les nombres - Maths learning

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LES NOMBRES
1. Les nombres entiers.
On a vu dans les classes précédentes :
•
Les nombres entiers naturels, qui sont des entiers positifs. Leur symbole est ` .
•
Les nombres relatifs : ce sont des entiers qui peuvent être négatifs ou positifs. Leur symbole est ] .
2. Les nombres décimaux.
Définition.
Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’un quotient d’un nombre entier relatif par une puissance de 10.
Le modèle est : A =
a
, a est un entier relatif et n un entier naturel.
10n
Remarque :
•
17
= 0,17
102
•
5
= 5 , qui est également un entier naturel.
100
•
−70
= −7 , qui est également un entier relatif.
10
Retenons que les entiers naturels et les entiers relatifs sont contenus dans les nombres décimaux.
Mais attention la réciproque est fausse !
C'est-à-dire que tous les nombres décimaux ne sont pas des nombres entiers naturels ou des nombres
entiers relatifs.
A CHERCHER.
Exercice 1.
Les nombres suivants sont-ils des nombres décimaux ?
−0,18
;
4
8
9
;
7
25
5
4
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3. Les nombres rationnels.
3.1
Définition.
Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’un quotient de deux entiers relatifs.
Le modèle est : A =
Exemples :
3.2
a
avec a et b nombres entiers relatifs et b ≠ 0
b
2 −7 5 −9
,
,
,
3 4 −8 −11
Cas particuliers.
a a
= = a qui est un nombre entier relatif (ou un entier naturel s’il est positif)
b 1
•
Si b = 1 , alors
•
Si b divise a alors
•
Si b = 10 ou se décompose à l’aide de 2 ou de 5, alors
a
= n qui est un entier relatif (ou un entier naturel s’il est positif)
b
a
est un nombre décimal.
b
Exemples :
21
21
= 2
Ici, 20 se décompose en un produit de puissances de 2 et de 5. Donc la division va tomber juste et
20 2 ×5
on obtiendra le nombre décimal 1,05.
16
= 2 Qui est un entier naturel.
8
3.3
On retiendra que :
Les nombres entiers (naturels et relatifs) sont contenus dans les nombres décimaux, qui sont contenus dans les
nombres rationnels.
Un nombre qui n’est pas un nombre rationnel est appelé nombre irrationnel.
Exemples :
5 ; π ; cos 30° ......
EXERCICE 2
A chercher
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ?
1. 0,5 est un nombre rationnel.
2. Tout nombre entier est un nombre décimal.
3.
1
est un nombre décimal.
3
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4. Tout nombre rationnel est un nombre décimal.
5. Tout nombre décimal est un nombre rationnel.
6.
π est un nombre rationnel.
4. Diviseurs d’un nombre entier relatif.
4.1
Définition.
Soient a et b deux entiers relatifs (b ≠ 0)
On dit que b est un diviseur de a s’il existe un entier n tel que : a = b×n
On dira que : b divise a, ou encore que a est un multiple de b.
Exemple :
24 = 3×8
donc 3 et 8 sont des diviseurs de 24
Mais aussi :
24 = 2 ×12
donc 2 et 12 sont des diviseurs de 24
Ou :
24 = (−6)×(−4)
donc −6 et − 4 sont des diviseurs de 24
Ainsi, 24 possède donc plusieurs diviseurs (positifs ou négatifs).
Remarque :
•
1 est un diviseur de tous les nombres.
•
Tout nombre entier non nul est un diviseur de 0.
4.2
Les critères de divisibilité.
Il faut connaître les critères de divisibilité élémentaires.
•
Un nombre est divisible par 2, s’il se termine par : 0, 2, 4, 6 ou 8 (on dit qu’il est pair).
•
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres se divise par 3 (voir alors la table de
multiplication !).
•
Un nombre est divisible par 5, s’il se termine par 0 ou par 5.
EXERCICE 3
A chercher.
On considère deux nombres A et B composés de quatre chiffres qui s’écrivent de la façon
suivante :
A = 74,5
;
B = 187,
1. Déterminer le chiffre manquant dans le nombre A afin qu’il soit divisible par 9
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2. Déterminer le chiffre manquant dans le nombre B afin qu’il soit divisible par 3 et 2. Donner toutes les
possibilités.
3. Simplifier alors la fraction
4.3
A
. Donner tous les cas possibles.
B
Les nombres premiers.
On dit qu’un entier naturel est premier lorsqu’il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemple :
5 = 1×5
donc 5 se divise par 1 et par 5 : c’est un nombre premier.
Mais : 1 n’est pas un nombre premier puisqu’il n’admet qu’un seul diviseur !
Remarque :
2 = 1× 2
donc 2 est un nombre premier et c’est le seul nombre premier pair (les autres nombres
premiers sont tous des nombres impairs)
Pourquoi les nombres premiers différents de 2 sont-ils tous impairs ?
EXERCICE 4
A chercher.
Le crible d’Ératosthène.
Dans le tableau ci-dessous, barrer tous les multiples de 2, sauf 2.
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Barrer ensuite tous les multiples de 3 sauf 3.
Faites de même avec tous les multiples de 5 sauf 5.
Faites de même avec tous les multiples du nombre non barré suivant, sauf ce nombre.
Recommencer pout tous les nombres non barrés.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Que peut-on dire des nombres non barrés ?
4.4
Propriété des nombres entiers.
a) Tout nombre entier peut s’écrire sous la forme d’un produit de puissances de nombres premiers.
Exemples :
12 = 22 ×3
;
35 = 5×7
;
36 = 22 ×32
b) Présentation et méthode pour trouver cette décomposition.
•
On divise 12 par son diviseur le plus petit
et on recopie le quotient 6 de la division
sous 12.
•
On divise 6 par son diviseur le plus petit et
on recopie le quotient 3 sous 6
•
On continue ainsi jusqu’à trouver 1 comme
quotient.
12
2
6
2
3
3
1
12 = 22 ×3
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EXERCICE5
A chercher.
Décomposer les entiers naturels suivants en produit de puissances de nombres premiers.
123
123
123 =
92
156
92
156
92 =
156 =
4.5
Nombres premiers entre eux.
Définition :
Deux nombres sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.
EXERCICE 6
A chercher.
Dire si les nombres suivants sont premiers entre eux.
42 et 72
63 et 40
4.6
Trouver la liste complète des diviseurs positifs d’un entier naturel.
Exemple : trouver la liste des diviseurs de 12.
4.6.1
Méthode : on utilise un arbre.
•
Étape 1 : on décompose le nombre en produit de facteurs premiers.
Ainsi : 12 = 22 ×3
•
Étape 2 : on construit un arbre dont les branches sont constituées des puissances de 0 à n des facteurs
premiers de la décomposition précédente.
•
Étape 3 : on fait le produit des nombres obtenus à l’extrémité de chaque branche.
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Réalisation de l’arbre avec 12 = 2 2 × 3 .
4.6.2
12
21
20
22
30
31
30
31
30
31
1
3
2
6
4
12
La liste des diviseurs de 12 est : 1, 2, 3, 4, 6 et 12
Les « diviseurs propres de 12 », c'est-à-dire les diviseurs autres que 12 sont : 1, 2, 3, 4 et 6.
5. Plus grand diviseur commun à deux entiers naturels
(PGCD).
5.1
Définition :
Soient deux entiers a et b strictement positifs.
En s’intéressant à la liste de leurs diviseurs, on cherche quel est le diviseur commun le plus grand de tous.
Ce nombre sera noté PGCD (a ; b)
EXERCICE 7
A chercher.
Par la méthode de l’arbre, rechercher PGCD (12 ; 18).
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5.2
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Propriétés du PGCD.
Soient a et b deux nombres entiers strictement positifs ( a > b ) et soit r le reste de la division euclidienne de a
par b.
On retiendra que :
1.
PGCD (a ; b) = PGCD (a ; a − b)
2.
PGCD ( a ; b) = PGCD (b ; r ) r étant le reste de la division euclidienne de a par b (voir plus loin la
(voir plus loin la méthode des soustractions successives)
méthode de l’algorithme d’Euclide)
3. Remarque : si PGCD (a ; b) = 1 alors a et b sont premiers entre eux.
5.3
Recherche d’un PGCD.
La méthode de l’arbre n’est pas forcément la méthode la plus rapide.
En classe de troisième, on demande de connaître deux autres méthodes plus efficaces lorsque les nombres sont
grands.
5.3.1
Méthode de l’algorithme des différences.
Propriété utilisée : PGCD (a ; b) = PGCD (a ; a − b ) avec a > b
Méthode :
•
On soustrait le plus petit nombre du plus grand.
•
Si le résultat trouvé est égal au plus petit des deux nombres : c’est le PGCD.
•
Sinon, on recommence en retranchant le résultat trouvé au plus petit des deux nombres précédents (ou le
contraire si nécessaire).
Exemple :
Par l’algorithme des différences, chercher PGCD (182 ; 117).
On dispose les calculs de la manière suivante :
182 −117 = 65
117 − 65 = 52
65 − 52 = 13
52 −13 = 39
39 −13 = 26
26 −13 = 13
Le dernier résultat trouvé : 13, étant égal au plus petit des deux nombres, c’est lui le PGCD.
On écrira : PGCD (182 ; 117) = 13
EXERCICE 8
Rechercher par la méthode des soustractions successives PGCD (63 ; 27)
A chercher
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5.3.2
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Méthode par l’algorithme d’Euclide.
Propriété utilisée : PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)
r étant le reste de la division de a par b.
Étapes de la méthode :
•
Étape 1 : on fait la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit.
•
Étape 2 : on examine le reste de cette division.
o
Si le reste est nul alors le PGCD est le diviseur de la division.
o
Sinon, on recommence l’Étape 1 entre le diviseur et le reste de la division.
Exemple : disposition des calculs pour rechercher PGCD (182 ; 117)
D
d
r
182
117
65
117
65
52
65
52
13
52
13
0
Le dernier reste étant nul lors de la division par 13, ainsi : PGCD (182 ; 117) = 13
EXERCICE 9
Rechercher par la méthode de l’algorithme d’Euclide PGCD (156 ; 91)
A chercher
5.4
Utilisation du PGCD : rendre une fraction irréductible.
5.4.1
Définition :
Soient a et b deux entiers naturels (b ≠ 0)
On dira que la fraction
5.4.2
a
est irréductible lorsque les nombres a et b sont premiers entre eux.
b
Méthode :
Pour obtenir la fraction irréductible égale à la fraction
a
, il suffit de diviser a et b par leur PGCD.
b
Exemple : PGCD (182 ; 117) = 13
117 117 ÷ 13 9
=
=
Qui est irréductible puisque 9 et 14 sont premiers entre eux.
182 182 ÷ 13 14
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5.5
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Utilisation du PGCD pour résoudre un problème de partage équitable.
Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises.
Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces fruits en les utilisant tous et en obtenant le maximum de
tartelettes identiques.
1. Calculer le nombre de tartelettes.
Chaque tartelette contenant le même nombre de fruits, le nombre de tartelette divise exactement 411 et
685.
Le nombre de tartelettes est donc le PGCD (411 ; 685), que l’on calcule ici.
D
d
685
411
r
2. Calculer le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette.
EXERCICE 10
A chercher.
Dans une salle de bain, on veut recouvrir le mur situé au-dessus de la baignoire avec un
nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de
centimètres le plus grand possible.
1. Déterminer la longueur du côté d’un carreau sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de
largeur.
2. Combien faudra-t-il alors de carreaux ?
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