Dimension et unité Analyser un résultat en Sciences Physiques

Analyser un résultat en
Dimension et unité
Sciences Physiques
Lycée Jules Viette - Grand Chenois - Physique-Chimie - TSI 1 - 2016-2017
Table des matières
1 Les
1.1
1.2
1.3
1.4
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.
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.
1
1
1
2
2
2 Les unités
2.1 Les unités du Système International . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Les unités dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
3 Présentation d’un résultat
3.1 Les chiffres significatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Calcul numérique et calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ordres de grandeur et discussion d’un résultat physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
5
1
dimensions en physique-chimie
Les sept dimensions du système international.
Équation aux dimensions . . . . . . . . . . . .
Homogénéité d’une expression . . . . . . . . .
L’analyse dimensionnelle. . . . . . . . . . . . .
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Les dimensions en physique-chimie
1.1
Les sept dimensions du système international
La dimension d’une grandeur renseigne sur sa nature physique. Par exemple une distance, un périmètre, un
intervalle spatial ont tous pour dimension une longueur. C’est une caractéristique beaucoup plus générale que son
unité.
Une grandeur purement numérique, comme le rapport de deux longueurs, est dite sans dimension ou adimensionnée. Ainsi, un angle, défini comme le rapport entre la longueur d’un arc de cercle et le rayon du même cercle, est
sans dimension.
On peut montrer que la dimension de n’importe quelle grandeur physique peut toujours s’exprimer en fonction
de sept dimensions. Le choix n’est pas unique, mais sept dimensions de base ont été historiquement retenues. Il s’agit
des dimensions du système international (SI ou MKSA). Il est constitué des dimensions suivantes (avec leur notation
standard) :
.
.
.
.
la longueur L ;
le temps T ;
la masse M ;
la température θ ;
1.2
. la quantité de matière N ;
. l’intensité électrique I ;
. l’intensité lumineuse J.
Équation aux dimensions
On appelle équation aux dimensions l’écriture de la dimension d’une grandeur physique en fonction des sept
dimensions de base définies précédemment. La dimension de la grandeur X est notée [X] et, si cette grandeur est
une longueur, on notera alors [X] = L. Pour une constante sans dimension C, on notera [C] = 1.
Exemple 1 : Une vitesse est une longueur divisée par un temps [v] = LT −1 .
Afin d’obtenir l’équation aux dimensions d’une grandeur, on peut utiliser sa définition, ou une relation simple
avec des grandeurs connues.
Exemple 2 : L’énergie cinétique s’exprime par E = mv 2 /2, 1/2 étant un nombre sans dimension, on
a [E] = [m][v]2 = M L2 T −2 .
Maxime Champion - www.mchampion.fr
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Maxime Champion
Application 1 : Sachant que le poids vaut p = mg avec m la masse du corps et g = 9.81 m · s−2 l’accélération
de pesanteur, donner la dimension du poids.
1.3
Homogénéité d’une expression
En pratique, afin de vérifier l’homogénéité d’une expression, on utilise les règles suivantes :
. les deux membres d’une égalité A = B ont la même dimension, c’est-à-dire [A] = [B] ;
. les termes d’une somme ou d’une différence ont la même dimension (on n’ajoute pas des carottes et des patates) ;
. l’argument x des fonctions mathématique (ex , cos(x), ln(x)...) est toujours sans dimension, ces fonctions étant
elles-mêmes sans dimension ;
R
[x]
dx
=
et vdt = [v] [t].
. la dimension des dérivées et intégrales se détermine comme suit :
dt
[t]
Une formule non homogène est nécessairement fausse
L’analyse de l’homogénéité constitue un puissant outil pour détecter une erreur. Attention, une formule homogène
n’est par contre pas forcément juste... À la fin de tout calcul littéral (sans utiliser des valeurs numériques), il est donc
impératif de vérifier l’homogénéité de l’expression obtenue.
L L L Attention ! Il n’est pas nécessaire de chercher à tout mettre en fonction des dimensions de base
(M , L, T ...) car cela conduit souvent à des écritures trop lourdes, sources d’erreur. On pourra utiliser
les dimensions des forces, énergie, résistance, etc. pour alléger le calcul.
Application 2 : On note R la résistance électrique équivalente à deux résistances R1 et R2 en série. La
1
1
relation R =
+
peut-elle être juste ?
R1
R2
1.4
L’analyse dimensionnelle
Si une grandeur X est susceptible de dépendre d’un certain nombre de grandeurs A, B, C, D caractéristiques
du problème et dimensionellement indépendantes, cette grandeur X peut très souvent se mettre sous la forme :
X = k Aα B β C γ Dδ où k est une constante numérique, et où les exposants α, β, γ, δ peuvent être déterminés par
analyse dimensionnelle.
Pour résoudre un tel exercice, on posera les différentes étapes explicitées dans l’exemple ci-dessous.
Exemple 3 : La vitesse d’un satellite en orbite géostationnaire autour de la Terre est susceptible de
dépendre de la masse de la Terre MT , du rayon de l’orbite R, et de la constante de gravitation G. En
donner une expression plausible.
B Préciser la question - On cherche à déterminer la vitesse v d’unité m/s et de dimension LT −1 .
B Identifier les données - On cherche les dimensions de toutes les données de l’énoncé. On a
[MT ] = M , [R] = L et [G] = M −1 L3 T −2 .
B Hypothèse - On suppose que la vitesse v s’écrit sous la forme
v = k G α MTβ Rγ ,
avec k un nombre sans dimension et α, β et γ des nombres. Tous les paramètres donnés dans l’énoncé
sont introduits dans cette formule.
B Écriture de l’équation aux dimensions - On écrit l’équation aux dimensions correspondant
à l’équation physique précédente. Il vient
α
LT −1 = M −1 L3 T −2 M β Lγ .
B Résolution du système - On égalise les exposant de chaque dimension ce qui donne




 0=β−α
 α = 1/2
1 = 3α + γ
β = 1/2
=⇒




γ = −1/2
−1 = −2α
r
GMT
, avec k un nombre sans dimenR
r
GMT
Ce résultat est en accord avec le calcul complet qui donne v =
.
R
B Conclusion - L’analyse dimensionnelle conduit à v = k
sions.
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Application 3 : On considère un pendule de masse m, de longueur ` soumis à la gravitation à travers
l’accélération de pesanteur g = 9.81 m · s−2 . À l’aide de l’analyse dimensionnelle, prévoir le lien entre la période
τ du pendule (en seconde) et ces différentes grandeurs.
2
Les unités
Pour exprimer une grandeur physique munie d’une dimension, on choisit des unités. Une même dimension peut
s’exprimer avec une multitude d’unité. Par exemple, une longueur peut ainsi s’exprimer en mètre, centimètre, Angström, mile, pied royal...
L L L Attention ! Une grandeur sans dimension peut tout à fait avoir une unité. C’est le cas d’un angle
dont l’unité peut être le degré ou le radian.
Un résultat numérique doit toujours être accompagné d’une unité. Une réponse donnée sans unité
sera considérée comme fausse, même si la valeur numérique est correcte.
Exemple 4 : Dire que la célérité de la lumière vaut 3 × 108 est faux. Elle vaut 3 × 108 m · s−1 .
2.1
Les unités du Système International
Historiquement, les sept dimensions du Système International ont été dotées chacunes d’une unité dont la définition précise a été construite le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) 1 . Ces définitions précises sont
indispensables pour que l’ensemble de la communauté scientifique et technique puisse communiquer de façon certaine.
I La seconde : C’est l’unité d’un temps et se note s.
Définition. La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre
les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133.
I Le mètre : C’est l’unité d’une longueur et se note m.
Définition. Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299
792 458 de seconde.
Cette définition est basée sur la définition de la seconde et de la vitesse de la lumière qui est fixée égale
à c = 299 792 458 m · s−1 .
I Le kilogramme : C’est l’unité d’une masse et se note kg.
L L L Attention ! Le gramme n’est pas l’unité fondamentale de la masse !
Définition. Le kilogramme est l’unité de masse ; il est égal à la masse du prototype international du kilogramme.
Ce prototype international du kilogramme est conservé au BIPM, dans l’air et sous trois cloches de
verre. C’est un cylindre constitué d’un alliage de 90% en masse de platine et de 10% en masse d’iridium.
Il est conservé dans un coffre-fort spécial dans la cave la plus basse du pavillon de Breteuil à Sèvres
dans la banlieue de Paris. Il n’est sorti que très rarement (tous les 50 ans environ) pour des besoins de
traçabilité. De nombreuses copies sont réalisées.
Le kilogramme est la seule unité qui n’est pas définie à partir d’une mesure basée sur des constantes
fondamentales de la nature. Depuis sa 24ème session de 2011, la Conférence Générale des Poids et
Mesure, au nom du BIPM, a exprimé le souhait de modifier cette définition. Lors de la session suivante
en novembre 2014, il a été acté qu’aucune définition expérimentale ayant la précision souhaitée n’existait
à ce moment. Le souhait de modification de cette définition a été reconduit pour la session suivante qui se
tiendra dans les prochaines années. Pour plus de détails, http: // www. bipm. org/ fr/ CGPM/ db/ 25/ 1/ .
I L’ampère : C’est l’unité d’une intensité électrique et se note A.
Définition. L’ampère est l’intensité d’un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une distance de 1 m l’un de l’autre dans le
vide, produirait entre ces conducteurs une force égale à 2 × 10−7 N par mètre de longueur.
Cette définition est basée sur la définition de la perméabilité magnétique du vide qui est fixée égale
µ0 = 4π × 10−7 H · m−1 .
1. On pourra consulter l’historique très intéressant de ces définitions et de cette organisation sur http://www.bipm.org/fr/
measurement-units/history-si/.
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Maxime Champion
I Le Kelvin : C’est l’unité d’une température et se note K.
On se ramène aux degrés Celsius par la relation T (K) = T (◦C) + 273.15.
L L L Attention ! On dit « Kelvin » et non « degré Kelvin ».
Définition. Le kelvin, unité de température thermodynamique, est la fraction 1/273.16 de la température thermodynamique du point triple de l’eau.
I La mole : C’est l’unité de la quantité de matière et se note mol.
Définition. La mole est la quantité de matière d’un système contenant autant d’entités élémentaires qu’il y a
d’atomes dans 0.012 kilogramme de carbone 12.
Lorsqu’on emploie la mole, les entités élémentaires doivent être spécifiées et peuvent être des atomes, des molécules,
des ions, des électrons, d’autres particules ou des groupements spécifiés de telles particules.
Le nombre d’entités élémentaires dans une mole est le nombre d’Avogadro NA ≈ 6.02 × 1023 mol−1 .
I Le candela : C’est l’unité de l’intensité lumineuse et se note cd.
Définition. La candela est l’intensité lumineuse, dans une direction donnée, d’une source qui émet un rayonnement
monochromatique de fréquence 540 × 1012 Hz et dont l’intensité énergétique dans cette direction est 1/683W par
stéradian.
2.2
Les unités dérivées
De nombreuses autres unités existent, toutes définies à partir des unités du SI. Généralement, elles sont définies
pour des grandeurs très usuelles ou pour celles qui n’ont pas une équation aux dimensions simples.
Application 4 : En procédant d’abord par analyse dimensionnelle à l’aide des formules fournies, exprimer
dans les unités du système international les unités :
B d’une force (le newton N), sachant que le poids de l’application 1 est une force ;
B d’une énergie (le Joule J), sachant que l’énergie cinétique de l’exemple 1 convient ;
B d’une puissance (le watt W), sachant qu’une puissance est une énergie divisée par une durée ;
B d’une résistance électrique (l’ohm W), sachant que la puissance dissipée dans une résistance vaut RI 2
avec I le courant électrique la traversant ;
B d’une charge électrique (le coulomb C), sachant que le courant électrique est une charge divisée par une
durée ;
B d’une pression (le pascal Pa), sachant qu’une pression fois une surface est une force.
3
Présentation d’un résultat
Dans un exercice ou en devoir, il faut toujours suivre les règles qui suivent pour présenter un résultat final d’un
calcul.
3.1
Les chiffres significatifs
Le nombre de chiffre significatifs est le nombre total de chiffres - incluant les zéros - comptés à partir du premier
chiffre non nul.
Le nombre de chiffres significatifs à donner pour un résultat numérique est directement relié à la
précision avec laquelle le résultat est connu.
Un résultat donné à 3 chiffres significatifs a une précision meilleure que 1%. Le nombre de chiffres significatifs est
donc déterminé à partir de la donnée ou la mesure la moins précise.
Exemple 5 : On donne la célérité du son c. Quelle est le temps mis par le son pour parcourir la
distance d ?
Dans tous les cas, le temps t est donné par d/c, mais son écriture varie selon l’écriture des données
du problème :
Donnée c
Donnée d
Chiffres significatifs
Valeur numérique
A.N. : réponse t
3 × 102 m · s−1
1m
1
0.003 333 333. . .
3 ms
4/5
3.4 × 102 m · s−1
1.5 m
2
0.004 411 765
4.4 ms
349 m · s−1
1.50 m
3
0.004 297 994
4.30 ms
349 m · s−1
1.5 m
3 et 2
0.004 297 994
4.3 ms
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3.2
Maxime Champion
Calcul numérique et calcul littéral
Tous les calculs sont effectués d’abord de manière littérale.
C’est-à-dire que les seuls nombres intervenant dans les expressions doivent être sans unités. La formule finale d’un
calcul est mise en évidence (encadrée, soulignée,...) avant l’application numérique (A.N.). Celle-ci arrive en dernier où
on remplace simplement les différentes grandeurs par leurs valeurs numériques. Ainsi, on peut vérifier en permanence
les formules utilisées et on peut réutiliser le calcul littéral avec d’autres données numériques.
Exemple 6 : On lance une balle de 1 kg verticalement avec une vitesse initiale de 2 m · s−1 . Quelle est
la hauteur maximale atteinte par la balle ?
La conservation de l’énergie s’écrit E = mv 2 /2 + mgz = mv02 /2. Lorsque la balle atteint l’altitude
maximale h, la vitesse v s’annule. Donc on obtient h = v02 /(2g) .
A.N. : h ≈ 0.2 m.
3.3
Ordres de grandeur et discussion d’un résultat physique
Il faut absolument avoir un regard critique par rapport à une formule théorique ou à résultat
numérique obtenu.
Lorsqu’on obtient un résultat littéral ou numérique, il est utile de vérifier :
. l’homogénéité de l’expression littérale ;
. la cohérence de l’expression littérale : signe, symétrie, étude de cas limites simples, variation intuitive de la quantité
calculée en fonction des paramètres ;
. la cohérence du résultat numérique : nombre de chiffres significatifs, ordre de grandeur et choisir une unité adaptée
à la présentation du résultat numérique (donner la taille du rayon terrestre en centimètres est absurde).
Prendre quelques instants pour faire cette vérification permet de se protéger de nombreuses erreurs.
On ne laissera jamais un résultat manifestement faux sans ajouter au moins un commentaire
Typiquement trouver une masse de la Terre de 3 tonnes doit amener à se poser des questions... voir reconsidérer le
calcul qui a été fait.
Une remarque de bon sens après un résultat manifestement faux, ou étonnamment juste, peut parfois
amener quelques points supplémentaires !
5/5