Chapitre : Arithmétique

Chapitre : Arithmétique
En italique : facultatif et un peu compliqué pour des élèves de 3e.
L’arithmétique est la partie des mathématiques qui étudie les nombres entiers.
I Généralités
64
On a :
=4
16
On dit que : – 64 est divisible par 16
– ou bien que 64 est un multiple de 16
– ou bien que 16 est un diviseur de 64
Notation : Le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres entiers a et b se note PGCD ( a ; b ).
Exemples : – Les diviseurs de 56 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56
– Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 8 ; 24 ; 48
donc PGCD ( 56 ; 48 ) = 8
– le seul diviseur de 1 est 1 donc PGCD ( 7 ; 1 ) = 1
– les diviseurs de 0 sont tous les entiers non nuls donc PGCD ( 33 ; 0 ) = 33
Propriété élémentaires du PGCD : a et b étant deux nombres entiers on a :
PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; a )
PGCD ( 1 ; a ) = 1
PGCD ( 0 ; a ) = a
PGCD ( a ; a ) = a
Remarque : on peut classer les nombres dans différentes catégories.
• l’ensemble IN des nombres entiers naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 … etc.
On peut écrire par exemple : 14 ∈ IN.
• l’ensemble ZZ des nombres entiers relatifs : 0 ; 1 ; – 1; 2 ; – 2 ; 3 ; – 3 … etc. ZZ contient IN.
• l’ensemble D
D des nombres décimaux : ils ont un nombre fini de chiffres après la virgule. 74,354∈ D
D.
D
D contient ZZ.
• l’ensemble Q
I des nombres rationnels : ce sont les nombres fractionnaires. Ils peuvent avoir
un nombre infini de chiffres après la virgule mais ces chiffres finissent par se répéter comme
251
= 2,53 53 53 … Q
I contient D
D.
par exemple
99
• l’ensemble IR des nombres réels contient tous les nombres, y compris ceux dont les chiffres après la
virgule ne se répètent jamais. 2 ∈ IR.
II Calcul du PGCD
Propriété intermédiaire : Considérons trois nombres entiers a, b et k.
Les diviseurs communs de a et b sont les mêmes que ceux de a et b – ka.
Preuve :
b – ka b
a
Si d divise a et b alors
= –k×
est un nombre entier, donc d divise aussi b – ka
d
d
d
b b – ka + ka b – ka
a
Si d divise a et b – ka alors =
=
+ k × est un nombre entier, donc d divise aussi b.
d
d
d
d
CQFD.
Conséquence : PGCD ( a ; b ) = PGC ( a ; b – ka )
Propriété pour le calcul du PGCD : Pour calculer un PGCD, on peut soustraire au plus grand nombre un
multiple de l’autre nombre.
Exemple : PGCD ( 420 ; 98 ) = PGCD ( 420 – 4 × 98 ; 98 ) = PGCD ( 28 ; 98 )
= PGCD ( 28 ; 98 – 3 × 28 ) = PGCD ( 28 ; 14 )
= 14
Même calcul avec la présentation selon l’algorithme d’Euclide :
a
420
98
28
Donc PGCD ( 420 ; 98 ) = 14
b
98
28
14
r
28
14
0
division euclidienne
420 = 4 × 98 + 28
98 = 3 × 28 + 14
28 = 2 × 14 + 0
Remarques : – r désigne le reste de division euclidienne.
– dans l’algorithme d’Euclide, le PGCD est le dernier reste NON NUL.
– les calculatrices permettent de trouver le quotient et le reste de la division euclidienne. (voir la
touche ÷R ou I– )
Définition : On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1.
Autrement dit, s’ils n’ont aucun diviseur commun (sauf 1).
Exemple : PGCD ( 63 ; 40 ) = PGCD ( 23 ; 40 ) = PGCD ( 23 ; 17 ) = PGCD ( 6 ; 17 ) = PGCD ( 6 ; 5 ) = 1
Donc les nombres 63 et 40 sont premiers entre eux.
III Application
36 6 × 6 2 × 3 3
=
=
=
48 6 × 8 2 × 4 4
A chaque étape, on a simplifié par un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.
36 12 × 3 3
On aurait pu faire une seule étape :
=
=
48 12 × 4 4
Pour obtenir directement la fraction irréductible, on a simplifié par 12 = PGCD ( 36 ; 48 ).
Simplifions la fraction suivante :
Une fraction est irréductible quand il n’y a pas de diviseur commun autre que 1, autrement dit, quand le
numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
Propriété : Pour rendre une fraction irréductible, il faut la simplifier par le PGCD du numérateur et du
dénominateur.
En particulier, une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
256
96
On doit la simplifier par : PGCD ( 256 ; 96 ) = PGCD ( 64 ; 96 ) = PGCD ( 32 ; 96 ) = PGCD ( 32 ; 0 ) = 32
256 32 × 8 8
Donc
=
=
96 32 × 3 3
440
Question : Prouver que
est irréductible.
111
Exemples : Simplifions la fraction :
PGCD ( 440 ; 111 ) = PGCD ( 7 ; 111 ) = PGCD ( 7 ; 6 ) = 1
440
est donc irréductible car 440 et 111 sont premiers entre eux.
La fraction
111
Exercice 1 : Trouve le PGCD des nombres suivants
a ) 30 et 48
b ) 1 et 51
c ) 27 et 45
f ) 36 et 28
g ) 0 et 25
h ) 8 et 24
d ) 7 et 9
i ) 31 et 31
e ) 56 et 42
j ) 1 024 et 1
Exercice 2 : Trouve les PGCD suivants :
a ) PGCD ( 54 ; 12 )
b ) PGCD ( 54 – 12 ; 12 )
c ) PGCD ( 54 – 2 × 12 ;12 )
d ) PGCD ( 54 – 3 × 12 ; 12 )
e ) PGCD ( 54 – 4 × 12 ; 12 )
Comment pourrait-on faire pour trouver facilement le PGCD des nombres 310 et 154 ?
Exercice 3 : Calcule les PGCD suivants :
A = PGCD ( 132 ; 400 )
B = PGCD ( 910 ; 220 )
E = PGCD ( 92 ; 21 )
F = PGCD ( 250 ; 252 )
C = PGCD ( 10 ; 165 )
G = PGCD ( 1524 ; 824 )
D = PGCD ( 340 ; 111 )
H = PGCD ( 2442 ;2452 )
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Exercices pour préparer le contrôle
Exercice 1 : Exercice pour se préparer au brevet (7 points)
Exercice 2 : Calcule les PGCD des nombres suivants en écrivant les étapes intermédiaires.
a ) 120 et 384
b ) 1 705 et 799
c ) 975 et 100
5 321
551
Exercice 3 : Simplifie les fractions suivantes en expliquant par des calculs : A =
B=
5 325
232
Exercice 4 : Parmi ces nombres, trouve en deux qui sont premiers entre eux : 81 – 36 – 48 – 28
Exercice 67 P 21
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
RESULTATS DES EXERCICES POUR PREPARER LE CONTROLE
Exercice 2 : PGCD ( 120 ;384 ) = 24
PGCD (1 705 ; 799 ) = 1
PGCD ( 975 ; 100 ) = 25
Exercice 3 : Simplifie les fractions suivantes en expliquant par des calculs :
5 321
551 19 × 29 19
A=
: irréductible
B=
=
=
5 325
232 8 × 29
8
Exercice : 81 et 28 sont premiers entre eux.
182
78
Exercice 67 P 21: PGCD ( 182 ; 78 ) = 26 bouquets :
= 7 muguet et
= 3 roses (corrigé P 272)
26
26