S ÉMINAIRE N. B OURBAKI G EORGES Z ELLER -M EIER Dérivations et automorphismes des algèbres d’opérateurs Séminaire N. Bourbaki, 1966-1968, exp. no 324, p. 179-188 <http://www.numdam.org/item?id=SB_1966-1968__10__179_0> © Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 1966-1968, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki. ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire BOURBAKI 1966/67, 19e année, n° DÉRIVATIONS 324 Février 1 967 AUTOMORPHISMES ET (D’après KAPLANSKY a montré montré a [8~ [5] ) Georges ZELLER-MEIER [6 ] , [7 ] que bre laissant fixe le centre d’une SAKAI D’OPÉRATEURS ALGEBRES R. V. KADISON et J. R. RINGROSE par 1. DES toute dérivation et tout AW*-algèbre de sont intérieurs. I type automorphisme d’algè- que toute dérivation d’une est continue. Puis, Enfin, KADISON, RINGROSE, SAKAI ont montré [3] , [ 4 ] , [9] :. THÉORÈME 1.- Toute dérivation d’une Hilbert H se prolonge C*-algèbre d’opérateurs En rable admet une représentation? topologie forte,y dans limage (l’automorphisme continue pour la le groupe des désignera C*-algèbre sous-groupe Si Neumann est intérieure, A par A les topologie Aut(A) des simple II1, le groupe [5] . métrique complet la des automorphismes d’une uniforme, par Int(A) le topologie de la convergence automorphismes intérieurs (*) de A et par d’unité, phisme intérieur de de la convergence automorphismes d’un facteur de type pour la distingué n’a pas sur identique excepté) étant formée d’automorphismes extérieurs. 20 Notations et énoncé des résultats de (*) von ce pour la On espace de automorphismes, d’algèbres qui suit? ne se prolonge pas à certains facteurs de type a montré C1.] que tout groupe localement BLATTNER particulier compact sépa- involutives dans tout 0 un e On sait par contre que le résultat de KAPLANSKY II1. dans dérivation intérieure de 1°adhérence faible de A en une particulier toute dérivation d’une algèbre de En 1 ce sont les C~~a.lgèbre automorphismes avec 179 unité 1 se prolongeant associée à A . 0 T((A) en le automor- G. ZELLER-MEIER distingué des automorphismes de A qui, pour toute concrétisation de A dans un espace de Hilbert, se prolongent en automorphisme intérieur de l’adhérence faible de A. On rappelle que tout automorphisme d’une C*-algèbre est isométrique et on renvoie à [2] pour les propriétés de ces algèbres. Les résultats sous-groupe principaux de [ 5 J sont : THÉORÈME 2.alors A Si est appartient à a C*-algèbre une un sous-groupe à topologie uniforme. La ouvert engendré ces sous-groupes à est une par COROLLAIRE.- Si A et si un algèbre (en D’où le résultat suivant de von contraste E Aut(A) paramètre composante neutre 1 un ce (A) paramètre. avec Aut(A) Aut(A) de Neumann, de Enfin 2, continu pour la est un sous-groupe C on a alors Int(A) = (A) = BLATTNER) : celui de dnun groupe topologique connexe, continue pour la le groupe des automorphismes d’une algèbre de von Neumann morphismes intérieurs. tation ~03B1 - 1 I( C est tel que représentopologie uniforme, dans a son toute image formée d’auto- 3. Esquisses des démonstrations. Pour le Th. 1 KAPI.ANSKY que l’algèbre L(H) rence dans premier temps, en utilisant le résultat de toute dérivation de A se prolonge en une dérivation intérieure de des opérateurs bornés dans H ; puis on étudie les cas où l’adhé- faible de montre p on A un est soit semi-finie soit de type III. dérivation d’une algèbre suffirait de démontrer que toute On peut remarquer qu’il de von Neumann envelop- pante est intérieure. Donnons plus de détails On sait de Banach a est qu’un L un sous-groupe à est de la forme sous-groupe à morphismes de mitienne sur A (i.e. Supposons un la démonstration du Th. 2 : un continu pour la t ~ R exp paramètre, si et seulement si ~ (a*) = ( S (a) )~’ A paramètre at et continu pour la = exp t pour tout a concrète dans l’espace de Hilbert H dans une algèbre 03B4 ~ L . On en déduit que topologie uniforme, d’auto- S où 6 dans norme 1) est une de 1 . et soit S dérivation her- une dérivation ALGÈBRES D’OPÉRATEURS hermitienne de par le Th. 1 A ; hermitien de l’adhérence faible A définie de y E et ; il ex E. Aut(A) LEMME 1.- Si t ad S (A où est x élément anti- un est la dérivation intérieure x x)(y) = (exp tx)y(exp - tx) prolonge se pour automorphisme en un E bitransposé est le A de de de assertion du théorème 2. il¿.( 2 , alors pour toute représentation prolonge se (par A automorphisme à en fonctorialité ou 1 de bitransposition). Puisque Comme on , l’algèbre de 1 j) = ~~à - 1 )j . 1 d’une morphisme C*-algèbre abélienne est tel que )) a - 1 fi prète a comme un homéomorphisme du spectre), si y a - 1))~. 2, à a - de c~ (~). quasi-équivalente est automorphisme a Neumann enveloppante à - 1 x ad exp t première et ii a - 1 Tout von et (exp résulte que en Il suffit donc de montrer la a A de ad = A. intérieur de o  On vérifie que x. par a S on = un (on 2 auto- inter- induit l’auto- morphisme identique du centre de E. Or l’ensemble des classes de représentations 03C6 classe de 03C6 correspond s’identifie à l’ensemble des A de où e représentation normale (p de induit l’application e t2014~ â LEMME 2.- Si H est un Soient v un H y le projecteur e E est le e - plus grand projecteur du noyau de la prolongeant 1(e) , et un opérateur opérateur unitaire unitaire dans sur l’application 03C6 ~ 03C6 o a d’où le lemme. espace de Hilbert et si )) a - 11) ~ 2 , il existe de 1 dedquasi-équivalence centre projecteurs/de E (à la H le sous-espace ce u (H) ) E dans H induisant est tel que induisant $ a , entendre par 03BE . un a et tel que : vecteur unitaire on a : 1 2(1-)(v~~)~)~ ._ (*) En fait, grâce au Th. 2, on - - _ _ ~ voit que ~ ~p ~ o ~ ce ~ r r est r r r r r r r équivalente à r r ~p . r r r r r r r Or puisque est normal l’adhérence de l’ensemble des v taire dans à l’enveloppe égale est H , K convexe (v~~) , Sp(v) . de est uni- t Donc si est J~ la u projection de | |-1 = LEMME 3.- et si a est Aut(A) alors f C (d’où a =. ~ exp ad sous-groupe à un un x) opérateur et Sp L(x) - R(x) et 03B1 dre les valeurs de opérateur > dans espace de Hilbert un unitaire dans u ~(~(B)) paramètre, sur sur ad o~(H) = défini par dans x ~ (H) et droite de L(u)R(u*) Pour avoir 0 L(x) H x ... ad () En (*)), de même L = x exp et R On les a il suffit de pren- x sous-algèbre abélienne maximale d’où on 5 fait, B~ a, pour == on servent les holomorphe exp ad x 2 y dans et sait que les spectres. Log03BB exp t = Sp gt(exp une ad que on a : = {03BB ~ C jB gt(03BB) cul fonctionnel comme u o~ ( ~ (H) ) . dans Sp l’hypothèse tel que R(x) (qui commutent) ; et ~ {03B |03B , ~ Sp u} ~ 03A9 pour et, Vu u . S.’B . Soient C x des caractères d’une x contenant Sp il ; topologie (remarquer Sp Soit, tel que: continu pour la Sp ad x Sp 03B1 H H 0 ~. un anti-hermitien représentations régulières gauche == U~)~> 0 . D’où 1 Aut(A) . u ~ il existe x un a l’automorphisme intérieur de Soit ad (l - - C*-algèbre d’opérateurs une appartient à uniforme, de sur ~~ on a est induit par Sp(u) a K ~ sur convient. v Si A 6 0 x X) algèbre la = réel négatif} . 03BBt détermination principale de exp de non t ’X . Par les propriétés du Banach, on a on peut donc définir g+(S) gt(exp ad x) représentations régulières = d’une algèbre = avec cal- g (S) exp t ad unité x . con- ALGÈBRES D’OPÉRATEURS étant dérivation hermitienne, D’où, ad mètre, continu pour la topologie uniforme? de x est limite Rünge, gt(03BB) en n ; mes une gt (a) donc uniforme, est limite stable le sous-espace fermé Démonstration de la tout en norme 1, sous-groupe à un compact contenu dans polynômes de polynô- à . Puisque S en para- par le théorème de Or, de un A laisse convient. assertion du Th. 20 avec son représentation fidèle somme directe inéquivalentes. L’adhérence faible A image par une représentations irréductibles deux à deux de A s’identifie à un produit d’algèbres de me est de À (H), A en norme première A On identifie sur gt(a) von Neumann de Par le lem- prolonge en un automorphisme à de â et laisse fixe son centre. KAPLANSKY, S est intérieur. Grâce au lemme 2, on montre que induit par un unitaire u de A tel que Sp u C se a Par le résultat de à est {03BB ~ C| Re 03BB > 0} . D’où le résultat par le lemme 30 Remarque 1.- Par unicité du miale voit que, on générateur infinitésimal hypothèses du lemme 3 et les sous et par approximation polynô- si a Sp Log a (où dérivation détermination principale du logarithme sur.Q ) est une hermitienne (égale à ad xIA ) de A s Il en va donc de même pour tout Log est la tel que lia - 111 ment que (la - HallI = ~03B1-1~I 2 . Une démonstration naturelle consisterait à montrer directe- 111~.2 entraîne que Log 1~I 2 =1 a (qui impliquent est bien = 1 Remarque von (donc Remarque soit une tel que Sp 2.- On trouve dans Neumann es t une construire dériva- un auto- type II1 qui soit extérieur (donc n’admettant pas dérivation hermitienne par le Th. 2) et tel que d’un facteur de morphisme de logarithme qui a3 Sp a l’on peut car que tion hermitienne. Il convient ici de remarquer que a défini a [5] une généralisation du lemme 2 algèbres aux de quelconques. 3.- Pour a E Aut(A) soit à le l’ensemble des a tels que a l’ensemble des a tels que à laisse fixe prolongement à E . Alors soit intérieur dans E ; c’est le centre de E. Si un A est sous-groupe de est de type 1 Aut(A) automorphismes d’algèbre de A ). ces deux sous-groupes de [5] 4. On trouve enfin dans relatives des sous-groupes ’~ (A) a) C ?t(A) (Th. 2) A Si et = LC(H) une A est est un C*-algèbre est la Hy On remarque abélienne b) de Un type sans 111’ = engendré Aut(A) = ce dans H et est une espace de Hilbert un M par automorphismes extérieurs et LC(H) ; idéal bilatère fermé de L automorphisme (H) ) et A se prolonge 1C(A) . spatial car M En A M n on a par la + c) = m en en général (prendre de A (où m E M représentation fidèle exemple le facteur considère A on l’espace C*-algèbre ( LC(H) est ~ ~’(H) _ (0). Puisque deux re- d’une si 03B2 est standard et la (par C*-algèbre sont équivalentes, automorphisme intérieur de A w effet, A ; d’autre part, si 03C6 est définie par a de on a est de représentation irréductible qui est faux présentations irréductibles traçables fidèles a espace = et toute Aut(A) admettant des vectoriel Pourtant un exemple où A n’est pas postliminaire. On prend M facteur standard continu), tout dans unité...). byperfini un opérateurs compacts des que représentation identique. la qu’ici prenant les on a : idéal bilatère équivalente à en de Aut(A) . Rappelons Int(A) , ~(A) , que Int(A) C 1t(A) (trivial). ’~ (A) A est aussi vrai série d’exemples illustrant les diverses positions de Hilbert de dimension infinie car (ceci coïncident se est un idA ~ 03C6 prolonge donc en un automorphisme factorielle de alors si on ~(H) ~ automorphisme extérieur de représentation et = n’obtient pas un on type II1 transporte automorphisme prolongeant se sont ~ induit par paramètre, un m’ tout de D’autre unitaire un type outre que si en u dans II) a M’ d’où part, u Une série = E M n M’ = C d’exemples où A Soit morphismes de A non dégénérée de où est l’algèbre une de sont C*-algèbre des m ~ M a et 1 M c E a a . non espace n 2, y est a alors est induit X une dégénérée A de type I et le groupe B C*-algèbre la prend A B ~ M. on = de C . En effet toute B ; est (voir de la on en représentation forme ~ ® idy déduit que le centre de égal à l’adhérence Rem. métrique En faible de = ya(m))(x) C , 3). des applications continues de effet, on identifie on ( (z))(m) des s’identifie à l’ensemble des auto- applications continues f de X dans M ; définie par abé- C*-algèbre la àa a x correspond s facteur donc n canoniquement isomorphes. dans fortiori donc pour (0) ( M’ Aut(M) fait correspondre l’automorphisme par (03B1(f))(x) = 03B2(x)(f(x)) pour tout dans X ; inversement, à continue de a on a compact X ,y 7I:(A) A, enveloppante de A un sous- Aut(A) ; LC(H) ; M’ = 1 On = de idM , = représentation Neumann dans et si est limi.na,ire. Soient équivalente à représentation von topologie uniforme, A Le groupe métrique la et est ce appartient à a sur est alors = qui induisent 1 t identi té d’où l’assertion puisque X ( idA X M Int(A) ~ %(A) . sur un le centre de 03B1|M um’ - m’u et matrices carrées complexes d’ordre = M ; donc de et lienne des fonctions continues C M’ où MI de cm’ - m’c : et si Int(A) 03B1 ~ si m + c = Aut(A) continu pour la Int(A) ~ ’0 (A) c) E unitaire du commutant un (A) . par cp)(A) _ oe(H) de disjointes). On remarque groupe à automorphisme intérieur en pour tout x dans A avec application de A défini 03B1 ~ 03C0(A) X et tout dans m M , car m EMet m ~ 0 c’est un homomorphisme injectif puisque entraîne que l’idéal bilatère engendré par a(m) A dans est égala A ). Comme avec Aut(Mn) isomorphe à est le groupe topologique des Int(A) s’identifie au Ainsi U(n)/U(1) sur Comme Tf(A) dans U(n)~U(1) . Une groupe des s’identifie au C connexe X le fibre F ) de - Si X D’autre U(n)fu(1) [10] SU(n) (par est part, est dans cano- %(A) , on voit étant relevable on déduit du ~’(A) . On a que donc étant isomorphe continues exemple X = [0,)] ) = est dans (resp. au et relevables dans dans est contractile Poincaré) qui de1 (resp. cation relevable donc est relevable dans de arcs ô (A) _ Int(A) = 1 si X S alors ~’ (A) ~t Int(A) = ~t(A) . toute application continue de S1 dans - car par d’homotopie d’applications X X applications continues inessentielles de X dans ?~(A) , groupe des classes U(n)/U(1) . défini par la projection F principal groupe des application constante de Tnt(A) dans applications continues de 2ème théorème de relèvement des homotopies C X U(n)/U(l) . est la composante que identifierons désormais applications continues de relevables dans le fibre U(n) nique de nous F isomorphe à isomorphe à Z/(n) , ( Z~(n) identifié au simplement connexe ; a (les En on a donc effet, on a est fibres sont U(n)/U(1 ) groupe des racines fortiori homotope à connexes ?i~ (U(n)~tT( 1 ) ) puisque Int(A) = 1t(A) appli- par arcs). étant le groupe est n-iémes de ~’(A) ~ Int(A) . une isomorphe à l’unité) et que ALGÈBRES D’OPÉRATEURS - Si X Int(A) ~ ~G(A) . alors = Int(A)~ J((A) le fibre car F relevable) puisque à ( N.Z ) ~t~(U(n)~U(1)) (^_’ Z~(n) ). l’application possède ne uun ne pas de section peut contenir dans effet, on a (d’où car on lui-même, qui n’est pas idx de sous-groupe (A) D’autre part U(n)ju(1) de En isomorphe aontre que est relevable dans F , est essentielle. - Enfin, si n 2 = X et si U(2)/U(1) (homéomorphe à p3) est le on 2-squelette d’une triangulation de montre que ~’(A) - Int(A) ~ RÉFÉRENCES [1] R. BLATTNER p. Automorphic group J. DIXMIER - Les [3] R. KADISON - Derivations of [4] C*-algèbres représentations. Gauthier-Villars, 1964. operator algebras. Ann. of Math. 83 R. KADISON and J. RINGROSE - Derivations of (1966), p. [6] I. KAPLANSKY - [7] I. KAPLANSKY p. (1966), operator group algebras. Amer. 562-576. R. KADISON and J. RINGROSE - Derivations and bras. Comm. Math. [8] et leurs 280-293. J. Math. 88 [5] (1958), 8 665-677. [2] p. representations. Pac. J. Math. Phys. 4 (1967), p. automorphisms 32-63. Algebras of type I. Ann. Math. 56 Modules over of operator alge- (1952), p. 460-472. operator algebras. Amer. J. Math. 75 (1953), 839-859. S. SAKAI - On a conjecture of Kaplansky. Tôhoku Math. J. 12 (1960), p. 31-33. G. ZELLER-MEIER [9] [10] S. SAKAI - Derivations of W*-algebras. N. STEENROD - Fibre Bundles. Ann. of Math. Princeton, 1951. 188 83 (1966), p. 273-279.