b € I\,k
K]
tel que Exft) ) q on a q lF q[â,b] ou encore, par induction
q ( [eltH(â,b).
Pour un b € l\tx quelconque, prenons q = O
On a donc O
U*(b) < ExG) .
û
u * ( b ) < l l t o l l n ( â , b )d ' o ù
â
llelln(â,b).
p(Ex(b):
n
25
Cette inégalité
à E*G),
x',-
il
étant valable pour tout b € Mx et p étant inférieur
que
est clair
(Ex(b) + llellH(â,b)l n E-t'â) = llvx e(x)llH(e),
p
- <, A
^
n
x''
bêl,Ix
H
H
ce qu'i1 fallait
démontrer.
H
3.b. Sr-rpposons
p lF v* e(x)tal.
ûn sait, conrneon vient
(
-'
p
(E*(b)
llpllr_,(â,b))et donc pour tout b
A
b€l\h
que
de le voir,
rr
H
p A E*(b) < llqll,_,(a,b)ce qui entraîne par induction
À.H''
H
Ki
p n E-(b) h- çtâ,b1.
H
Mais alors pour tout q ( p et tout b € l.4x te1 que q < Exft),
clair que q * p
Ex(b); donc par fonctorialité
du forcing
I
Kln
q lF ç[â,b].
Ceci achève 1a démonstration.
i1 est
E
6. Les modèles booléo-valués de ZF et la sémantique de Kripke-Joyal.
6.'l . Rappel (voir par exemple Jech I5l).
Considérons un ensemble M, modèle transitif
de ZF.
on peut considérer
M conrneun r.rrivers au sens de Bourbaki [4, annexe à l'exposé I].
Nous
noterons lEns(M) 1a catégorie des ensembles engendrée par lrunivers
Cette catégorie
applications
a pour objet
M.
les ensembles de M et pour rnorphismes les
ensemblistes décrites
à f intérleur
de M.
(P, $ pour M. L'ensemble p
engendre une algèbre de Boole B de M dont les éléments sont les ouverts réguliers de P. cette argèbre de Boole est complète et p s'y plonge par
considérons de plus une notion de forcing
trte application
on définit
de M notée e et définie
par e(n) = {q I q < p}.
alors M(B), classe des ensemblesbooléens, de lananière
vante :
= {x
'M(B) = ô.
M(B)
€ M I x^ est
t"
v J L une
ulv
rvrru
fonction
Llvll
V f
"g+
b
1
et à valeurs dans B),
M et finalement
M(B) = u lt^[B).
o€lul
. . . M^(B)-
u 4ul
v
B€cr
sui-
de domaine
uvllr4lllg
inclus
IIf\-ILfJ
à
C f MtB)
uç
si cr est un ordinal
0
limite
de
11 es-t-clair que M(B) n'est plus r-m ensemble de M - bien qu'à chaque niveau
rp\
o, MJ"' le soit.
Cependant, l'axiome des univers nous permet de considérer
/^
un Lmivers U qui contienne tous 1es éléments de M et U(B) .on*e é1éments.
p(x) - 1e rang de x - conrne
étant te plus petit ordinal o de M te1 que lt . tj:].
si x est un é1ément de rv(B), on définit
Par induction
sur 1e rang, on peut alors définir I'interprétation
booléenne des formules atomiques a € b et a = b où a et b sont des éléments
a eu ( B ) .
V
[a€bn=
b(z)n[a=zn,
z€dom b
[ac51
=
B
-r[z=b])
(
a
(
z
)
^
z€dom a
B
,
[a=bn=[acbnn[bcan.
On vérifie
alors que
[a = an = 18
[a=b]=[b=al
[ a = b n n [ [ = c n< [ a = c n
B
[a € bnn [a = a'l
â
n O= b ' n < [ a ' € b ' n .
Lrinterprétation booléenne[-n s'étend naturellement à 1a collection de
toutes les formules. On procède comrne
suit :
ar r ) n= [p (a ,
fi ton i p ( a,
u .,)n [û (a i
a r r)n ,
â
ar r ) n= [ ç (a r
fl tpv û (ar
a n )n v [û (a ,
a rr)n ,
[ ç - V ( a r . . . u . , ) n= [ ç ( a r
.1
arr)n = [e(ar
[-1,9(ar
[=x ç[x ) ( a,
a r r ) n,
lrqr(ar
"n)n i
arr)n ,
ar r ) n= Y .r* ., [tp (a , a r
rr
\"/
a rr)n ,
ad\{
fivx o(x) (a,
arr)n =
[ e ( a , a r . . . a r r ) n.
;$tn)
Ceci étant fait,
on associe à lrinterprétation
p h- a(ar
6.2. On sait par ailleurs
Ens (M)u est équivalente
ur,)
ssi
[-n le forcing défini
e(p) < l[ç(ar ...
par
arr)n.
(voir [1]) que
à lEnsftG) ) .
Malheureusement, M(B) ne peut être considéré conrneun "ensemb1e,,B-va1ué
pour cela, prenons
delEns(M)g. I1 faut donc élargir cette catégorie.
Ens(u)u.
)'i
Nous a11ons montrer que f interprétati-on
interprétation
booléennc [-l
donne 1i.eu l) une
catégorique dans llns(u)gr ce qui permet de décrire 1e
forcing a-.socié à ll-11 comneun forcing he,vti-ngo-r.a1lrésur B alr sens clc
( 5 . - 1 " ) e t d o n c c o n r n eu n e s é m a n t i q u ed e K r i p k e - , J o v a 1p e r ( , q . 4 . 1 .
'Iout
doabord. dôcrivons f interpréttion du langage de ZF associi:e à
t ll dans IEns(Ul
^.
'
tJ
L'r'rrique sorte
aura poul
/F.,
r { ' ' ' 1 u i - - m ê m ea l . e l - l a v a l u a t i ' r n
réalisation
rléfini"e par ô qa.b) = [3 = bl " Les prcl.riôtôs
einoncôes pius
bien de g.1(B),0) un ensemble B-valué iians 1'unrtrers u.
conrne le sous-objet
s'interprète
L'égalité
1a proposition
4.1.b.
par le sous-objet
De même, f
que E(a,b)
= [a € bl .
Le forcing
heytingo
H
h lF x = y[a,bJ
valué
sur B associô
haut {'lnt
" 11(ts) associé t')ô par
du symbole € est donnée
Ae lt(B)
interprétation
t , ' u ( B ) , J , 1 ( t s -)
par l'application
décrit
é
à cette
Il tclle
interprétation
:
est
h ( [a = bl
ssi
t !
h < [a € bl]
ssi
h lF * € yla,bJ
II
it lF ç ^ ùlar ...
"n]
et alnsr
H
lF r*
de suite
pour
ssi
a n )i l n [ , J(, a ,
l l t o f aI
1es connecteut's
rr,]
ç(x) lar
h (
v, -,
B,
l,
an)n,
h
ssi
a n )n
a€N{'"'
H
arrl ssi
II- VX ç i x l [ a ,
h
lr€lt{ \"
-+ [ç[a"
'
a,
. a,_,)
11)
B
a ) l l c a r f l a = a l=l 1 , , .
n-t)
r rÉ - \ l\ ' - '
II
Fn
n r r f - çi eI Ur u' l^i rov rr
f
' P | | * ' * . * n ,
ll-- tOfa
a
Le cas des modèles booléo-valués
quatement
logie
décrite
non tri-vi-alc
des recouvrcments
)
ssi cipi lF,ptr,
cle -|
founrit
donc ure situat.ion
par une sémantiqr-rc cle Kriphe-.Ioval
* . ; r r r1 ' a l g è b r e
par union
ie llooie il choisie,
quel.conque.
a l.
nadô-
assc-rciée à unc topoa savoir'la
topologic
I
l8
Bi b l i o g r a p h i e .
t1 I
Boileau A. , l,es mirltiples splendeurs clu forcing
(mémoire, Univei-sité
d e l ' t o n t r ô a t1 1 g 7 3 .
i-l
-'.
ill
t.;l
[t ]
i-l
F o u r n r a n ] 1 . P . c t S c o t t D . S . , S h e a v e sa n d l o g i c , L e c t u r e s N o t e s i n
) l a t h e r n a t i c s7 5 3 , S p r i n g e r - V e r l a q l g 7 7 .
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