3_DM nombrees premiers CORRECTION

Collège Eugène Varlin
Mathématiques
3ème
DEVOIR MAISON 1
Correction
2016/2017
À rendre le :
Mar. 13 Sept. 2016
Exercice 1 Nombres de Sophie Germain.
Sophie Germain (1776 - 1831) est une mathématicienne française qui a étudié les nombres premiers.
Définition : Les nombres de Sophie Germain sont les nombres p vérifiant :
▷ p est un nombre premier,
▷ 2p + 1 est aussi un nombre premier.
1 Justifier que 3 est un nombre de Sophie Germain.
3 est un nombre de Sophie Germain car d'une part 3 est un nombre premier (d'après le
crible d'Eratosthène ou parce qu'il n'est divisible que 1 et lui-même) et d'autre
part 2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7 qui est aussi un nombre premier.
2 Pourquoi 7 ne l’est-il pas ?
7 n'est pas un nombre de Sophie Germain car il ne vérifie pas le deuxième critère :
2 × 7 + 1 = 14 + 1 = 15 qui n'est pas un nombre premier (il est divisible par 3).
3 Que dire de 15 : est-il un nombre de Sophie Germain ? Justifier la réponse.
15 n'est pas un nombre de Sophie Germain car il ne vérifie pas le première critère :
il n'est pas premier.
4 Trouver six nombres de Sophie Germain, autres que celui déjà étudié à la question 1.
Voici une liste de six nombres de Sophie Germain, autres de 3 :
● 2 car il est premier et 2 × 2 + 1 = 5 qui est aussi premier.
● 5 car il est premier et 2 × 5 + 1 = 11 qui est aussi premier.
● 11 car il est premier et 2 × 11 + 1 = 23 qui est aussi premier.
● 23 car il est premier et 2 × 23 + 1 = 47 qui est premier.
● 29 car il est premier et 2 × 29 + 1 = 59 qui est premier.
● 41 car il est premier et 2 × 41 + 1 = 83 aussi.
Exercice 2 Défi.
(Manuel : exercice 47, page 133 : Quel est le chiffre des unités du produit des nombres impairs compris
entre 1 et 2017).
Écrivons le début de ce produit : 1 × 3 × 5 × 7 × 9 × . . . × 2015 × 2017. Aussi, on voit que
ce produit est divisible par 5 : le produit s'écrit donc 5 × . . ., ce qui signifie que
le reste du produit dans sa division euclidienne par 5 est 0. D'après le critère de
divisibilité par 5, le chiffre des unités est ou bien 0 ou bien 5.
MAIS, si c'est 0, alors le produit sera pair et donc divisible par 2, ce qui est
impossible car le produit ne contient que des nombres impairs (et donc non divisibles
par 2).
On en déduit que le chiffre des unités du produit est 5.
1/1