COMPLEMENTS DE CALCUL DIFFERENTIEL DIVERGENCE

© 2004 - Gérard Lavau - http://perso.wanadoo.fr/lavau/index.htm
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COMPLEMENTS DE CALCUL DIFFERENTIEL
DIVERGENCE, GRADIENT, ROTATIONNEL
Plan
I : Préambule
II : Formule de Green-Riemann
III : Formule de Green–Ostrogradski
IV : Formule de Stokes
V : Les équations de Maxwell
VI : Changement de repères et de variables
I : Préambule
Toutes les fonctions sont supposées C1 dans un ouvert de 2 ou 3. Toutes les formules qui suivent
sont bâties sur le même schéma qu'on peut symboliser sous la forme :
⌠
⌠
 ω =  dω
⌡D
⌡δD
où D est une domaine de dimension n, δD son bord de dimension n–1. Ainsi :
pour n = 3, D est un volume et δD la surface limitant ce volume.
Pour n = 2, D est une surface et δD la courbe limitant cette surface, éventuellement vide si la
surface se referme.
Pour n = 1, D est une courbe et δD les deux extrémités de cette courbe, identiques si la
courbe est fermée. La dimension d'une domaine est le nombre de paramètres nécessaires pour la
décrire.
ω est une forme différentielle de degré n–1 et dω la forme différentielle de degré n, différentielle de
ω. Le degré d'une forme différentielle est le nombre d'éléments différentiels intervenant dans sa
définition (Ce vocabulaire sera éclairé, nous l'espérons, par les exemple qui suivent).
Pour n = 1, D est par exemple un segment [a, b] (de dimension 1) et δD = {a, b} (de dimension
nulle), ω = f(x) (forme différentielle de degré 0) et dω = f '(x) dx (forme différentielle de degré 1). La
formule citée ci-dessus exprime simplement que :
b
⌠
f(b) – f(a) =  f '(x) dx
⌡a
Plus généralement, et toujours pour n = 1, mais dans 2 ou 3,
D est un chemin Γ reliant les points A à B (variété de dimension 1)
δD = {A, B} (de dimension nulle)
ω = f(M) fonction de plusieurs variables (forme différentielle de degré 0) et
-1-
∂f
∂f
∂f
dx +
dy + dz = gradf.dM (forme différentielle de degré 1)
∂x
∂y
∂z
La formule énoncée s'exprime ici sous la forme :
dω =
⌠
f(B) – f(A) =  gradf.dM
⌡Γ
⌠
∂f
∂f
∂f
En effet,  gradf.dM = ⌠
dx +
dy + dz et si un paramétrage de Γ est donné par

∂y
∂z
⌡Γ
⌡Γ ∂x
(x(t), y(t), z(t)), pour t variant de a à b, alors l'intégrale ci-dessus se calcule de la façon suivante :
b
⌠ ∂f dx + ∂f dy + ∂f dz = ⌠ ∂f (x(t),y(t),z(t)) x'(t) + ∂f (x(t),y(t),z(t)) y'(t) + ∂f (x(t),y(t),z(t)) z'(t) dt


∂y
∂z
∂y
∂z
⌡a ∂x
⌡Γ ∂x
b
d
=⌠
 dtf(x(t),y(t),z(t)) dt
⌡a
= f(x(b),y(b),z(b)) – f(x(a),y(a),z(a)) = f(B) – f(A)
En particulier, si Γ est fermé, l'intégrale est nulle.
II : Formule de Green–Riemann (n = 2 dans le plan)
On a ici :
D est un domaine Σ du plan (convexe pour simplifier), variété de dimension 2.
δD = Γ est un arc fermé de classe C1 par morceaux, sans point double, entourant le domaine
∑ = D, orienté dans le sens trigonométrique, variété de dimension 1.
ω = Pdx + Qdy est une forme différentielle de classe C1 de degré 1
∂Q ∂P
dω =
–
dxdy, forme différentielle de degré 2.
∂x ∂y
Alors :
⌠
⌠⌠ ∂Q – ∂P dxdy
 P dx + Q dy = 
⌡Γ
⌡⌡∑ ∂x ∂y
Comme expliqué en I, la première intégrale se calcule en prenant un paramétrage de Γ. On retrouve
le fait que, si ω est exacte, alors son intégrale sur un chemin fermé est nulle. (ω est exacte s'il existe f
⌠
∂f
∂f
telle que P =
et Q = ). L'intégrale de gauche n'est autre que  gradf.dM, nulle si Γ est fermé.
∂x
∂y
⌡Γ
2
∂Q ∂ f
∂2 f
∂P
Une condition nécessaire pour que ω soit exacte est que
=
=
=
pour f de classe C2
∂x ∂x∂y ∂y∂x ∂y
et la deuxième intégrale est également nulle.
1 1
, ). Soit Γ formé du segment [OA], de l'arc de cercle AB de
2 2
centre O, et du segment [BO]. On paramétrise [OA] par (x,0), 0 ≤ x ≤ 1, AB par (cosθ, sinθ),
1
0 ≤ θ ≤ π et [BO] par (t,t), t variant de
à0
4
2
EXEMPLE : Soit A (1,0) et B(
⌠
⌠
⌠ 2
2
3
3
 y dx + x dy =  –sin θ + cos θ dθ – 
⌡0
⌡Γ
π/4
⌡0
-2-
1
2
2t2 dt =
2( 2–1)
3
Par ailleurs :
⌠⌠
⌠⌠
2( 2–1)
2(cosθ–sinθ) r2drdθ =
 2x – 2y dxdy = 
3
⌡⌡D
⌡⌡∑
où D = {(r,θ) | 0 ≤ θ ≤ π et 0 ≤ r ≤ 1}.
4
On peut donner la justification suivante de la formule. Supposons pour simplifier que Σ puisse
d'écrire :
Σ = {(x,y) | f(x) ≤ y ≤ g(x), a ≤ x ≤ b}.
On a :
x=b
b
y=g(x)
∂P
⌠
⌠⌠ ∂P dxdy = ⌠
⌠
dy dx =  P(x,g(x)) – P(x,f(x)) dx


 ∂y
⌡x=a ⌡y=f(x) ∂y
⌡a
⌡⌡∑
⌠
On reconnaît  – P(x,y) dx
⌡Γ
⌠
⌠ ∂Q
Q(x,y) dy
On montre de même que ⌠
 ∂x dxdy = 
⌡
⌡
Γ
⌡ ∑
On en déduit par exemple que l'aire de ∑ vaut :
⌠
⌠
⌠⌠
1⌠
 dxdy =  x dy = –  y dx = 2  xdy – ydx
⌡Γ
⌡Γ
⌡Γ
⌡⌡∑
La dernière formule peut s'interpréter géométriquement comme la somme d'aires de triangles
infinitésimaux de côtés (x,y) et (dx,dy). Ainsi, en thermodynamique, le cycle d'une machine thermique
est représenté avec les coordonnées (V,P) au lieu de (x,y). Le travail reçu est égal à l'intégrale de –
PdV. Il s'agit de l'aire englobée par le cycle si le parcourt se fait dans le sens trigonométrique. Pour
fournir du travail, le chemin devra être parcourue dans le sens inverse au sens trigonométrique.
On prendra garde au fait que la forme différentielle doit être définie non seulement sur Γ mais sur Σ
tout entier. Considérer par exemple l'exemple suivant :
xdy – ydx
ω=
x2+y2
avec Γ le cercle unité. Alors :
∂Q
1
2x2
y2–x2
x
= 2 2– 2 2 2= 2 2 2
Q= 2 2⇒
x +y
∂x x +y (x +y ) (x +y )
y
∂P ∂Q
P=– 2 2⇒
=
x +y
∂y ∂x
ω est localement exacte, mais pas globalement. On n'a pas :
⌠
⌠⌠ ∂Q – ∂P dxdy = 0
 P dx + Q dy = 
⌡Γ
⌡⌡ ∂x ∂y
∑
car ω n'est pas définie en (0,0). En fait, l'intégrale curviligne vaut 2π. Cependant la formule serait
valable si Γ était un arc limitant un domaine ∑ ne contenant pas (0,0). Dans ce cas, l'intégrale est
nulle.
-3-
La formule de Green-Riemann possède deux extensions possibles en dimension 3, la formule de
Green-Ostrogradski, et la formule de Stokes.
III : Formule de Green–Ostrogradski (n = 3 dans l'espace)
On a ici :
D est un volume V de 3, variété de dimension 3
δD est la surface ∑ limitant ce volume, variété de dimension 2
ω = F. dS, produit scalaire d'un champ de vecteurs F de composantes (fx, fy, fz) par l'élément
de surface dS. Si ∑ est paramétré par (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), alors dS est le produit vectoriel de
∂x
∂x
∂u
∂v
∂y
∂y
du par
dv (ou son opposé, de façon que dS soit dirigé vers l'extérieur de S). ω est
∂u
∂v
∂z
∂z
∂u
∂v
donc une forme différentielle de degré 2.
∂f
∂f
∂f
dω = div(F) = x + y + z (divergence de F), forme différentielle de degré 3 (on a omis
∂x ∂y ∂z
d'écrire l'élément différentiel dxdydz, mais il apparaît dans la formule ci-dessous).
















Le flux d'un champ de vecteur à travers une surface fermée ∑ est égale à l'intégrale de la divergence
de ce champ sur le volume limité par la surface.
⌠⌠
⌠⌠⌠
div(F) dxdydz
 F.dS = 
⌡
⌡
⌡ ∑
⌡⌡ V
⌠⌠
⌠⌠
On écrit encore  F.dS =  F.n dS où n est le vecteur unitaire normal à la surface, dirigé vers
⌡⌡∑
⌡⌡∑
⌠⌠
l'extérieur. L'équivalent de cette formule dans le plan serait ⌠ F.n ds =  div(F) dxdy
⌡Γ
⌡⌡∑
où s est l'abscisse curviligne (dans le sens trigonométrique) d'une courbe Γ fermée entourant une
Q
surface ∑. Si on prend pour F le champ de vecteur  –P , on retrouve la formule de Green-Riemann.
x'
En effet, le vecteur tangent t à la courbe Γ paramétrée par (x(s),y(s)) est  y'  et le vecteur normal n
y'
extérieur à ∑ est  –x' . (Il est tel que (t, n) est indirect). On obtient alors :
⌠
⌠⌠ ∂Q – ∂P dxdy
 P dx + Q dy = 
∂y
⌡Γ
⌡⌡∑ ∂x
-4-
Revenons à la formule en dimension 3. Un cas important est celui où F est égal à un rotationnel de U
∂R ∂Q
–
∂y ∂z
P
∂R ∂Q
–
=  Q , c'est-à-dire de la forme
car il est facile de vérifier que div(Rot(U)) = 0. Le
∂y ∂z
R
∂Q ∂P
–
∂x ∂y
premier membre est alors nul. Le flux de F à travers une surface fermée est ainsi nul. On dit que le
champ est à flux conservatif. La divergence mesure la dispersion du champ de vecteur F.








Voici une justification de cette formule. Supposons pour simplifier que le volume V puisse être défini
par {(x,y,z) | g(x,y) ≤ z ≤ h(x,y)}. Considérons l'intégrale triple :
h(x,y)
∂fz
⌠⌠⌠ ∂fz dxdydz = ⌠⌠ ⌠
dz dxdy
 

∂z
∂z
⌡
⌡
⌡
⌡
g(x,y)
⌡⌡ V
⌠
=⌠
fz(x,y,h(x,y)) – fz(x,y,g(x,y)) dxdy

⌡
⌡
⌠⌠
=  fz(x,y,z) k.dS
⌡⌡∑
 10 
 
puisque dS = ∂h dx
 
 ∂x 
 10 
 
et dS = – ∂g dx
 
 ∂x 
∂h
 – ∂x 
 01 
 
∧ ∂h dy =  ∂h  dxdy pour la partie supérieure de V et dxdy = k.dS
 
∂y
 ∂y 
 
1
∂g
 ∂x 
 01 


∧ ∂g dy =  ∂g  dxdy pour la partie inférieure avec –dxdy = k.dS.
–
 
∂y
∂y
 
 
–1
On montre de même que :
⌠⌠⌠ ∂fx dxdydz = ⌠⌠ f (x,y,z) i.dS
 x

∂x
⌡⌡∑
⌡⌡⌡V
⌠⌠⌠ ∂fy dxdydz = ⌠⌠ f (x,y,z) j.dS
 x

∂y
⌡⌡∑
⌡⌡⌡V
ce qui conduit à la relation cherchée.
x
EXEMPLE 1 : Si F n'est autre que  y , alors div(F) = 3 et la formule d'Ostrogradski donne :
z
⌠⌠
⌠⌠⌠
 F.dS = 3 dxdydz = 3V
⌡⌡∑
⌡⌡⌡V
Dans le cas particulier d'une sphère de centre O de rayon R, F.dS = RdS de sorte que :
⌠⌠
⌠⌠
 F.dS = R dS = RS
⌡⌡∑
⌡⌡∑
-5-
4
Ainsi, pour une sphère, RS = 3V (ce qui est bien le cas : S = 4πR2 et V = πR3)
3
EXEMPLE 2 : Un fluide incompressible possède un champ de vecteurs vitesses V dont la divergence
est nulle. Cela signifie que la quantité de manière entrant dans tout volume est égal à la quantité de
matière sortant de ce volume. Le flux du vecteur vitesse multiplié par ρ, densité volumique (kg/m3),
à travers une surface est en effet égal à la quantité de matière traversant cette surface par unité de
temps (en kg/s). Si le fluide est compressible, la divergence est négative si le fluide est en phase de
compression, et la divergence est positive si le fluide est en phase de décompression. La quantité de
matière traversant la surface ou pénétrant dans le volume délimité par unité de temps est égale à
∂ρ
l'intégrale de –
sur le volume en question. On a donc :
∂t
⌠⌠⌠ – ∂ρ dv = ⌠⌠ ρ V .dS


∂t
⌡
⌡⌡∑
⌡
⌡ V
où dv est l'élément de volume. Mais, d'après la formule de Green-Ostrogradski :
⌠⌠
⌠⌠⌠
 ρ V .dS =  div(ρ V) dv
⌡⌡∑
⌡⌡⌡V
Ces relations étant vérifiées pour des volumes V quelconque, on en tire :
– ∂ρ = div(ρ.V)
∂t
équation connue sous le nom d'équation de continuité. Dans le cas d'un fluide incompressible (ρ est
constant), elle se réduit à div(V) = 0.
Si l'on observe un cours d'eau au voisinage des arches d'un pont, on observe une accélération du
courant, puis, à la sortie du pont, une décélération. Ce phénomène est dû à l'incompressibilité de
l'eau. La divergence est nulle. Le flux du champ des vitesses est constant à travers une surface
sectionnant le cours d'eau, et cette surface est plus faible entre les arches du pont. La vitesse doit
donc être supérieure.
EXEMPLE 3 : Voici toute une liste d'autres situations, analogues entre elles. L'exemple précédent
n'y figure pas car le champ des vitesses ne dérive pas en général d'un potentiel, et peut être doté d'un
rotationnel non nul.
-6-
DENSITE DE COURANT ET CONCENTRATION D'UNE SUBSTANCE
substance quelconque diffusion d'un corps
courant électrique
propagation de la chaleur
(X)
(nbre de moles)
(Coulomb C)
(Joule J)
densité de courant de
la substance J
densité de flux thermique
(quantité de substance densité de courant de
densité de courant J
traversant une surface
diffusion J
J
par unité de surface et
de temps)
(en X.m–2.s–1)
(en nbmol.m–2s–1)
(en A.m–2 ou C.m–2.s–1)
(en J.m–2.s–1)
quantité de chaleur par
unité de volume q (le plus
souvent :
q = ρCT
où C est la chaleur
quantité de substance
concentration c
densité de charges
massique ou bien chaleur
par unité de volume x
électriques ρ
spécifique ou capacité
thermique massique et ρ
la masse volumique :
ρ en kg.m–3,
C en J.kg–1.K–1)
(X.m–3)
(en nbremole.m–3)
(en C.m–3)
(en J.m–3)
LOI DE CONTINUITE OU DE CONSERVATION DE LA SUBSTANCE
∂x
⌠⌠ – ∂cdv ⌠⌠ J.dS=⌠⌠⌠ – ∂ρdv
⌠⌠ J.dS=⌠⌠⌠
– dv ⌠⌠
J.dS=⌠


 ∂t



⌡
⌡
⌡⌡D
⌡ D
⌡ D
∂t
∂t
⌡⌡⌡V
⌡⌡⌡V
⌡⌡⌡V
∂x
∂c
div(J) = – ∂ρ
div(J) = –
div(J) = –
∂t
∂t
∂t
div(J) = 0 en régime permanent
∂q
⌠⌠ J.dS=⌠⌠⌠
– dv



⌡
⌡ D
∂t
⌡⌡⌡V
∂q
∂T
div(J) = –
= – ρC
∂t
∂t
LOI DE DIFFUSION OU DE PROPAGATION DE LA SUBSTANCE
potentiel P
concentration c potentiel électrique V
température T
loi de propagation
loi de Fick
loi d'Ohm
loi de Fourier
J = – C.grad(P)
J = – D.grad(c)
J = – σ.grad(V)
J = – λ.grad(T)
D coeff de
σ conductivité
λ conductivité thermique
C coeff constant
diffusion
électrique
ou diffusivité
(1/σ est la résistivité)
C.∆P =
∂x
∂t
∆P = 0
(m2.s–1)
∂c
D.∆c =
∂t
∆c = 0
(Ω –1.m–1)
σ.∆V = ∂ρ
∂t
en régime permanent
∆V = 0
-7-
(W.m–1.K–1)
∂T
D.∆T =
∂t
D diffusivité thermique,
D = λ/Cρ (m2.s–1)
∆T = 0
où ∆ est le laplacien, divergence du gradient.
La formule de Green–Ostrogradski permet également de transformer des intégrales du type :
⌠⌠
 f dS
⌡⌡∑
où f est une fonction scalaire. En effet, faisons le produit scalaire par un vecteur quelconque fixe u.
On obtient :
⌠⌠
⌠⌠⌠
div(fu) dxdydz
 fu.dS = 
⌡⌡∑
⌡⌡⌡V
Or div(fu) = grad(f).u
⌠⌠
⌠⌠⌠
⇒
 fu.dS =  grad(f) dxdydz . u
⌡⌡∑
⌡⌡⌡V
u étant quelconque, on a donc :
⌠⌠
⌠⌠⌠
 f dS =  grad(f) dxdydz (formule du gradient)
⌡⌡∑
⌡⌡⌡V
EXEMPLE 4 : Le théorème d'Archimède. Considérons un corps plongé dans un liquide dans lequel
règne un gradient de pression. Il est soumis à une force définie par :
⌠⌠
F =  – P dS
⌡⌡∑
(Le signe – provient du fait que dS est orienté vers l'extérieur du volume, alors que la force doit être
orientée vers l'intérieur). Appliquons la formule précédente avec f = – P. On obtient :
⌠⌠⌠
F =  – grad(P) dv
⌡⌡⌡V
En particulier, si P = ρgz (pression dans un liquide de masse volumique ρ, dans un champ
gravitationnel g, à la profondeur z), alors grad(P) = ρg k (k étant dirigé vers le bas)
⌠⌠⌠
⇒
F =  – ρg dv k = – Mg k
⌡⌡⌡V
force dirigée de bas en haut égale au poids du volume de liquide déplacé.
De même que la formule du gradient, on montre la formule du rotationnel :
⌠⌠
⌠⌠⌠
 F ∧ dS = –  Rot(F) dxdydz
⌡⌡∑
⌡⌡⌡V
En effet, pour tout vecteur u, on a :
⌠⌠
⌠⌠
u. F ∧ dS =  (u, F, dS) où ( , , ) désigne le produit mixte
⌡⌡∑
⌡⌡∑
⌠⌠
=  (u ∧ F).dS
⌡⌡∑
⌠⌠⌠
=  div(u ∧ F) dv
⌡⌡⌡V
or div(u ∧ F) = – u.Rot(F)
-8-
⇒
⌠⌠
⌠⌠⌠
u. F ∧ dS = – u.Rot(F) dv
⌡⌡∑
⌡⌡⌡V
⌠⌠⌠
= – u. Rot(F) dv d'où le résultat.
⌡⌡⌡V
Il y a localement équivalence pour un champ de vecteur entre :
– être égal à un rotationnel (i.e. ou dériver d'un potentiel vecteur)
– être de divergence nulle
– être à flux conservatif (le flux à travers une surface fermée est nul – le flux à travers une
surface ouverte ne dépend que du bord de cette surface). C'est le cas du champ magnétique.
On définit le laplacien ∆f = div(grad(f)) =
∂2 f ∂2 f ∂2 f
+
+ .
∂x2 ∂y2 ∂z2
Le laplacien intervient
– en électricité : ∆V + ρ = 0, où ρ est la densité volumique de charge électrique, et ε0 la
ε0
permittivité du vide.
∂T
= D ∆T où D est la diffusivité thermique du milieu et dans
– en diffusion de la chaleur :
∂t
d'autres phénomènes de diffusion (cf tableau).
Le laplacien mesure la dispersion d'un champ dérivant d'un potentiel. Prenons l'exemple suivant. On
considère une barre conductrice de chaleur, dont une extrémité est en contact avec une source
chaude et l'autre extrémité avec une source froide. Il existe un gradient de température au sein de la
barre. grad(T) indique dans quel direction la température croît le plus vite. La chaleur va circuler
dans la barre dans une direction opposée au gradient, de la température la plus forte vers la
température la plus faible. En un point où le laplacien est nul, le flux de gradient entrant dans un
élément de volume est égal au flux sortant. Il y a autant de chaleur qui entre que de chaleur qui sort.
Si le laplacien est positif, alors le flux de gradient sortant est supérieur au flux de gradient entrant, et
puisque la chaleur circule en sens opposé du gradient, la quantité de chaleur entrante est supérieure à
la quantité de chaleur sortante. La température s'élève. Par une considération analogue, un laplacien
négatif signifie que la température décroît. Cela permet de comprendre l'équation de la chaleur de
∂T
Fourier :
= D ∆T.
∂t
⌠⌠
⌠⌠
Si l'on reprend la formule de Green-Ostrogradski  F.dS = ⌠
 div(F) dxdydz appliqué à
⌡⌡∑
⌡⌡⌡V
⌠⌠⌠
⌠⌠
F = grad f, on obtient :  grad(f).dS =  ∆(f) dxdydz. Supposons par exemple que ∆(f) soit
⌡⌡⌡V
⌡⌡∑
une constante K et appliquons la formule précédente à une sphère de rayon r. On obtient
⌠⌠
4πr3K
grad(f).dS
=
. Dans cette expression, grad(f).dS est le taux radial de variation de f

3
⌡
⌡ ∑
multiplié par un élément de surface dS, autrement dit
passant en coordonnées sphériques :
-9-
∂f
dS. Ainsi :
∂r
3
⌠⌠ ∂f dS = 4πr K ou encore en
 ∂r
3
⌡⌡∑
3
⌠⌠ ∂f r2 cosϕ dθ dϕ = 4πr K, où D = {(θ,ϕ) | 0 ≤ θ ≤ 2π; – π ≤ ϕ ≤ π.

3
2
2
⌡⌡D ∂r
⇒
⇒
⌠⌠ ∂f cosϕ dθ dϕ = 4πrK
 ∂r
3
⌡⌡D
4πrK
∂ ⌠⌠
 f(r,θ,ϕ) cosϕ dθ dϕ = 3
∂r ⌡⌡D
⌠⌠
2πr2K ⌠⌠
f(r,θ,ϕ) cosϕ dθ dϕ =
+  f(0,θ,ϕ) cosϕ dθ dϕ

3
⌡⌡D
⌡⌡D
2
– 2πr K
–
⇒
4π f =
+ 4π f(0) où f est la valeur moyenne de f sur la sphère de rayon r
3
–
r2K
⇒
f – f(0) =
.
6
Cette formule est comparable à ce qu'on obtient pour une fonction d'une seule variable x, pour
laquelle on a :
r2
f(r) = f(0) + rf '(0) + f"(0) + o(r2)
2
r2
f(–r) = f(0) – rf '(0) + f"(0) + o(r2)
2
2
–
r
⇒
f – f(0) = f"(0) + o(r2)
2
–
On notera que, si ∆f = 0, alors f = f(0), autrement dit, la valeur en un point est égale à la valeur
moyenne sur une sphère centrée en ce point. On a dans ce cas une fonction dite harmonique.
⇒
IV : Théorème de Stokes (n=2 dans l'espace)
On a ici :
D est une surface ∑ de 3, non fermée et limitée par
δD, son bord, qui est une courbe Γ
P
ω = Pdx + Qdy + Rdz = F.dM où F est le champ de vecteur  Q 
R
dω = Rot(F).dS
La circulation d'un champ de vecteur F le long d'un contour fermé Γ est égal au flux de son
rotationnel à travers toute surface ∑ limitée par le contour Γ.
⌠
⌠⌠
 F.dM =  Rot(F).dS
⌡Γ
⌡⌡∑
Cette formule est une généralisation à 3 de la formule de Green-Riemann dans le plan. On la
retrouve dans le cas d'une surface plane ∑ contenue dans le plan (Oxy) en considérant le champ de
 00 
P


vecteur F =  Q . On a Rot(F) = ∂Q ∂P et dS = dxdy k.
 – 
0
 ∂x ∂y 
- 10 -
Revenons au cas général. Si F dérive d'un potentiel scalaire f, l'égalité ci–dessus se réduit à 0 = 0. On
a, rappelons–le, Rot(grad(f)) = 0
Le rotationnel peut s'interpréter physiquement dans le cas d'un champ de vitesse comme le vecteur
rotation d'un élément infiniment petit placé dans ce champ. On prendra par exemple le champ de
vitesse V = y.i dont le rotationnel vaut –k, pour se convaincre qu'une particule sera effectivement
soumise à une rotation d'axe –k.
Il y a localement équivalence pour un champ de vecteurs entre :
– dériver d'un potentiel scalaire (i.e. être égal à un gradient)
– être de rotationnel nul
– être à circulation conservative (la circulation sur un circuit fermé est nulle – la circulation
sur un circuit ouvert ne dépend que des extrémités)
EXEMPLE 1 : Considérons une boucle de courant parcourue par un courant I, plongé dans un
champ magnétique uniforme. Chaque élément dM de la boucle est soumise à la force de Laplace I
dM ∧ B. La boucle tout entière est soumise à une force que l'on calcule en prenant l'intégrale de
l'expression précédente. Si B est constant, cette intégrale est nulle puisqu'on intègre alors dM sur un
circuit fermé. Par contre, le moment de cette force par rapport à un point O est :
⌠
⌠
C =  OM ∧ df =  OM ∧ (IdM ∧ B)
⌡Γ
⌡Γ
⌠
⌠
=  <OM, B> I dM –  <OM, I dM> B
⌡Γ
⌡Γ
en utilisant la formule du double produit vectoriel.
⌠
⌠
= I <OM, B> dM – I <OM, dM> B
⌡Γ
⌡Γ
= 0 car <OM, dM> est la différentielle exacte de
1
OM 2
2
⌠
C = I <OM, B> dM
⌡Γ
Si l'on cherche sa composante de C selon un vecteur normé u, on cherche :
⌠⌠
I⌠
 <OM, B> <u, dOM> = I Rot(<OM, B> u) dS en vertu du théorème de Stokes.
⌡
⌡⌡∑
Or on vérifiera que Rot(<OM, B> u) = grad(<OM, B>) ∧ u = B ∧ u
⇒
<C, u> = I⌠⌠
<B ∧ u, dS> = I⌠⌠
<dS ∧ B, u>


⌡
⌡
⌡ ∑
⌡ ∑
Cette relation étant vraie pour tout u, on a :
C = ⌠⌠
I dS ∧ B = µ ∧ B.

⌡⌡∑
⇒
I dS est le moment magnétique de la boucle. Le moment étant indépendant de
La quantité µ = ⌠⌠

⌡
⌡ ∑
O, il s'agit d'un couple qui s'exerce sur la boucle. La formule est analogue au couple appliqué sur un
- 11 -
dipôle électrique de moment électrique p dans un champ électrique E. Pour cette raison, on parle
parfois de dipôle magnétique.
Dans la démonstration précédente, nous aurions pu utiliser la la formule de Kelvin :
⌠
⌠⌠
 f dM = – grad(f) ∧ dS
⌡Γ
⌡⌡∑
avec f = <OM, B>. Cette relation se montre comme ci-dessus. Pour tout vecteur u, on a :
⌠
⌠
u. f dM = fu.dM
⌡Γ
⌡Γ
⇒
⌠⌠
=  Rot(fu).dS or Rot(fu) = grad(f) ∧ u
⌡⌡∑
⌠
⌠⌠
u. f dM =  (grad(f) ∧ u).dS
⌡Γ
⌡⌡∑
⌠⌠
= – u. grad(f) ∧ dS
⌡⌡∑
d'où le résultat.
⌠
On dispose également d'une formule concernant  F ∧ dM. En effet, pour tout vecteur u, on a :
⌡Γ
⌠
⌠
 <u, F ∧ dM> =  <u ∧ F, dM>
⌡Γ
⌡Γ
⌠⌠
=  <Rot(u ∧ F) , dS>
⌡⌡∑
On vérifiera que, u étant fixe, Rot(u ∧ F) = div(F) u – <u , grad> F où <u , grad> désigne
l'opérateur différentiel suivant : si une base orthonormée est choisie et si u a pour composante α, β
∂
∂
et γ, alors <u , grad> = α ∂ + β + γ , que l'on applique successivement aux trois composantes
∂y
∂z
∂x
de F.
⌠
⌠⌠
⇒
 <u, F ∧ dM> =  <div(F) u – <u , grad> F , dS>
⌡Γ
⌡⌡∑
On peut écrire <<u , grad> F , dS> sous la forme <u, grad(<F,dS>) à condition de comprendre que
la différentiation ne porte que sur F.
⌠
⌠⌠
⌠⌠
⇒
 <u, F ∧ dM> =  div(F) <u , dS> –  <u, grad(<F,dS>)
⌡Γ
⌡⌡∑
⌡⌡∑
u étant quelconque, on a donc :
⌠
⌠⌠
⌠⌠
 F ∧ dM =  div(F) dS –  grad(<F,dS>)
⌡Γ
⌡⌡∑
⌡⌡∑
EXEMPLE 2 :
- 12 -
Considérons un petit circuit Γ parcouru par un courant I. Quel est le champ produit par ce circuit en
un point M situé à grande distance ? La loi de Biot-Savart précise que chaque portion P de circuit
µ
produit un champ dB = 0 2 Idl ∧ u où r = PM et u = PM. Le champ complet est donc :
PM
4πr
⌠ µ
B = 0 2 Idl ∧ u
⌡Γ 4πr
µI
Cette intégrale entre dans le champ de l'étude précédente avec F = – 0 2 u. On vérifiera que la
4πr
divergence de F est nulle. Il reste donc :
⌠⌠
B = – grad(<F , dS>)
⌡⌡∑
⌠⌠
⌠⌠
µ0 I
µI ⌠ 1
Or – <F , dS> = 0 ⌠
 r2 <u , dS> ≈
2 <u ,  dS> si on considéère que le circuit est

4πr
4π ⌡⌡
⌡⌡∑
⌡⌡∑
∑
1
suffisamment petit et PM assez grand pour que 2 u soit à peu près le même pour chaque point P du
r
circuit. On voit apparaître le vecteur µ = ⌠⌠
I dS, moment magnétique de la boucle de sorte que :

⌡
⌡ ∑
⌠⌠
µ
– <F , dS> = 0 2 <u , µ>
4πr
⌡⌡∑
µ
µI
Si on pose V = 0 2 <u , µ> (= 0 Ω où Ω est l'angle solide sous lequel on voit le circuit Γ depuis
4πr
4π
M), on a :
B = gradP(V)
Nous avons mis un indice P au gradient pour indiquer qu'on dérivait par rapport aux composantes de
P, où se situe le circuit. Or V est une fonction des coordonnées (xP – xM, yP – yM, zP – zM). Il vaut
mieux considérer que V est un potentiel fonction de M. On a alors gradP(V) = – gradM(V). Ainsi :
µ
V = 0 2 <u , µ> et B = – gradM(V)
4πr
Ces formules sont remarquablement semblables à celles concernant un dipôle électrique créant un
champ E en un point M situé à grande distance. On a en effet dans ce cas :
1
V=
<u , p> où p est le moment électrique du dipôle, et E = – gradM(V)
4πε0r2
V : Les équations de Maxwell :
Les lois de l'électro–magnétisme se réduisent à quatre équations, les équations de Maxwell. E est le
champ électrique. B est le champ magnétique.
i) div E = ρ où ρ est la densité volumique de charges électriques. Cette équation est
ε0
équivalente, en appliquant le théorème de Green–Ostrogradski, au fait que le flux du champ
Q
électrique sortant d'une surface fermée est égal à où Q est la charge contenue à l'intérieur de la
ε0
surface (théorème de Gauss). On en déduit la loi de Coulomb en électrostatique, le flux du champ
- 13 -
électrique traversant une sphère de rayon R au centre de laquelle se trouve la charge Q étant
Q
Q
4πR2E = d'où E =
.
ε0
4πR2ε0
On notera que ces égalités s'étendent à tout champ newtonien, par exemple le champ gravitationnel
engendré par une densité de masse µ, pour lequel div g = – 4πGµ (G constante de l'attraction
universelle). Le théorème de Gauss pour une masse ponctuelle M devient alors 4πR2g = – 4πGM, ou
GM
encore g = – 2 .
R
ii) div B = 0 Cette équation est équivalente, en appliquant le théorème de Green–
Ostrogradski, au fait que le flux du champ magnétique traversant une surface fermée est nul.
Autrement dit, le flux entrant est égal au flux sortant. Le champ magnétique est dit à flux conservatif.
Cela exclut en particulier l'existence de monopôles magnétiques.
Du fait que la divergence d'un rotationnel est nulle, on est amené à rechercher B sous la forme
Rot A. On impose à A la condition supplémentaire div A = 0. A est le potentiel-vecteur de B.
iii) Rot E = – ∂B
∂t
Cette relation s'écrit également sous la forme E = – grad(V) – ∂A où V est le potentiel
∂t
électrostatique et A le potentiel vecteur du champ B (Rot(A) = B). Cette équation est équivalente, en
appliquant le théorème de Stokes, au fait que la circulation de E le long d'une courbe fermée C est
égale à la dérivée par rapport au temps du flux de B à travers une surface s'appuyant sur C.
Considérons un circuit, placé dans un champ magnétique B variable. L'équation précédente indique
qu'il se crée un champ électrique. Les électrons du circuit sont soumis à la force F = qE. Le travail
de cette force le long du circuit Γ vaut :
⌠
⌠
⌠⌠
⌠ ∂B.dS
W =  F.dM =  qE.dM = q Rot(E).dS = – q⌠
 ∂t

⌡Γ
⌡Γ
⌡⌡∑
⌡⌡∑
d ⌠⌠
dΦ
= – q  B.dS dxdy = – q
dt ⌡⌡
dt
∑
où Φ est le flux de B à travers S. Ce travail est égal à celui appliqué sur une charge q soumis à une
dΦ
différence de potentiel de –
. Cela s'interprète en considérant qu'il existe une force électro–
dt
dΦ
motrice induite égale à –
(loi de Faraday).
dt
iv)
1
1
Rot B = J + ε0 ∂E où µ0ε0 = 2, et où J est le vecteur densité de courant. Cette
c
µ0
∂t
équation est équivalente, en utilisant le théorème de Stokes, au fait que la circulation de B le long
d'une courbe fermée Γ est égale à la dérivée par rapport au temps du flux de E à travers une surface
s'appuyant sur Γ, auquel s'ajoute le flux de courant à travers S, sur ε0.
Dans le cas d'un champ électrique constant, on obtient la loi :
- 14 -
⌠
 B.dl = µ0I (théorème d'Ampère)
⌡Γ
Le cas d'un cercle Γ de rayon R traversé en son centre par le courant I permet d'en déduire une
forme de la loi de Biot–Savart :
B.2πR = µ0I
µI
ou encore B = 0 champ crée par un conducteur parcouru par un courant I à une distance R de ce
2πR
conducteur. Par ailleurs, en utilisant le potentiel-vecteur A de B, défini par Rot A = B avec la
1
condition supplémentaire div A = 0, la relation .Rot B = J devient ∆A + µ0J = 0, relation
µ0
vectorielle en tout point comparable à la relation scalaire vérifiée par le potentiel électrostatique ∆V
ρ
+ = 0 où ρ est la densité volumique de charges. Or ce potentiel électrostatique est défini, à une
ε0
1 ⌠⌠⌠ ρ
constante près par V =
dτ où dτ est l'élément de volume, et r la distance entre cet

4πε0 ⌡⌡⌡ r
µ ⌠⌠ J
élément et le point où l'on calcule V. On est donc amené à penser que A = 0 ⌠
dτ, dont on

4π 
⌡⌡⌡ r
vérifie effectivement que la divergence est nulle. Pour un fil parcouru par un courant I, l'expression
µI
1
µI 1
dl. Le rotationnel de cette expression donne B = 0 ⌠
Rot( dl) expression
devient A = 0 ⌠


r
4π ⌡
4π ⌡ r
dont on peut vérifier qu'elle est égale à
µ0 I ⌠
1
µ I dl ∧ u
grad( ) ∧ dl = 0 ⌠
où u est le vecteur unitaire
2

r
4π ⌡
4π 
⌡ r
dirigé de l'élément de courant vers le point où l'on calcule B. On en déduit la loi de Biot-Savart. La
portion de courant Idl crée en un point situé à une distance r dans la direction u un élément de
µ Idl ∧ u
champ magnétique dB = 0
4π r2
Si l'on prend la divergence dans la relation iv), on obtient :
∂div(E)
0 = div(J) + ε0.
∂t
= div(J) + ∂ρ
∂t
qui s'appelle théorème de conservation de la charge.
Dans le cas statique, ces quatre équations se réduisent à :
i) div E = ρ
ε0
ii) Rot E = 0
iii) div B = 0
1
iv) Rot B = J
µ0
VI : Changement de repère.
On montre que :
Le gradient et le laplacien ne dépendent pas du repère orthonormé choisi
- 15 -
La divergence ne dépend pas du repère, orthonormé ou non choisi.
Le rotationnel ne dépend pas du repère orthormé direct choisi.
Changement de variables :
COORDONNEES CYLINDRIQUES :
 x = rcosθ
 y = rsinθ
î z = z
 cosθ –sinθ 0 
On choisit comme nouvelle base la base (Ur, Uθ, K) définie par la matrice de passage  sinθ cosθ 0 
0 1
 0
On a alors :
∂f
1 ∂f
∂f
grad(f) = Ur +
Uθ + Uz
r ∂θ
∂r
∂z
V ∂V 1 ∂Vθ ∂Vz
div(V) = r + r +
+
r
∂r r ∂θ
∂z
1 ∂Vz ∂Vθ
∂V ∂V
∂V V 1 ∂Vr
Rot(V) = (
–
) Ur + ( r – z) Uθ + ( θ + θ –
)K
r ∂θ
r r ∂θ
∂z
∂z
∂r
∂r
1 ∂f ∂2f 1 ∂2f ∂2f
+
+
+
∆f =
r ∂r ∂r2 r2 ∂θ2 ∂z2
COORDONNEES SPHERIQUES :
 x = rsinϕcosθ
 y = rsinϕsinθ
î z = rcosϕ
θ est l'angle de précession, ϕ l'angle de nutation. Peut également intervenir, pour un solide, l'angle de
rotation propre autour de Ur. Ces angles sont en général plus faciles à manipuler que les angles de
roulis, de tangage et de lacet autour des axes i, j et k.
 cosϕcosθ –sinθ sinϕcosθ 
La matrice de passage est  cosϕsinθ cosθ sinϕsinθ 
 –sinϕ
0
cosϕ 
Les vecteurs colonnes sont notés usuellement Uϕ, Uθ et Ur.
On a alors :
∂f
1 ∂f
1 ∂f
grad(f) = Ur +
Uϕ +
Uθ.
r ∂ϕ
∂r
rsinϕ ∂θ
V
Vϕ
∂V 1 ∂Vϕ
1 ∂Vθ
div(V) = 2 r +
+ r+
+
r rtanϕ ∂r r ∂ϕ rsinϕ ∂θ
2 ∂f
1 ∂f ∂2f 1 ∂2f
1
∂2 f
∆f =
+ 2
+ 2+ 2 2+
r ∂r r tanϕ ∂ϕ ∂r r ∂ϕ (rsinϕ)2 ∂θ2
1 ∂Vr ∂Vθ Vθ
∂V 1 ∂Vr Vϕ
1 ∂Vθ
Vθ
1 ∂Vϕ
Rot(V)=(
–
– )Uϕ + ( ϕ –
+ )Uθ + (
+
–
) Ur
r
r
r ∂ϕ rtanϕ rsinϕ ∂θ
rsinϕ ∂θ
∂r
∂r r ∂ϕ
- 16 -