1 Nombres entiers et rationnels CHAPITRE II 1. Division euclidienne Dividende Diviseur 37 8 5 4 37 8 4 5 Reste 364 13 104 28 0 Quotient 364 13 8 Dividende = Quotient Diviseur + Reste 2. Diviseurs d’un nombre Comme le reste de la division de 364 par 13 est nul, on dit que 13 est un diviseur de 364. 25 a 3 diviseurs : 25 , 5 , 1 29 n’a pas de diviseurs autres que lui même et 1. On dit que 29 est un nombre premier. 3. Pour calculer à la main un PGCD Tous les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Tous les diviseurs de 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20 Le Plus Grand des Diviseurs Communs est donc 20 Le PGCD de 60 et 100 est donc 20, on note PGCD(60,100) = 20 4. Fractions irréductibles On simplifie la fraction suivante : on dit que 56 28 7 72 36 9 On ne peut plus simplifier 7 , 9 7 est une fraction irréductible 9 Une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux Pour simplifier plus facilement, il faudrait savoir par quoi diviser le numérateur et le dénominateur, c’est à dire trouver le plus grand diviseur commun : le PGCD 5. Nombres premiers Définition : Un nombre est premier s’il possède deux diviseurs uniques qui sont 1 et lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Cette liste est infinie. 6. Nombres premiers entre eux Propriété : On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Exemple : Tous les diviseurs de 10 sont : 1, 2, 5, 10 On dit que 10 et 7 sont premiers entre eux. Tous les diviseurs de 7 sont : 1, 7 donc PGCD(10,7) = 1 2 7. Algorithme d’Euclide ( calcul du PGCD de deux nombres entiers) A Chaque étape, Le diviseur devient le Exemple avec le PGCD de 324 et 264 dividende et le reste Présentation 1 devient le diviseur. Etape 1 324 264 60 1 Etape 2 Etape 3 Etape 4 264 60 60 24 24 12 24 4 12 2 0 2 le PGCD est le dernier reste non nul A Chaque étape, Présentation 2 Le nombre b (diviseur) devient a ( dividende) et le reste devient le b Etapes 1 2 3 4 a dividende 324 264 60 24 b diviseur 264 60 24 12 Reste le PGCD est le dernier reste non nul (diviseur). 60 24 12 0 Le PGCD 324 et 264 est 12 Des exemples page 13 du livre. Avec la calculatrice Ex 46 page 18 Avec un ordinateur Ex 98 page 22 PGCD ( 324 ;264) = 12