Devoir de Mathématiques n°5
1ES2
Ex1.Une entreprise fabrique des articles en grande quantité. Une étude statistique a permis de constater que 10%
des articles fabriqués sont défectueux.
Les articles fabriqués peuvent présenter au maximum deux défauts notés a et b.
On note : A l’évènement : «Un article prélevé au hasard présente le défaut a » ;
B l’évènement : «Un article prélevé au hasard présente le défaut b » ;
A et B les évènements contraires respectifs de A et B.
On donne les probabilités suivantes : ‫݌‬ሺ‫ܣ‬ሻ = 0.05 et ‫݌‬ሺ‫ܤ‬ሻ = 0.06.
1. ‫ ܤ ∪ ܣ‬l’événement « l’article prélevé présente au moins un défaut. »
‫݌‬ሺ‫ =)ܤ ∪ ܣ‬0.1 ( car 10 % des articles sont défectueux, c’est à dire présente au moins un défaut.)
2. l’évènement « un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut »
‫݌‬ሺ‫ܣ‬ҧ ∩ ‫ܤ‬തሻ = 1 − ‫݌‬ሺ‫ܤ ∪ ܣ‬ሻ = 1 − 0.1 = 0.9
3.
« un article prélevé au hasard présente les deux défauts ».
‫݌‬ሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ = ‫݌‬ሺ‫ܣ‬ሻ + ‫݌‬ሺ‫ܤ‬ሻ − ‫݌‬ሺ‫ܤ ∪ ܣ‬ሻ = 0.05 + 0.06 − 0.1 = 0.01
4.
« un article prélevé au hasard n'a qu'un seul des deux défauts ».
‫݌‬ሺ‫ܤ ∩ ܣ‬തሻ + ‫݌‬ሺ‫ܣ‬ҧ ∩ ‫ܤ‬ሻ = 0.05 − 0.01 + 0.06 − 0.01 = 0.09
Ex2. Sur les 700 salariés d’une usine, 140 sont des cadres, les autres sont des ouvriers.
Des stages de formation continue sont organisés chaque année tels que :
∎ chaque salarié participe à un stage au plus ;
∎ 9 % des salariés partent en stage ;
∎ 10 % des ouvriers partent en stage.
1.
ouvriers
cadres
en stage
56 ( 9 % de 560 )
7
pas en stage
504
133
Total
560
140
2. On rencontre un salarié au hasard.
ହ଺଴
a) Quelle est la probabilité que ce soit un ouvrier ? ‫݌‬ሺܱሻ = ଻଴଴ = 0.8
b) Quelle est la probabilité que ce soit un ouvrier partant en stage ? ‫݌‬ሺܱ ∩ ܵሻ =
ହ଺
଻଴଴
Total
63 ( 9% de 700 )
637
700
= 0.08
଻
c) Quelle est la probabilité que ce soit un cadre partant en stage ? ‫݌‬ሺ‫ܵ ∩ ܥ‬ሻ = ଻଴଴ = 0.01
3. Chaque stage dure dix jours pour un ouvrier et huit jours pour un cadre.
On note X la variable aléatoire comptant le nombre de jours de stage suivis par un salarié de l’usine.
a) Les valeurs prises par X sont : 0 ; 8 ; 10
b) loi de probabilité de X.
X=‫ݔ‬௜
0
8
10
637
‫݌‬௜
0.01 0.08
= 0.91
700
c) espérance mathématique de X = E(X)=0.91× 0 + 0.01 × 8 + 0.08 × 10 = 0.88
La durée moyenne de stage pour chaque salarié est de 0.88 jours.
Ex3. Indiquer si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis justifier.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de vols répertoriés par jour dans un magasin.
La loi de probabilité de X est donnée par :
Nombre de vols ‫ݔ‬௜
0
1
2
3
‫݌‬ሺܺ = ‫ݔ‬௜ ሻ
0.87
0.07
0.03
ܽ
1. La valeur de ܽ est 0,02. ܽ = 1 − ሺ0.87 + 0.07 + 0.03 + 0.01ሻ = 0.02 VRAI
4
0.01
2. ‫݌‬ሺܺ ≥ 0ሻ = 0.13 ; X prend des valeurs uniquement positives donc ‫݌‬ሺܺ ≥ 0ሻ = 1 FAUX
3. La probabilité qu’il y ait moins de deux vols par jour est 0,03. ‫݌‬ሺܺ < 2ሻ = 0.87 + 0.07 = 0.94 FAUX
Ex4. QCM sans justifier. On indiquera le numéro de la question et la réponse choisie sur votre copie.
On lance trois fois de suite un dé truqué tel que la probabilité d’obtenir la face numérotée 6 est 0,3.
1. La probabilité d’obtenir trois fois le 6 est
a) 0.027=0.3ଷ
2. La probabilité d’obtenir au moins une fois le 6 est à 0.01 près
a) 0.3
b) 0.27
c) 0.3
d) 0.9
b) 0.343 c) 0.657 d) 0.9
L’événement contraire de A : « obtenir au moins une fois le 6. » est ‫ܣ‬ҧ « ne pas obtenir le 6. »
or ‫݌‬ሺ‫ܣ‬ҧሻ = 0.7ଷ = 0.343 ݀‫݌ ܿ݊݋‬ሺ‫ܣ‬ሻ = 1 − 0343 = 0.657
Ex3. Une urne contient une boule noire, deux boules blanches et deux boules rouges toutes indiscernables au
toucher. On tire successivement, au hasard, deux boules sans remise.
On définit la variable aléatoire, notée Y, donnant le nombre de boules blanches sorties lors d’un tirage.
a)
1
B
2
N
1
1
R
5
2
ଵ
ସ
ଵ
ସ
B
2
5
N
B
ଵ
ଶ
R
ଵ
ସ
2
5
N
ଵ
ଶ
R
B
R
1
4
ଵ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
଺
b) p(X=1)=ହ × ଶ + ହ × ସ + ହ × ଶ + ହ × ସ + ହ × ଶ = ଵ଴ = 0.6 ;
ଵ
ଵ
ଶ
ଵ
ଷ
c) p(X=0)= ହ × ଶ + ହ × ଶ = ଵ଴ = 0.3 ;
ଶ
ଵ
ଵ
‫݌‬ሺܺ = 2ሻ = ହ × ସ = ଵ଴
X=‫ݔ‬௜
‫݌‬௜
0
0.3
1
0.6
2
0.1
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Devoir de Mathématiques n°5 1ES2 Ex1.Une entreprise fabrique