CH I PGCD. Algorithme d’ Euclide. 1. Diviseurs d’un nombre entier non nul A) Division euclidienne dividende D avec r < d — D= d×q+ r d n’est pas un diviseur de D — D= d× q + 0 avec diviseur d et r ≠ 0 r = 0 donc D = d × q q et d sont des diviseurs de D ( Ex : 12 = 2 x 6 ) 89 7 19 12 5 quotient entier q reste r reste < diviseur B) Diviseurs d’un entier naturel Les diviseurs de 35 sont 1 ; 5 35 ; 7 Les diviseurs de 72 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 72 ; 36 ; 24 ; 18 ; 6 ; 8 ; 12 ; 9 C) Remarques 1. Vocabulaire 5 est un diviseur de 35 5 divise 35 35 est un multiple de 5 35 est divisible par 5 2. Propriété Tout nombre entier autre que 0 et 1 a au moins deux diviseurs : 1 et lui même. Exemple : Diviseurs de 11 : 1 et 11 3. Critères de divisibilité Il faut savoir reconnaître rapidement un nombre divisible par 2 ; par 3 ; par 5 ; par 9 ; par 10 ou 100 ou 1 000. ( voir page 2 ) Sinon, il faut faire la division euclidienne. Divisibilité Par 2 : Un nbre est divisible par 2 lorsqu’il se termine par 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8. Exemple 204 est divisible par 2. 204 = 2 x 102 1 305 n’est pas divisible par 2. Par 3 : Un nbre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est dans la table des 3. Exemple 102 est divisible par 3 . ( 1 + 0 + 2 = 3 ) et 102 = 3 x 34 643 n’est pas divisible par 3. ( 6 + 4 + 3 = 13 ) Par 4 : Un nbre est divisible par 4 lorsque le nbre formé par les 2 derniers chiffres est dans la table des 4. Exemple 124 est divisible par 4. ( en effet, 24 est dans la table des 4 ) Pour trouver le quotient, on divise le nombre deux fois de suite par 2. 124 : 2 = 62 et 62 : 2 = 31 donc 124 = 4 x 31 334 n’est pas divisible par 4. ( 34 n’est pas dans la tables des 4 ) Par 5 : Un nbre est divisible par 5 lorsqu’il se termine par 0 ou 5. Exemple 85 est divisible par 5. 85 = 5 x 17 103 n’est pas divisible par 5. Par 9 : Un nbre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est dans la table des 9. 8 325 est divisible par 9. ( 8 + 3 + 2 + 5 = 18 ) 1 009 n’est pas divisible par 9. ( 1 + 9 = 10 ) Par 10 ou 100 : ou par 1 000 Exemple et 8 325 = 9 x 925 Un nbre est divisible par 10 ou 100 ou 1 000 . . . lorsqu’il se termine par 0 ou 00 ou 000 . . . Exemple 120 est divisible par 10. 120 = 10 x 12 3 500 est divisible par 10 et aussi par 100. 3 500 = 10 x 350 3 500 = 100 x 35 Par 25 : Un nbre est divisible par 25 lorsqu’il se termine par 00 ou 25 ou 50 ou 75. Exemple 350 est divisible par 25. Pour trouver le quotient, on utilise le fait qu’il faut 4 fois 25 pour faire 100 350 = 300 + 50 / 300 = 12 fois 25 et 50 = 2 fois 25 donc 350 = 14 x 25 2. Diviseurs communs à deux entiers A) Exemple Quels sont les diviseurs communs à 48 et 72 ? Les diviseurs de 48 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 48 ; 24 ; 16 ; 12 ; 8 Les diviseurs de 72 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 72 ; 36 ; 24 ; 18 ; 12 ; Les diviseurs communs sont donc : 8 9 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 B) Définition Parmi les diviseurs communs à deux entiers, il en existe un plus grand que les autres et on l’appelle le PGCD. Notation : PGCD ( 72 ; 48 ) = 24 C) Remarques 1. Le PGCD est plus petit que les nombres donnés. 2. Les autres diviseurs communs sont les nombres qui divisent le PGCD. D) Définition Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Exemple : 5 et 16 E) Propriété Une fraction est irréductible lorsque ses termes sont premiers entre eux. 15 28 est une fraction irréductible. Pour obtenir directement la fraction irréductible égale à une fraction donnée, on divise ses termes par leur PGCD. 3. Savoir trouver le PGCD de deux entiers par différences successives. Savoir trouver le PGCD de deux entiers par divisions successives A) Propriété 5 est un diviseur de 35 et 100. 3 est un diviseur de 33 et 27. 5 est aussi un diviseur de 100 – 35 = 65 3 est aussi un diviseur de 33 – 27 = 6 Si un entier en divise deux autres, il divise aussi leur différence. B) Utiliser l’algorithme par différences Quel est le PGCD de 9 154 et 2 369 ? Raisonnement : Le PGCD est un diviseur de 9 154 et 2369. Il divise donc leur différence : 9 154 – 2 369 = 6 785 Le PGCD est donc un diviseur de 6 785 et 2 369. Il divise donc leur différence : 6 785 – 2 369 = 4416 . . . etc . . . Voici les soustractions : C) Utiliser l’algorithme par divisions Les lignes 1 ; 2 et 3 peuvent se remplacer par la division euclidienne de 9 154 par 2369. 9 154 : 2 369 = 3 ( reste 2 047 ) ou 9 154 = 2 369 x 3 + 2 047 Voici les divisions euclidiennes : Ligne 1 9 154 = 2 369 x 3 + 2 047 Ligne 2 2 369 = 2 047 x 1 + 322 Ligne 3 2 047 = 322 x 6 + 115 Ligne 1 9 154 – 2 369 = 6 785 Ligne 4 322 = 115 x 2 + 92 Ligne 2 6 785 – 2 369 = 4 416 Ligne 5 115 = 92 x 1 + 23 Ligne 3 4 416 – 2 369 = 2 047 Ligne 6 92 = 23 x 4 + 0 Ligne 4 2 369 – 2 047 = 322 Ligne 5 2 047 – 322 = 1 725 Ligne 6 1 725 – 322 = 1 403 Ligne 7 1 403 – 322 = 1 081 Ligne 8 1 081 – 322 = 759 Ligne 9 759 – 322 = 437 Ligne 10 437 – 322 = 115 Ligne 11 322 – 115 = 207 Ligne 12 207 – 115 = 92 Ligne 13 115 – 92 = 23 Ligne 14 92 – 23 = 69 Ligne 15 69 – 23 = 46 Ligne 16 46 – 23 = 23 Ligne 17 23 – 23 = 0 On s’arrête lorsque le reste devient 0. PGCD ( 9 154 ; 2 369 ) = 23 9 154 = 23 x 3982 369 = 23 x 103 On s’arrête lorsque le reste devient 0. Le PGCD est le dernier reste non nul. PGCD ( 9 154 ; 2 369 ) = 23 9 154 = 23 x 3982 369 = 23 x 103 Cette fois-ci, 6 lignes suffisent. La méthode est plus rapide. Cette méthode s’appelle l’algorithme d’Euclide. 4. Savoir utiliser le PGCD pour réduire une fraction dont les termes sont très grands Simplifier la fraction 558 324 . Calculons le PGCD par l’algorithme d’Euclide : = 324 x 1 + 234 Ligne 2 324 = 234 x 1 + 90 Ligne 3 234 = 90 x 2 + 54 Ligne 4 90 = 54 x 1 + 36 Ligne 5 54 = 36 x 1 + 18 Ligne 6 36 = 18 x 2 + 0 Ligne 1 558 PGCD ( 558 ; 324 ) = 18 558 = 18 x 31 324 = 18 x 18 Donc : 558 324 = 18 × 31 18 × 18 = 31 18 5. Savoir résoudre un problème nécessitant la recherche d’un PGCD Pierre a gagné 336 sucettes et 238 caramels à un jeu. N’étant pas gourmand de bonbons, il décide de les donner à des amis. Il ne veut pas faire de jaloux : même nombre de sucettes et même nombre de caramels. Et il veut tout donner. Combien d’amis, au maximum, pourront bénéficier de sa générosité ? Réponse Soit A le nombre d’amis maximum auxquels il peut donner ses bonbons. Comme les amis reçoivent le même nbre de sucettes et que toutes les sucettes sont données, A est un diviseur de 336. Comme les amis reçoivent le même nbre de caramels et que tous les caramels sont donnés, A est un diviseur de 238. Donc A est le PGCD de 336 et 238. Cherchons ce PGCD à l’aide de l’algorithme d’Euclide. Ligne 1 336 = 238 x 1 + 98 Ligne 2 238 = 98 x 2 + 42 Ligne 3 98 = 42 x 2 + 14 Ligne 4 42 = 14 x 3 + 0 PGCD( 336 ; 238 ) = 14 336 = 14 x 24 238 = 14 x 17 Pierre peut distribuer ses bonbons entre 14 de ses amis. Chacun recevra 24 sucettes et 17 caramels.