BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES Série S

BOND007
Session 2011
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
Session 2011
MATHÉMATIQUES
Série S
Enseignement obligatoire
Durée de l’épreuve : 4 heures
Coefficient : 7
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la loi en vigueur.
Le sujet est composée de 4 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même
incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 6 pages numérotées de 1 à 6.
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E XERCICE 1
Commun à tous les candidats
5 points
L’exercice comporte quatre questions indépendantes. Pour chacune d’entre elles, trois réponses sont
proposées dont une seule est exacte. Il s’agit de déterminer la bonne réponse et de justifier le choix
ainsi effectué.
Un choix non justifié ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète,
ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
1. Question 1
La solution f de l’équation différentielle y ′ + 2y = 6 qui vérifie la condition initiale f (0) = 1 est
définie sur l’ensemble R des nombres réels par :
Réponse (1) :
f (x) = −2e−2x + 3
Réponse (2) :
f (x) = −2e2x + 3
Réponse (3) :
f (x) = −2e−2x − 3
2. Question 2
Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue 10 tirages successifs
d’une boule avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l’urne
et on recommence). La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est
Réponse (1) :
Réponse (2) :
Réponse (3) :
µ ¶3 µ ¶7
1
2
3×
×
3
3
µ ¶3 µ ¶7
2
1
×
120 ×
3
3
µ ¶7 µ ¶3
10!
2
1
×
×
(10 − 3)!3!
3
3
3. Question 3
³
−´
→
− →
− →
Dans l’espace muni d’un repère orthononnal O, ı ,  , k , on considère le plan P d’équation
cartésienne : x − 3y + 2z = 5 et le point A(2 ; 3 ; −1).
Le projeté orthogonal du point A sur le plan P est le point :
Réponse (1) :
H1 (3 ; −1 ; 4)
Réponse (2) :
H2 (4 ; −3 ; −4)
Réponse (3) :
H3 (3 ; 0 ; 1)
4. Question 4
La valeur moyenne de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par
f (x) =
1
est égale à :
1 + x2
Réponse (1) :
π
−
2
Réponse (2) :
Réponse (3) :
π
4
π
2
5. Question 5
³
→
− →
−´
On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v , le
1+i
a.
point A d’affixe a = 2 − i et le point B d’affixe b =
2
Réponse (1) :
Réponse (2) :
Le triangle OAB n’est que Le triangle
rectangle.
qu’isocèle.
OAB
Réponse (3) :
n’est Le triangle OAB est rectangle isocèle.
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E XERCICE 2
Commun à tous les candidats
6 points
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par
f (x) = x(1 − ln x).
La courbe représentative C de la fonction f est donnée en annexe 1 (à rendre avec la copie).
Partie 1 : Étude de la fonction f
1. Étudier le signe de f (x) suivant les valeurs du nombre réel x .
2. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.
3. Déterminer la dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et dresser le tableau de variations
de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
4. Soit a un nombre réel strictement positif. On considère la tangente (T a ) au point A de la courbe
C d’abscisse a .
a. Déterminer, en fonction du nombre réel a , les coordonnées du point A′ , point d’intersection de la droite (T a ) et de l’axe des ordonnées.
b. Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente (T a ). Sur l’annexe 1
(à rendre avec la copie) construire la tangente (T a ) au point A placé sur la figure.
Partie II : Un calcul d’aire
Soit a un nombre réel strictement positif. On note A (a) la mesure, en unité d’aire, de l’aire de la
région du plan limitée par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = a
et x = e.
1. Justifier que A (a) =
Ze
a
f (x) d x , en distinguant le cas a < e et le cas a > e.
2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer A (a) en fonction de a .
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E XERCICE 3
Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
³
5 points
→
− →
−´
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v d’unité 1 cm.
1. Restitution organisée de connaissances
Pour M 6= Ω, on rappelle que le point M ′ est l’image du point M par la rotation r de centre Ω et
d’angle de mesure θ si et seulement si :
(
ΩM´′ = ΩM
(1)
³−−−→ −−
−→′
ΩM ; ΩM
= θ à 2kπ près (k ∈ Z) (2)
a. Soient z , z ′ et ω les affixes respectives des points M , M ′ et Ω.
Traduire le relations (1) et (2) en termes de modules et d’arguments.
b. En déduire l’expression de z ′ en fonction de z , θ et ω
2. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation :
p
z 2 − 4 3z + 16 = 0.
On donnera les solutions sous forme algébrique.
p
p
3. Soient A et B les points d’affixes respectives a = 2 3 − 2ı et b = 2 3 + 2ı.
a. Écrire a et b sous forme exponentielle.
b. Faire une figure et placer les points A et B .
c. Montrer que O AB est un triangle équilatéral.
4. Soit C le point d’affixe c = −8ı et D son image par la rotation de centre O et d’angle
Placer les points C et D .
p
Montrer que l’affixe du point D est d = 4 3 + 4ı.
2π
.
3
5. Montrer que D est l’image du point B par une homothétie de centre O dont on déterminera le
rapport.
6. Montrer que O AD est un triangle rectangle.
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E XERCICE 4
Commun à tous les candidats
4 points
Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à 0,000 1 près.
Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment
tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.
Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 1 % est porteur de la maladie.
On obtient les résultats suivants :
• si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ;
• si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas.
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et
d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.
On note :
M l’évènement : « l’animal est porteur de la maladie » ;
T l’évènement : « le test est positif ».
1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
2. Un animal est choisi au hasard.
a. Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ?
b. Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0, 058.
3. Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour
qu’il soit porteur de la maladie ?
4. On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves
comme indépendantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable
aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d’animaux ayant un test positif.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
b. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des cinq animaux ait un test positif ?
5. Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 euros et
le coût de l’abattage d’un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de
1 000 euros. On suppose que le test est gratuit.
D’après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le
test est donnée par le tableau suivant :
Coût
Probabilité
0
0,940 5
100
0,058 0
1 000
0,001 5
a. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à
engager.
b. Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle
somme doit-il prévoir d’engager ?
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ANNEXE 1 (Exercice 2)
(à rendre avec la copie)
2,0
1,5
1,0
f (a)
A
C
0,5
−1
O
1
a
2
3
4
−0,5
−1,0
−1,5
−2,0
−2,5
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5