DS T°STI2D Probabilités

Date :
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Classe de T°STI2D
Corrigé
Contrôle de Mathématiques
PROBABILITÉS : Loi exponentielle (1 heure)
Les résultats devront être donnés
en valeur exacte simplifiée et en valeur arrondie avec 4 chiffres significatifs.
Problème : (10 points = 3 + 3 + 3 + 2 + 3 + 5)
Mana a installé 10 bornes lumineuses pour baliser le chemin d'entrée de l'hôtel.
Chaque borne est équipée d'une ampoule halogène de 35 W. Leur durée de vie en
heures T suit la loi exponentielle de paramètre 10-4.
1) Quelle est la durée de vie moyenne d'une ampoule ?
1
1
E ( X )= = −4 =10 000.
λ 10
2) Quelle est la probabilité qu'une ampoule fonctionne encore après 20 000
heures d'utilisation ?
p( X>20000)=e−20 000×10 =e−2 ≈ 0,1353=13,53 % .
3) L'ampoule est garantie 3 mois. Quelle est la probabilité qu'elle lâche avant
la fin de la garantie ?
3×12×30,5=1098.
−1 098×10
p( X<1098)=1−e
≈ 0,1040=10,4 % .
On supposera une utilisation de 12 heures par jour et on posera 1 mois =
30,5 jours.
−4
−4
Rai explique à Mana qu'il vaut mieux acheter des ampoules de nouvelle génération,
ne consommant que 1 W et dont la durée de vie moyenne est donnée pour 80 000
heures. Leur durée de vie en heures t suit une loi exponentielle de paramètre m.
1) Calculer la valeur exacte de m.
1
1
1
Comme E ( X )= , on aura m=
=
.
m
E ( X ) 80000
2) Quelle est la probabilité arrondie au millième pour que une de ces
nouvelles ampoules fonctionne encore après 20 000 heures ?
−
20000
80000
p( X>20000)=e
=e−0,25 ≈ 0,7788=77,88 % .
3) L’entreprise qui fabrique ces ampoules désire offrir une garantie pour
encourager les gens à acheter ce nouveau modèle.
Quelle durée de garantie peut-elle offrir sans que cela lui coûte plus de 2%
des ampoules vendues ?
On considérera que ce coût est égal au prix de vente fois le nombre
d'ampoules à remplacer sous garantie.
−x
80000
−x
80000
Il faut avoir p( X<x )<2 % soit 1−e
<0,02 <=> −e
<−0,98
x
<=> −
>ln(0,98) <=> x<−80000 ln(0,98)≈ 1616 heures,
80000
1616
soit, en gardant 12h par jour et 30,5 jours par mois, x<
≈ 4,4 mois .
366
On peut donc proposer sans grand risque une garantie de 4 mois.