Le condensateur et le dipôle RC - Kademia.tn Cours en ligne, Collège

Thème 1 : Evolution de systèmes
Chapitre 1 : Le condensateur et le dipôle RC
Le condensateur
Un condensateur est un dipôle électrique formé de deux plaques conductrices symétriques
séparées par un isolant appelé diélectrique. Il possède une charge qui correspond à celle de
l’armature positive de formule :
𝒒 = 𝑪. 𝑼𝑪
Détermination de la capacité d’un condensateur
On détermine la capacité du condensateur par une méthode théorique en utilisant la formule :
𝑪 = Ɛ.
𝑺
𝒆
C : la capacité en Farads (F)
Ɛ : la permittivité du diélectrique en Farads / mètre (Fm -1)
S : la surface des armatures (m2)
e : épaisseur du diélectrique (m)
Relation entre intensité i du courant et charge q d’un condensateur
𝐢(𝐭) = 𝐥𝐢𝐦
𝜟𝒕⟶𝟎
𝜟𝒒 𝒅𝒒
=
𝜟𝒕 𝒅𝒕
Energie emmagasinée par le condensateur
L’énergie emmagasinée par le condensateur s’exprime par :
𝑬𝑪 =
𝟏
𝑪𝑼𝑪 2
𝟐
Or 𝒒 = 𝑪. 𝑼𝑪
𝒒𝟐
𝒅 𝒐ù 𝑬𝑪 =
𝟐𝑪
′
1
Cette énergie s’exprime en Joules (J).
Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension
Un échelon de tension est un signal électrique nul avant un instant t 0, et de tension constante
après cet instant.
Appliquons la loi des mailles
UC +UR – E = 0
 UC +UR = E
 UC + Ri = E
Or 𝑖 =
𝒅𝒒
𝒅𝑼𝑪
et 𝒒 = 𝑪. 𝑼𝑪 donc 𝒊 = 𝑪.
𝒅𝒕
𝒅𝒕
 𝑼𝑪 + 𝑹 𝑪.
𝒅𝑼𝑪
𝒅𝒕
=𝑬
On pose 𝑅𝑐 = 𝜏
 𝑼𝑪 (𝒕) + 𝝉.
𝒅𝑼𝑪 (𝒕)
𝒅𝒕
=𝑬
Cette équation différentielle est de solution :
𝑼𝑪 (𝒕) = 𝑨 + 𝑩𝑒 −𝛼𝑡
Détermination de A, B et α :
A t = 0, le condensateur est initialement déchargé d’où
 𝑼 𝑪 (𝟎) = 𝟎
 𝑼 𝑪 (𝟎) = 𝑨 + 𝑩 = 𝟎
 𝑩 = −𝑨 ou 𝑨 = −𝑩
𝑼𝑪 (𝒕) = 𝑨 − 𝑨𝒆−𝜶𝒕
Appliquons la dérivée :
𝒅𝑼𝑪 (𝒕)
= 𝜶𝑨𝒆−𝜶𝒕
𝒅𝒕
2
Remplaçons 𝑼𝑪 (𝒕) et
𝒅𝑼𝑪 (𝒕)
𝒅𝒕
dans l’équation différentielle
 𝑨 − 𝑨𝒆−𝜶𝒕 + 𝝉𝜶𝑨𝒆−𝜶𝒕 = 𝑬
 𝑨 + 𝑨𝒆−𝜶𝒕 (−𝟏 + 𝝉𝜶) = 𝑬
En égalisant membre à membre cette équation :
 A = E et 𝑨𝒆−𝜶𝒕 (−𝟏 + 𝝉𝜶) = 𝟎
 −𝟏 + 𝝉𝜶 = 𝟎
 𝜶=
𝟏
𝝉
Finalement, la solution de l’équation différentielle sera de type :
𝒕
𝝉
−
𝑼𝑪 (𝒕) = 𝑬(𝟏 − 𝒆 )
La durée de charge du condensateur est égale à 5τ : c’est la durée du régime transitoire.
𝟓𝝉
 𝑼𝑪 (𝟓𝝉) = 𝑬(𝟏 − 𝒆− 𝝉 )= 𝑬(𝟏 − 𝒆−𝟓 ) ≈ E
Si
0 ≤ t ≤ 5τ : régime transitoire
Si
t > 5τ : régime permanent
Détermination de la constante de temps τ :
 Par calcul direct : 𝝉 = 𝑹𝑪
 Graphiquement
1. C’est l’abscisse d’un point de la courbe de la charge d’ordonnée 0,63.E
𝑼𝑪 (𝝉) = 𝟎, 𝟔𝟑. 𝑬
3
2. τ est l’abscisse du point d’intersection entre la tangente à la courbe de charge ou de
décharge UC(t) au point d’abscisse t=0 et la droite UC = E.
Décharge d’un condensateur dans un résistor
Loi des mailles :
UC +UR = 0
Or UR = R.i
4
 UC + Ri = 0
Or
𝒊 = 𝑪.
𝒅𝑼𝑪
𝒅𝒕
𝑼𝑪 (𝒕) + 𝑹. 𝑪.
𝑼𝑪 (𝒕) + 𝝉.
𝒅𝑼𝑪 (𝒕)
=𝟎
𝒅𝒕
𝒅𝑼𝑪 (𝒕)
=𝟎
𝒅𝒕
La solution de cette équation différentielle est de type
𝑼𝑪 (𝒕) = 𝑨𝒆−𝜶𝒕
Détermination de A et α :
𝑈𝐶 (0) = 𝐸, D’où A=E
A t = 0s

𝑼𝑪 (𝒕) = 𝑬𝒆−𝜶𝒕
Appliquons la dérivée :

𝒅𝑼𝑪 (𝒕)
𝒅𝒕
= −𝜶𝑬𝒆−𝜶𝒕
Remplaçons 𝑼𝑪 (𝒕) et
𝒅𝑼𝑪 (𝒕)
𝒅𝒕
dans l’équation différentielle :
 𝑬𝒆−𝜶𝒕 −𝝉𝜶𝑬𝒆−𝜶𝒕 = 𝟎
 𝑬𝒆−𝜶𝒕 (𝟏 − 𝝉𝜶) = 𝟎
 𝟏 − 𝝉𝜶 = 𝟎
 𝜶=
𝟏
𝝉
τ est l’abscisse d’un point de la courbe de la décharge d’ordonnée 0,37.E
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