Chapitre 8 – Parallélogrammes I. Le parallélogramme 1. Activité → Activité 1 : Construction d'un parallélogramme 2. Définition Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Exemple : avec les carreaux (AB) // (DC) et (AD) // (BC) + Notation : Donner tous les noms possibles du parallélogramme tracé 3. Propriétés d'un parallélogramme Propriété : Un parallélogramme admet un centre de symétrie qui est le point d'intersection de ses diagonales. Exemple : I est le centre de symétrie de ABCD. Propriétés : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors, - ses diagonales ont même milieu. - ses côtés opposés ont même longueur. - ses angles opposés sont égaux. Démonstration : Le point d'intersection I des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme ABCD. Donc A et C sont symétriques par rapport à I et B et D sont symétriques par rapport à I. Donc I est le milieu de [AC] et aussi le milieu de [BD]. Donc les diagonales de ABCD ont le même milieu, le point I. La symétrie centrale conserve les longueurs donc AB = DC et AD = BC. Les angles ABC et CDA sont symétriques par rapport à I et les angles DAB et BCD aussi. Or la symétrie centrale conserve les mesures d'angles. Donc ABC = CDA et DAB = BCD . Exemple : - EXERCICES : n ° 2 p 137 / n ° 3 p 137 Dans le parallélogramme ABCD, les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu I AB = DC et AD = BC ABC = CDA et DAB = BCD 4. Propriétés réciproques Propriétés : 1. Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles alors ce quadrilatère est un parallélogramme. 2. Si les côtés opposés d’un quadrilatère (non croisé) ont la même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme. 3. Si deux côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles et de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme. 4. Si les diagonales d’un quadrilatère ont même milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme. 5. Si les angles opposés d’un quadrilatère ont la même mesure alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Exemples : 1) Énoncé : LOUP est un quadrilatère tel que LO = PU = 4 cm et LP = OU = 6cm. Que peut-on dire du quadrilatère LOUP ? Justifier. Hypothèses : LO = PU et LP = OU Or si les côtés opposés d’un quadrilatère ont la même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Conclusion : LOUP est un parallélogramme. 2) Énoncé : SAXO est un quadrilatère tel que (SA) et (SO) sont parallèles et SA = OX . Que peut-on dire du quadrilatère SAXO ? Justifier. Hypothèses : (SA) est parallèles à (OX) et SA = OX Or si deux côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles et de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Conclusion : SAXO est un parallélogramme. 3) Énoncé : I est le milieu de [EG] et I est le milieu de [HF]. Que peut-on dire du quadrilatère EFGH ? Justifier. Hypothèses : I est le milieu de [EG] et I est le milieu de [HF] Or si les diagonales d’un quadrilatère ont même milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Conclusion : EFGH est un parallélogramme. EXERCICES : n ° 4 p 138 / n ° 5 p 138 / n ° 6 p 138 / n ° 7 p 138 5. Tracé d'un parallélogramme → Carreaux puis équerre et règle puis compas EXERCICES : n ° 16 p 139 / n ° 17 p 139 / n ° 18 p 139 / n ° 19 p 139 / n ° 20 p 139 II. Parallélogrammes particuliers 1. Le rectangle Propriété : Un rectangles est un parallélogramme donc : • ses côtés opposés sont parallèles ; • ses côtés opposés sont de même longueur ; • ses diagonales se coupent en leur milieu. De plus les diagonales d'un rectangle ont la même longueur. Exemple : Le parallélogramme ABCD est un rectangle, donc AC = BD. A B O Remarque : OA = OB = OC = OD. C D Propriété: Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires, alors c'est un rectangle. Propriété: Si un parallélogramme possède des diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle. 2. Le losange Propriété: Un losange est un parallélogramme donc : • ses côtés opposés sont parallèles ; • ses côtés opposés sont de même longueur ; • ses diagonales se coupent en leur milieu. De plus les diagonales d'un losange sont perpendiculaires. A Exemple : Le parallélogramme ABCD est un losange, donc AC ⊥ BD . D B C Propriété: Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange. Propriété: Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange. 3. Le carré Un carré est à la fois un rectangle et un losange. Il possède donc toutes les propriétés du rectangle et du losange. Propriété: Si un quadrilatère est à la fois un losange et un rectangle, alors c'est un carré. EXERCICES : n ° 8 p 138 / n ° 12 p 138 / n ° 13 p 138 / n ° 29 p 140 / n ° 30 p 140 4. Schéma récapitulatif EXERCICES : n ° 41 p 141 / n ° 42 p 141 / n ° 43 p 141 / n ° 48 p 142 / n ° 50 p 142