Solutions de la série n 3

Professor J. Duparc
1er octobre, 2013
Logique mathématique
Solutions de la série n◦3
Solution de l’exercice 1 :
1. Par exemple,
(a) ϕ1 : ∃x∃y¬x = y ;
(b) ϕ2 : ∃x∀yx = y ;
(c) ϕ3 ∃x∃y ¬x = y ∧ ∀z(z = x ∨ z = y) ;
2. Pour tout n ∈ N définissons la formule
!
^
ψn = ∃x0 ∃x1 · · · ∃xn
¬xi = xj .
0≤i,j≤n
i6=j
Il suffit alors de poser T = {ψn | n ∈ N}.
3. Non, {ϕ1 } 6|= ϕ3 car la L-structure 3 = h{0,1,2}i est telle que 3 |= ϕ1 mais
3 6|= ϕ3 .
Oui, {¬ϕ1 } |= ϕ3 car toute L-structure qui n’a pas au moins deux éléments
n’en possède qu’un seul et donc satisfait ϕ2 .
4. La relation T |= ϕi n’est vérifiée que lorsque i = 1.
Solution de l’exercice 2 :
1. Par exemple, la L-structure donnée par
-a
/b
d
c
satisfait ∃x∀yR(x,y),mais ne satisfait pas ∀x∃yR(x,y) ;
2. Par exemple, la L-structure donnée par
a
/ q
@ bO
d
c
satisfait ∃x∀y¬R(y,x) (considérer a), mais ne satisfait pas ∀x¬∀yR(y,x)
(considérer b).
3. Nous pouvons par exemple considérer les formules suivantes
ϕ1 : ∀x R(x,x)
ϕ2 : ∀x ∀y (R(x,y) → ¬R(y,x))
ϕ3 : ∀x ∀y (R(x,y) → R(y,x)
ϕ4 : ∃x ∀y R(x,y)
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1er octobre, 2013
Solution de l’exercice 3 :
1. Par exemple, ψ< (x,y) : ∃z(¬z ' 0 ∧ y ' (x+z)).
2. Par exemple,
ψprime (x) : ψ< (1,x) ∧ ¬∃y∃z (x ' (y·z)) ∧ ¬(y ' 1) ∧ ¬(z ' 1) .
3. Par exemple,
ϕGoldbach : ∀x ∃y(ψ< (1,y) ∧ x ' (1+1)·y) →
∃z1 ∃z2 ψprime (z1 ) ∧ ψprime (z2 ) ∧ x ' z1 +z2
.
Solution de l’exercice 4 :
1. (a) Considérons le langage du premier ordre L contenant
— deux symboles de constante 0 et p,
— un symbole de relation binaire R,
— un symbole de fonction unaire Vabs,
— un symbole de fonction unaire f ,
— un symbole de fonction binaire Soustr.
Dans ce langage du premier ordre, nous pouvons écrire la formule
ϕCP : ∀x R(0,x) → ∃y R(0,y) ∧ ∀z(R(Vabs(Soustr(p,z)),y)
→ R(Vabs(Soustr(f (p),f (z))),x)
qui est une façon d’écrire la continuité de la fonction f : R → R au
point p ∈ R, généralement écrite
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ R(|p − x| < δ → |f (p) − f (x)| < ε)
lorsque champ des quantificateurs est sous-entendu.
(b) Soit, par exemple, la L-structure M1 avec |M1 | = R où l’on fait les
interprétations 0M1 = 0, pM1 = π2 RM1 = {(x,y) ∈ R2 | x < y},
VabsM1 est la valeur absolue | · | : R → R, f M1 (x) = sin(x) pour tout
x ∈ R, et SoustrM1 est la soustraction usuelle R2 → R, (x,y) 7→ x−y.
Alors, on M1 |= ϕCP .
(c) Soit, par exemple, la L-structure M2 avec |M2 | = N où l’on fait les
interprétations 0M2 = 0, pM2 = 105 RM2 = {(x,y) ∈ N2 | x < y},
VabsM2 est l’identité sur N, f M2 (n) = 2n pour tout n ∈ N, et
SoustrM2 est la fonction constante égale à 0. Alors, on M2 |= ϕCP .
2. (a) Nous pouvons considérer la formule
ϕC : ∀z1 ∀x R(0,x) → ∃y R(0,y) ∧ ∀z2 (R(Vabs(Soustr(z1 ,z2 )),y)
→ R(Vabs(Soustr(f (z1 ),f (z2 ))),x) .
(b) Pour les L-structure M1 et M2 définies au point précédent, nous
avons M1 |= ϕC et M2 |= ϕC .
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1er octobre, 2013
Solution de l’exercice 5 :
1. Considérer par exemple les formules suivantes
(a) ϕ1 : ∀xf (f (x) = g(x) ∧ ∃y∀xg(x) = y ;
(b) ϕ2 : ∀x∃yf (x) = g(y) ;
(c) ϕ3 : ∃x f (x) = x ∧ ∀y(f (y) = y → x = y) ∧ ∃yg(y) = x .
(d) ϕ4 : ∀x∀y(f (x) = f (y) → x = y) ∧ ∀y∃x(g(x) = y)
2. Nous choisissons pour domaine de chacune des L-structures l’ensemble N
et nous interprétons les symboles de fonction unaire f et g comme suit :
(a) f M1 = g M1 : n 7→ n + 1 ;
(b) f M2 : n 7→ n + 1 et g M2 = idN ;
(c) f M3 = idN et g M3 : n 7→ 0 ;
(d) f M4 : n 7→ 2n et g M4 : n 7→ n2 ;
(e) f M5 : n 7→ 2n et g M5 : n 7→ 2n + 1.
Solution de l’exercice 6 :
1. M 6|= φ1 , car M |= R(∅,∅) ;
2. M |= φ2 car pour tout E ⊆ N si E 6= ∅ alors ¬R(E,E) ;
3. M |= ∀x∀y∀z ((Ω(x)∧Ω(y)∧I(x,z)∧I(z,y)) → Ω(z)), car si E,F,E { ,F { ⊆
N sont infinis et E ⊆ G ⊆ F , alors d’une part E ⊆ G implique G infini,
et d’autre part, G ⊆ F implique F { ⊆ G{ et donc G{ est infini.
4. M |= ∀x∀y∀z ((Ω(x) ∧ Ω(y) ∧ Ω(z) ∧ R(x,y) ∧ R(y,z)) → R(x,z)). En effet,
si E ⊆ F ⊆ G et F \ E infini et G \ F infini, alors E ⊆ G et comme
G \ F ⊆ G \ E, G \ E est infini.
5. M |= ∀x∀y ((Ω(x)∧Ω(y)) → (¬R(x,y)∨¬R(y,x))). Car de façon générale,
si E,F ⊆ N sont non vides alors R(E,F ) implique ¬R(F,E).
6. M 6|= ∀x∀y ((Ω(x) ∧ R(x,y)) → Ω(y)). Penser à l’inclusion des nombres
pairs dans les nombres naturels.
7. M
F{
est
est
|= ∀x∀y ((Ω(x) ∧ R(y,x)) → Ω(y)). En effet, soit E,F ⊆ N avec F et
infinis, et E ⊆ F , et Card(F \ E) = Card(E). Comme F { ⊆ E { , E {
infini. De plus si E est fini, alors F \ E est fini et donc F = E ∪ F \ E
fini. Or F est infini et donc E est infini.
8. M 6|= ∀x∃y∃z (R(y,x) ∧ R(x,z)), car pour tout E ⊆ N fini non vide de
cardinalité impaire, nous avons que pour tout F ⊆ N, ¬R(F,E).
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