chapII-logique de proposition

Cours Fondement Logique
de l’Intelligence Artificielle
Chapitre I : Calcul des
prédicats
2014/2015
Yaroub Elloumi
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Calcul des prédicats
La logique
• La logique est un formalisme de représentation des connaissances
de type langage applicable dans de nombreux domaines.
• Les logiques sont des langages formels pour représenter
l’information et permettre d’en tirer des conclusions.
• Puissance d'expression élevée
• Motivation : répondre aux questions suivantes:
• Comment représenter l’effet du monde réel
• Comment raisonner sur ces effets
• Quelles sont les représentations appropriées
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Calcul des prédicats
La logique
• La syntaxe définit les expressions possibles du langage, c’est la suite de
mots et de symboles formant une phrase.
• La sémantique définit la signification d’une expression ( sa valeur de
vérité) dans un monde donné.
• La logique offre un mécanisme de manipulation et de raisonnement
sur l’information sémantique contenue dans une phrase qu’on ne
manipulant que les symboles qui la constituent.
• Exemple: Langage arithmétique
o X+2>=Y fait partie du langage
o X2+y>= ne fait pas partie du langage
o X+2>=Y vrai pour un monde où X>=Y-2
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Calcul des prédicats
La logique
o X+2>=Y vrai pour un monde où X=0 et Y=1
o X+2>=Y faux pour un monde où X=0 et Y=10
• Exemple de logiques
o Logique des propositions: c’est une suite de symboles séparés
par des conjonctions (et), disjonctions (ou), négations (non).
o Exemple:
- “Ali est un homme” ->HommeALi
- “Amine est un homme”->HommeAmine
- “Ali est un homme” et “Amine est un homme” ->
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HommeALi∧HommeAmine
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Calcul des prédicats
La logique
o X+2>=Y vrai pour un monde où X=0 et Y=1
o X+2>=Y faux pour un monde où X=0 et Y=10
o Logique des propositions: c’est une suite de symboles séparés
par des conjonctions (et), disjonctions (ou), négations (non).
• La logique (Calcul Propositionnel) permet
– de représenter des connaissances
– de raisonner sur ces connaissances
– On utilise des variables propositionnelles (vrai, faux) ainsi que des
connecteurs logiques (et, ou, implique, équivalent) :
• Si il fait beau et qu’on n’est pas samedi alors je fais du vélo
• Si je fais du vélo alors il y a du vent
• Donc si il fait beau et qu’on est pas samedi alors il y a du vent
(b ∧¬s) → f
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f→v
⇒
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(b ∧¬s) → v
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La logique
• Logique de prédicats du 1er ordre: C’est une suite de symboles,
de variables et de relations avec des quantificateurs universels et
existentiels.
o Exemple:
Homme (Ali)
Homme (amine)
∀X, Homme(X)
⇒ Mortel (X)
• Logique Temporelle: qui permet de raisonner en tenant compte du temps.
• ...
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La logique des propositions
• Permet d’exprimer des faits sur le mode réel en utilisant des :
o Négations ( ¬ )
∧)
o Conjonctions (∧
o Disjonctions (∨
∨)
o Implication ( ⇒ )
o Equivalence (⇔ )
• Une proposition est une expression à propos du monde qui est soit
vraie soit faux. Ces propositions sont appelées des atomes ou
formules atomiques.
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Calcul des prédicats
La logique des propositions
• Eléments de base de la logique propositionnelle:
o Symbole de proposition Q ou P …
∧ ,∨,
∨ ⇒ ,⇔
⇔ .
o Connecteurs: ¬,∧
o des deux constantes propositionnelles : vrai /faux
• Exemples de phrases composées:
P=“Il fait chaud”
, ¬ P = “Il fait froid”
Q=“Le ciel est couvert” , P ∧ Q=“Il fait chaud et le ciel est
couvert”
Q ⇒ P =“ Il fait chaud si le ciel est couvert”
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Calcul des prédicats
La logique des propositions
¬P∧ ¬Q=“ Il fait froid et le ciel est dégagé”
• Structure des phrases:
o Phrases atomique : P | Q …
o Phrases composées : Phrase connecteur Phrase
• Une formule en logique propositionnelle est définie comme suit:
o Tout atome est une formule
o Si P et Q des formules alors ¬P, P∨Q, P∧Q, P⇒Q, P⇔Q
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Calcul des prédicats
La logique des propositions
• Une forme normale en logique propositionnelle est une formule
formée que par de conjonctions (ou de disjonctions) de littéraux,
c’est qu’on appelle Forme Normale Conjonctive FNC (Disjonction
FND respectivement).
• On définit un littéral comme étant un atome ou sa négation.
• Ordre de précédence des connecteurs:
o L’ordre décroissant des priorités est : ¬, ∧, ∨, ⇒,⇔
o Lorsque le même connecteur se répète la priorité est de gauche à
droite.
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o Exemple:
La logique des propositions
P⇔Q ∧R est équivalente à (P ⇔(Q∧R))
⇒ ∧ ∨ est équivalente à (P⇒((Q∧(¬R))∨S)
⇒ ∧
∨ )
P⇒Q∧¬R∨S
P∧Q∧R∧S
∧ ∧ ∧ est équivalente à (((P∧Q)∧R)∧S)
∧ ∧ ∧
• Valeur de vérité
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P
Q
¬P
P∧Q
P∨Q
P⇒Q
(¬P∨Q )
P⇔Q
(P∧Q)∨(¬Q)
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
V
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La logique des propositions
• Implication:
o Prenons un exemple « Il pleut. » ⇒ « Le sol est mouillé. ». Cette
proposition est vraie s'il suffit qu'il pleuve pour que le sol soit
mouillé. Mais attention si le sol est mouillé il ne pleut pas
forcément (le fleuriste peut avoir vidé un sceau d'eau sur le sol).
o En revanche si le sol est mouillé, il est impossible de prévoir s'il
pleut ou non.
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Calcul des prédicats
La logique des propositions
• Dans cet exemple. Je dis : s'il pleut alors le sol est mouillé, cela veut
dire bien qu'il est impossible qu'il pleuve et que le sol ne soit pas
mouillé.
• En formalisant on obtient ¬(« Il pleut. » ∧ ¬ « Le sol est mouillé. »).
Et d'après les lois de Morgan
¬« Il pleut. » ∨ ¬¬« Le sol est mouillé. », c'est à dire ¬« Il pleut. » ∨ «
Le sol est mouillé. »
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La logique des propositions
• Exercice 1:
P=“Amna est forte en math”
Q=“Hichem est fort en chimie”
Représenter les affirmations suivantes sous forme symbolique à l’aide
des propositions P ,Q.
1-Amna est forte en math mais Hichem est faible en chimie
2-Amna est forte en math si Hichem est faible en chimie
3-Amna est forte en math et Hichem est fort en chimie implique que
Amna est forte en math et Hichem est faible en chimie.
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La logique des propositions
• Exercice 2:
Déterminer les valeurs de vérité des propositions suivantes:
1- “π vaut 4 et la somme des angles d’un triangle vaut 180° ”
2- “π vaut 3,14159… implique la somme des angles d’un triangle
vaut 180°”
3-“π vaut 4 implique que la somme des angles d’un triangle vaut
182°”
4- “2 est plus grand que 3 et l’eau bout à 100°”
5- “Si 6 est plus petit que 7 alors 7 est plus petit que 6”
6- “81 est divisible par 7 implique que 121 est divisible par 11”
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Calcul des prédicats
La logique des propositions
• Exercice 3:
Construire la table de vérité des formes propositionnelles suivantes:
1. (¬P∨Q)
∨
2. (¬P) ⇒(P∨Q)
3. ¬((¬P) ∧(¬Q))
∧
4. (P∧Q) ⇒(¬Q)
5. (P⇒Q) ∨(Q⇒P)
6. (P⇒(¬P)) ∨(Q⇒(¬P))
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La logique des propositions
Formule d’équivalence
1.
Implication : A ⇒
⇒B ≡ ¬A ∨
∨B
2.
Equivalence: A⇔B
⇔ ≡ (A ⇒ B ) ∧ (B ⇒ A )
3.
Commutativité: A∧B
∧ ≡ B∧A
∧
A∨B
∨ ≡ B∨A
∨
4.
Associativité: A∧(B∧C) ≡ (A∧B)∧C
A∨ (B∨C) ≡ (A∨B) ∨C
5. Distributivité: A∧(B∨C) ≡ (A∧B) ∨(A∧C)
A∨ (B∧C) ≡ (A∨B) ∧(A∨C)
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Calcul des prédicats
La logique des propositions
6.
A∧V ≡ A
A∨
∨V≡V
7.
A∧F
∧ ≡ F
A∨
∨F≡A
8. Complémentarité: A∧¬A
∧ ≡F
A∨¬A ≡ V
9.
¬(¬A) ≡ A
10. Lois de Morgan: ¬(A∧B) ≡ ¬A∨¬B
¬(A∨B) ≡ ¬A∧¬B
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La logique des propositions
11. A∨((¬A) ∧B) ≡(A∨((¬A) ) ∧(A∨B) ≡ V∧(A∨B) ≡ (A∨B)
12. Identité: A∧A
∧ ≡A
A∨A ≡ A
Quelques notions classiques
• Interprétation: L’interprétation d’une formule g composée d’un
ensemble d’atomes P, Q, R,… est une assignation de valeur de vérité
(Vrai ou Faux). Une interprétation qui rend une formule vrai est appelé
modèle de cette formule.
• Equivalence : Deux formules sont équivalentes si elles ont les mêmes
valeurs de vérité dans toutes interprétations.
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La logique des propositions
• Validité: Une formule est valide et une tautologie si elle est vrai dans
toute interprétation. Exp: A∨¬A
• Inconsistante: Une formule inconsistante ou insatisfesable si elle est
fausse dans toute interprétation. Exp: A∧¬A
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La logique des propositions
• Propriété:
o Une formule est valide ssi sa négation est inconsistante
o Une formule est inconsistante ssi sa négation est valide
o Une formule est invalide ssi il existe au moins une interprétation sous
laquelle la formule est fausse
o Une formule est consistante ssi il existe au moins une interprétation
sous laquelle la formule est vraie
o Si une formule est valide alors elle est consistante mais pas vice versa
o Si une formule est inconsistante alors elle est invalide mais pas vice
versa
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Calcul des prédicats
La logique des propositions
• Conséquence logique:
o Soient des formules F1, F2, …,Fn et une formule G. G est dite
conséquence logique de l’ensemble F1, F2, …,Fn ssi toute
∧ F2∧
∧ …Fn est vraie alors G est aussi
interprétation I dans laquelle F1∧
vraie. Les Fi sont des axiomes appelées aussi les prémisses de G.
o Soient des formules F1,…Fn et G. G est une conséquence logique de
F1, F2, …Fn ssi la formue ((F1∧F2∧…∧Fn) ⇒G) est valide.
o G est une conséquence logique de F1,…Fn ssi (F1∧F2∧…∧Fn∧¬G) est
inconsistante.
o Pour montrer si une formule est une conséquence logique d’un
ensemble de formules, on peut
utiliser
l’un des 3 théorèmes précédents.
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Calcul des prédicats
Règles d’inférence
• Une règle d’inférence est une règle qui nous permet :
• La représentation d’un procédé à partir d’une ou plusieurs formules
pour deriver d’autres formules
• d’inférer (déduire) de nouvelles formules à partir d’un ensemble de
formules.
• Parmi les règles d’inférences:
o Modus Ponens: Si on a 2 formules F et F⇒G alors on peut dériver G.
o Modus Tollens: Si on a deux formules ¬G et F⇒G alors on peut
déduire la formule ¬F.
o Enchainement: Si A⇒B et B⇒C alors A⇒C
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Règles d’inférence
Les formules initiales sont appelées axiomes et les formules obtenues
par application des règles d’inférence sont appelés théorème.
Exemple:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Batterie_ok∧Ampoule_ok⇒Phares_ok
Batterie_ok∧Starter_ok∧¬reservoir_vide⇒Moteur_démarre
∧
∧
⇒
Moteur_démarre∧Pneu_plat⇒voiture_ok
Phare_ok
Batterie_ok
Starter_ok
¬reservoir_vide
¬Voiture_ok
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