OUVERTURE AU MONDE QUANTIQUE

OUVERTURE AU MONDE QUANTIQUE
« Je crois pouvoir dire
sans risque de me
tromper que personne ne
comprend la mécanique
quantique… »
Richard Feynman
Images de virus bactériophages T4 obtenues en microscopie électronique à transmission et image
montrant plusieurs cellules d'E.coli (bactéries) infectées par de nombreux phages T4.
C’est grâce aux propriétés « ondulatoires » des électrons que l’on a pu obtenir ces images
impressionnantes !
Introduction au monde quantique
R. DUPERRAY
Lycée F. Buisson PTSI
page 1
1 - Dualité onde-particule
La lumière:
onde ou particule ?
Conclusion:
✔  Les photons frappent l’écran
ce qu’indiquent les flashs à
faible intensité.
✔  Les
seuls
photons
qui
atteignent l’écran se trouvent
dans les zones où l’onde
interfère de façon constructive.
✔  Les photons manifestent en
même temps un comportement
ondulatoire
et
un
comportement particulaire
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11-Sources
- Dualité onde-particule
et effet d’un champ magnétostatique
La lumière: onde et particule
Grandeurs particulaires
Grandeurs ondulatoires
f = fréquence
λ = longueur d'onde
E = Energie
p = Quantité de mouvement
E = hf = hc λ (relation de Planck-Einstein)
p =h λ
h = constante de Planck=6,63 × 10−34 J.s
Justification:
E =
mc 2
( )
1− v c
p=
= Energie totale d'une particule de vitesse v
2
mv
( )
1− v c
2
= quantité de mouvement d'une particule de vitesse v
Pour un photon de masse nulle v ⇒ E =
(pc ) + (0 × c )
2
Avec la relation de Planck-Einstein E = hf = hc λ
Introduction au monde quantique
2
2
=
(
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬⇒E =
p ≈ mv si v ≪ c ⎪
⎪
⎪⎭
)
(pc )
2
(pc ) + (mc )
2
2
2
⎫
h
= pc ⎪
⎬⇒p =
λ
⎪⎭
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1 - Dualité onde-particule
Exercice d’application 1: Changement de masse du soleil
Chaque seconde le soleil émet 3,8 × 1026 J d’énergie principalement sous forme de rayonnement (photons) visible, infrarouge et
ultraviolet. Estimer le changement de masse du soleil par seconde résultant de cette émission d’énergie. Estimer le nombre de
photons émis chaque seconde (on suppose que les photons ont une fréquence de 1014 Hz ).
Exercice d’application 2: Rayonnement gamma absorbé issu de l’environnement
Nous sommes continuellement soumis à des rayonnements gamma de longueur d’onde λ = 6 × 10−13 m issus de l’environnement,
de la nourriture absorbée, du rayonnement cosmique etc… Chaque année, nous absorbons en moyenne 10−3 J de ces radiations
par kilogramme. Estimer le nombre de photons absorbés chaque seconde pour un individu de 70 kg durant une année.
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1 - Dualité onde-particule
Les électrons: onde ou particule ?
Conclusion:
✔  Les électrons, ainsi que toute particule, exhibent des propriétés ondulatoires (hypothèse de Louis
De Broglie).
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11-Sources
- Dualité onde-particule
et effet d’un champ magnétostatique
Les électrons: onde et particule ?
Grandeurs ondulatoires
f = fréquence
λ = longueur d'onde
Grandeurs particulaires
E = Energie
p = Quantité de mouvement
λ =h p ⎫
⎬ relations de Louis de Broglie
f =E h ⎭
h = constante de Planck=6,63 × 10−34 J.s
→
Notes:
→
p = !k
On peut aussi écrire la relation de Louis de Broglie sous sa forme vectorielle:
→
avec ! ≡ h 2π = 1,0 × 10−34 J.s−1 et k le vecteur d'onde tel que k = 2π λ et
de direction la direction de propagation de l'onde (ou de la particule)
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11-Sources
- Dualité onde-particule
et effet d’un champ magnétostatique
Exercice d’application 3: Longueur d’onde d’électrons non relativistes
Déterminer la longueur d’onde de de Broglie d’électrons d’énergie 10 eV (électrons non relativistes).
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21-Sources
- La fonction
d’onde
et effet
d’un champ magnétostatique
✓ Introduction
En physique quantique, les particules sont entièrement décrites par la
donnée d’une fonction mathématique de l’espace et du temps nommée
la fonction d’onde et universellement notée :
( )
Fonction d'onde ≡ ψ x ,t
✓ Interprétation physique
On considère l’expérience d’interférence d’électrons de la figure cicontre. Le module carré de la fonction d’onde va nous renseigner sur la
probabilité de présence de l’électron en un endroit donné à un
instant donné:
Probabilité (en x à δ x près)
( )
=ψ x
2
( )
δx = P x δx
( )
P x ≡ densité de probabilité en m−1
= probabilité de trouver la particule
en x à δ x près à un instant donné
=probabilité par unité de longeur
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2 - La fonction d’onde
✓ Condition de normalisation
Considérons la figure ci-contre, la probabilité de trouver l'électron
entre xL et xR est obtenu en sommant (intégrant) la densité de probabilité
soit:
( )
xL
Probabilité (entre xL et xR )=∫ P x dx =
xR
∫
xL
xR
( )
ψ x
2
dx
On est certain, probabilité de 1, de trouver (grâce à un détecteur)
l’électron quelque part entre – l’infini et + l’infini. Cela nous donne la
condition de normalisation à laquelle doit satisfaire toute
fonction d’onde :
Condition de normalisation:
∫
+∞
−∞
( )
P x dx =
∫
+∞
−∞
( )
ψ x
2
dx = 1
✓ Comparaison physique classique - physique quantique
Physique classique- physique du mouvement
()
Une particule est décrite par sa position x t
()
Physique quantique-physique probabiliste
( )
Une particule est décrite par sa fonction d'onde ψ x ,t
( )
x t est obtenue par application des lois de Newton
ψ x ,t est obtenue par résolution de l'équation de
(cf. cours de mécanique)
Schrödinger (une équation différentielle, pas au programme )
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2 - La fonction d’onde
Exercice d’application 4: Normalisation et interprétation de la fonction d’onde
La figure suivante montre la fonction d’onde d’une particule confinée dans une « boîte unidimensionnelle » entre x=0 nm et
x=L=1,0 nm. La fonction d’onde vaut 0 au-delà.
a)  Déterminer la valeur de la constante c pour que la fonction d’onde soit normalisée.
b)  Représenter graphiquement la densité de probabilité P(x).
c)  Déterminer la position x telle que l’on ait 50 % de chance de trouver la particule entre 0 et cette position.
d)  Calculer la probabilité de trouver la particule à 0,01 nm près en x1=0,05 nm, x2=0,50 nm et x3=0,95 nm.
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3 – Quantification de l’énergie, modèle de la particule dans une boîte à 1D
✓ Quantification de l’énergie
On peut illustrer beaucoup de principes de la physique quantique, sans résoudre l’équation de Schrödinger, en
considérant le modèle simple d’une particule de masse m confinée dans une boîte à 1D de longueur L. Il s’agit d’un
premier modèle pour décrire un électron dans un atome, un proton dans un noyau par exemple.
La particule se trouvant dans la boîte, sa fonction d’onde doit être nulle
partout en dehors de la boîte soit:
ψ = 0 pour x ≤ 0 et x ≥ L
On admet que la fonction d’onde doit être continue, elle s’annule donc
aussi aux deux extrémités de la boîte. On retrouve les mêmes conditions
que pour une onde stationnaire (cf. figure ci-contre). Cela impose les
longueurs d’ondes possibles:
Condition de l'onde stationnaire
pour une particule dans une boîte de longueur L :
L =n
λn
2
n = 1,2,3,...
L’énergie de la particule est entièrement cinétique:
h λn
p2
pn 2
1
p2
E = mv 2 =
⇒ En = n
=
=
(relation de de Broglie) 2m
2
2m
2m
2m
(
)
L’énergie ne peut
prendre que des
valeurs discrètes, elle
est quantifiée.
2
=
h2
2mλn 2
Avec la condition sur l’onde stationnaire, on arrive à la quantification de l’énergie :
Valeur des niveaux d'énergie (quantification)∗ :
h2
h2
2
En = n
= n E 1 avec E 1 =
(valeur du niveau fondamental)
8mL2
8mL2
2
* Voir le cours de chimie sur la structure électronique des atomes pour compléter et faire le lien avec ce qui a déjà été fait.
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3 – Quantification de l’énergie, modèle de la particule dans une boîte à 1D
✓ Fonction d’onde stationnaire
L’amplitude des vibrations d’une corde fixe en ses deux extrémités est donnée, comme nous l’avons vu, par:
( )
( )
An x = An sin kn x
n = 1,2,3,... avec An = cste, kn = 2π λn le nombre d'onde et λn = 2L n
Par analogie, la fonction d’onde stationnaire est donnée par (la résolution exacte de l’équation Schrödinger donne le
même résultat) :
( )
( )
ψ n x = An sin kn x
On peut donc écrire:
(
)
n = 1,2,3,... avec kn = 2π λn = 2π 2L n = nπ L
⎛
x⎞
ψ n x = An sin ⎜ nπ ⎟ avec n appelé un nombre quantique
L⎠
⎝
( )
Exercice d’application 5: Utilisation de la condition de normalisation
En utilisant la condition de normalisation, montrer que: An =
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2
L
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3 – Quantification de l’énergie, modèle de la particule dans une boîte à 1D
La particule a une
probabilité importante
d’être là.
La particule a une
probabilité importante
d’être là.
Mais elle ne sera jamais là ! Par où passe-telle ? La notion de trajectoire classique n’a
plus de sens dans le monde quantique ….
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4 – Inégalités de Heisenberg
Document extrait de Physique 3, ondes, optique et physique moderne 4/E par Harris Benson aux éditions De Boeck, 2009.
Notes:
Dans la littérature, on parle
indifféremment des « inégalités
de Heisenberg », du « principe
d’incertitude de Heisenberg » ou
du « principe d’indétermination
de Heisenberg ». Le mot
indétermination est cependant
préférable à celui d’incertitude car
ici cette « indétermination » est
dans la nature même des choses
et n’a rien à voir avec une
quelconque
« incertitude »
expérimentale !
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4 – Inégalités de Heisenberg
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4 – Inégalités de Heisenberg
Exercice d’application 6: Indétermination sur la position
Quelle est l’indétermination minimale sur la position de
chacune des particules suivantes si le module de la vitesse est
mesuré avec une indétermination de 0,1 % ? Conclure.
a)  Un électron se déplaçant à la vitesse de 4×106 m.s-1.
b)  Une balle de pistolet de 10 g se déplaçant à 400 m.s-1.
u
Exercice d’application 7: Atome d’hydrogène
Sachant qu’un atome d’hydrogène a un diamètre de l’ordre
de 0,1 nm, montrer qu’il est impossible d’attribuer à son
électron une trajectoire déterminée.
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