Problème Match de curling

Maturita des sections bilingues franco-tchèques et franco-slovaques
Session de mai 2006
Problème
Match de curling
Introduction au curling :
Le curling est un sport olympique qui se joue sur une patinoire parfaitement horizontale. Les joueurs lancent des pierres
de 20 kg dans le but de les placer sur « le bouton », milieu des cercles concentriques sur l’autre bout de la piste (voir le
schéma). Pour contrer, l’adversaire peut soit placer une pierre plus proche du bouton : c’est le « draw » ; soit lancer une
pierre rapide pour enlever une pierre bien placée par un choc : c’est le « take-out ». Ce qui compte c’est le nombre de
pierres près du bouton à la fin du jeu.
1) Si la pierre se déplaçait sur la glace sans frottement, quelle serait la nature de son mouvement? Justifier.
Quelles seraient les conséquences pour le jeu ?
Envisageons maintenant une situation réelle. La pierre se déplace avec frottements.
Au cours d'un match, un joueur lance une pierre et celle-ci arrive au centre des cercles (sur le bouton, donc) à la distance
de 28,35 m de la ligne de lancé dite « hog-line »). A l’instant du lâché sur la hog-line, la vitesse de la pierre est de
2,56 m/s.
2) Faire le bilan des forces s’exerçant sur la pierre au cours de son mouvement sur la glace. Représenter ces forces ainsi
que le sens du mouvement sur un schéma clair. Préciser les caractéristiques de chacune de ces forces.
3) En utilisant le théorème de l'énergie cinétique, calculer la norme de la force de frottement, supposée constante, entre
la pierre et la glace.
4) A quelle distance du bouton la pierre s’arrêterait-elle, si la piste était inclinée de 1 cm (pour une longueur de
28,35 m) dans le sens du mouvement de la pierre ? On suppose la force de frottement constante et égale à la valeur
trouvée dans la question 3.)
Lors du « take-out », un joueur de l’équipe adverse veut frapper la pierre qui est sur le bouton, de façon à ce que sa pierre
reste sur le bouton à la place de celle qui y est déjà, et que cette dernière soit sortie du jeu (elle doit quitter la piste appelée
« back-line », située à 1,83 m du bouton).
5) On suppose que lors du choc, l’énergie de la pierre lancée sera intégralement transmise à la pierre qui est sur le
bouton sous forme d’énergie cinétique. Quelle est alors la vitesse que le joueur adverse doit communiquer à la
pierre sur la « hog-line » ? On suppose la force de frottement constante et égale à la valeur trouvée dans la question
3.)
hog lines
back line
bouton
1,83 m
28,35 m
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Problème
Match de curling
1) Si la pierre se déplace sans frottement ; selon la première loi de Newton (principe d’inertie), elle
va garder cet état de mouvement rectiligne uniforme. Alors elle ne s’arrêtera jamais et le jeu
deviendra impossible. 2 + 1 = 3 points
2) La pierre est soumise à trois forces : le poids P , la réaction de la glace R et la force de
frottement F f . Les caractéristiques sont suivantes :
nom de la force
poids
réaction de la glace
frottements
direction
verticale
verticale
horizontale
sens
vers le bas
vers le haut
contre le mouvement
norme
P=m.g
R=P
Ff = f . R
1 point pour direction, sens et norme de chaque force = 3 points (on porrait ajouter également le point
d’application)
3) Le théorème de l’énergie cinétique nous dit que dans un référentiel galiléen la somme des travaux
de toutes les forces extérieures est égale à la variation de l’énergie cinétique de l’objet.
Mathématiquement : ΛEC = W ( F ext ) . L’analyse du problème nous donne : ∆EC = EC2 – EC1 =
∑
2
0 - 0,5.m.v . Les travaux des trois forces agissant sur la pierre sont :
W(P) = 0 car le vecteur force est constamment perpendiculaire au vecteur déplacement
W(R) = 0 car le vecteur force est constamment perpendiculaire au vecteur déplacement
W(Ff) = -Ff.d
Finalement on obtient : −
1 2
mv 2
mv = − F f d , d’ou on exprime la solution littérale : F f =
.
2
2d
Numériquement Ff = 2,3 N.
1 pour le théo de l’Ec + 3 × 0,5 pour justification du travail des 3 forces + 1,5 pour expression
littérale + 1 pour l’application = 5 points
4) Cette fois-ci, si la piste est inclinée de 1 cm
dans le sens du mouvement de la pierre, on
doit travailler dans le théorème de l’énergie
cinétique aussi avec le travail du poids qui
n’est plus perpendiculaire au vecteur
déplacement. L’expression du travail du
poids est W(P) = mg∆h. Le théorème de
l’énergie cinétique s’écrit alors sous forme :
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1
mg∆h + mv 2
1
2
− mv 2 = − F f d 2 + mg∆h . D’ici on peut déduire : d 2 =
. Numériquement d2 =
2
Ff
29,35 m. La position où la pierre s’arrête exprimée par rapport au bouton est
l = d 2 − d = 29,35m − 28,35m = 1m derrière le bouton.
1 pour le travail de P + 2 pour expression de d + 1 pour application numérique de d + 0,5 pour l = 4,5
points (la deuxième solution correspond à une piste descendante)
5) Pour que la pierre ait une énergie suffisante (en supposant le choc entre deux pierres est
parfaitement élastique) elle doit arriver sans aucune intervention jusqu’à la back line qui est située
à la distance d+d’ = 30,18 m.
La nouvelle application du théorème cinétique donne : − EC 0 = − F f ( d + d ' ) . Donc v0=
2F(d +d')
m
Numériquement v0 = 2,63m/s.
1,5 pour la nouvelle distance justifiée + 2 pour l’expression de v0 + 1 pour l’application numérique =
4,5 points
Au total : 3 + 3 + 5 + 4,5 + 4,5 = 20 points
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