Test. TS - Nombres complexes - Correction EX 1 : ♣ → − → −´ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O, u , v . ³ Partie A - Restitution organisée de connaissances Soit z un nombre complexe tel que z = a + ib où a et b sont deux nombres réels. On note z, le nombre complexe défini par z = a − ib. 1. Démontrer que pour tous nombres complexes, z et z 0 , z × z 0 = z × z 0. Soit z et z 0 deux nombres complexes tel que z = a + ib et z 0 = a 0 + ib 0 , 0 avec a, b, a 0 et b 0 nombres réels. • z × z 0 = (a + ib) × (a 0 + ib 0 ) = (aa 0 − bb 0 ) + i(ab 0 + a 0 b) = aa − bb − i(ab + a 0 b) • z × z 0 = (a + ib) × (a 0 + ib 0 ) = (a − ib) × (a 0 − ib 0 ) Par suite, pour tous nombres complexes, z et z 0 , 0 0 = aa 0 − bb 0 − i(ab 0 + a 0 b) z × z0 = z × z0 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, et tout nombre complexe z, ¡ ¢n zn = z ¡ ¢n Montrons par récurrence, que pour tout entier naturel n > 1, et tout nombre complexe z, z n = z ¡ ¢ – Initialisation : Pour n = 1, l’égalité z = z est vraie. ¡ ¢n je suppose la proposition vraie au rang n – Hérédité : supposons qu’il existe un entier n tel que z n = z . Alors en partant de notre hypothèse : ¡ ¢n z × zn = z × z En utilisant la question 1. on déduit : ¡ ¢n+1 z × zn = z ¡ ¢n+1 finalement z n+1 = z . – Conclusion : la proposition est vraie pour n = 1 , elle est héréditaire ¡ ¢n donc par récurrence on a, z n = z alors la proposition est vraie au rang n + 1 Partie B On considère l’équation (E) : z 4 = −4 , où z est un nombre complexe. 1. Montrer que si le nombre complexe z est solution de l’équation (E), alors les nombres complexes −z et z sont aussi solutions de l’équation (E). Soit z un complexe solution de l’équation (E), alors z 4 = −4 • (−z)4 = z 4 = −4 donc −z est aussi solution de l’équation (E) ; ¡ ¢4 • z = z 4 = −4 = −4 donc z est aussi solution de l’équation (E). 2. On considère le nombre complexe z 0 = 1 + i. a. Écrire ce nombre complexe sous sa forme exponentielle. Ãp p ! ³π´ ³ π ´´ p p ³ 2 2 z0 = 1 + i = 2 +i = 2 cos + i sin donc sous forme exponentielle 2 2 4 4 b. Vérifier que z 0 est solution de l’équation (E). ³p π ´4 ¡p ¢4 ³ π ´4 (z 0 )4 = 2ei 4 = 2 × ei 4 = 4 × eiπ = 4 × (−1) ⇐⇒ (z 0 )4 = −4 z0 = p iπ 2e 4 z 0 est bien solution de l’équation (E). 3. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l’équation (E). Je peux déduire des questions précédentes que −z 0 ; z 0 et −z 0 = −z 0 sont aussi solutions. n o L’ensemble des solutions de l’équation (E) est : S = 1 + i ; −1 − i ; 1 − i ; −1 + i Partie C Soient A, B, C, D les quatre points d’affixes respectives : z A = 1 + i ; z B = −1 + i ; z C = −1 − i ; z D = 1 − i. On note : ³−−→ −−→´ ³−−→ −−→´ π π E le point tel que : CB = CE et CB ; CE = − [2π] et F le point tel que : CD = CF et CD ; CF = − [2π]. 3 3 p 1. Montrer que le point E a pour affixe le nombre complexe z E = −1 + 3. ³−−→ −−→´ CE π zE − zC π Comme = 1 et CB ; CE = − [2π] le nombre complexe a pour module 1 et pour argument − CB 3 zB − zC 3 à p ! ³ ´ zE − zC 1 3 π π c’est-à-dire = e−i 3 donc z E = (z B − z C ) × e−i 3 + z C = − 1 + i − (−1 − i) × −i + (−1 − i) zB − zC 2 2 à p ! p p 1 3 z E = 2i × −i − 1 − i = i + 3 − 1 − i ⇐⇒ z E = −1 + 3 2 2 2. Déterminer l’affixe du point F. ³−−→ −−→´ CF π Comme = 1 et CD ; CF = − [2π] CD 3 π zF − zC a pour module 1 et pour argument − zD − zC 3 à p ! ³ ´ zF − zC 1 3 π π c’est-à-dire = e−i 3 donc z F = (z D − z C ) × e−i 3 + z C = 1 − i − (−1 − i) × −i + (−1 − i) zD − zC 2 2 à p ! ³ p ´ p 3 1 −i − 1 − i = 1 − i 3 − 1 − i ⇐⇒ z F = i −1 − 3 zF = 2 × 2 2 z A − zE 3. Démontrer que le quotient est réel. Que peut-on dire pour les points A, E et F ? z − zF p ¢¢ p p p ¢¡ p ¢¢ p ¢ A p ¢¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ p 2− 3+2+ 3+i 1− 2− 3 2+ 3 2− 3+i 1−i 2+ 3 z A − z E 1 + i − −1 + 3 2− 3+i = = p ¢= p ¢= p ¡ ¡ p ¢2 ¡ z A − z F 1 + i − −i − i 3 1+i 2+ 3 8+4 3 12 + 2 + 3 p p 4 z A − z E 4 + i (1 − (4 − 3)) z A − zE 1 2− 3 = = ⇐⇒ = 2− 3 ∈ p p = p = z A − zF z A − zF 8 + 4 3 2 + 3 4−3 8+4 3 le nombre complexe R ¶ ³ z A − zE −→ −−→´ ³−→ −−→´ = FA ; EA = AF ; AE = 0 [π]. Je peux en déduire que arg z A − zF µ Les points A, E et F sont alignés. Remarque : p p ¢ ¡ ¡ ¢¢ ¡ p p 1 + i 2 + 3 2 − 3 × z A − zE 2− 3+i = = 2− 3 p ¢= ¡ ¡ p ¢ z A − zF 1 + i 2 + 3 1 +i 2+ 3 2i B A i → − v −3 −2 → − u −1 − π3 C −i E1 2 D − π3 −2i F 3