3 principes de conservation

Dessous
Navette spatiale
Thermomécanique
Dessus
22/09/03
Dilatation turbo-fan snecma
Meca2 Thermo
2
Objectifs
Meca2 Thermo
4
Plan (1)
•
•
•
•
22/09/03
Meca2 Thermo
•
•
•
•
5
22/09/03
3 principes de conservation
3
1. Théorème de l'énergie cinétique
2. Conservation de l'énergie totale
3. Application des potentiels
4. Contraintes thermiques
Meca2 Thermo
6
une formule classique
• de la masse:
1. Théorème de l'énergie cinétique
2. Conservation de l'énergie totale
3. Application des potentiels
4. Contraintes thermiques
Meca2 Thermo
22/09/03
Meca2 Thermo
Plan
• Généraliser la thermodynamique
classique à la MMC
• Savoir dimensionner des pièces sous
chargement thermique
22/09/03
22/09/03
∂r/∂t + div r v = 0
¸
• de la quantité de mouvement:
Div s +f V = r a
• de l'énergie et de l'entropie
7
22/09/03
Meca2 Thermo
div (a w) = (—a,w) + a div w
¸
8
22/09/03
Meca2 Thermo
9
1
Puissance des contraintes
généralisation
Si s =
sT :
WT = ∫∂Vt (s(n), v) dSt
divx [s (w)] = (Divxs, w) + Tr(s.ex(w))
WT = ∫Vt divxs (v) dV t
Vt
Théorème de l'énergie cinétique
T(x,t,n)
Wt
d/dt ∫Vt r/2 |v|2 dVt + ∫Vt Tr(s.ex(v)) dVt
n
= ∫Vt (fV,v) dVt + ∫∂Vt (fS,v) dSt
= ∫Vt (Divxs, v) + Tr(s.ex(v))
Tr(s.ex(w)) = Si,j=1,3 sij eij (w)
WT = ∫Vt [ (ra-fV,v) + Tr(s.ex(v) ] dVt
22/09/03
Meca2 Thermo
10
22/09/03
Meca2 Thermo
11
1. Théorème de l'énergie cinétique
2. Conservation de l'énergie totale
3. Application des potentiels
4. Contraintes thermiques
Meca2 Thermo
(r e + r/2 |v|2) dVt
= ∫Vt (fV,v) dVt+ ∫∂Vt [(fS,v) - q ] dSt
dE = W + Q
13
Conséquences du bilan d'énergie
q
1. Vecteur flux de chaleur
q(x,t, n) = (q,n)
n
q = Si=1,3 qi ni
q et q en W/m2.
2. Flux mutuels: (q1,n1) + (q2,n2) = 0
3. Flux au bord: (q, n) dSt = j dSt
22/09/03
Meca2 Thermo
12
d/dt ∫Vt
Généraliser le 1er principe:
22/09/03
Meca2 Thermo
Conservation de l'énergie totale
Plan (2)
•
•
•
•
22/09/03
16
22/09/03
Meca2 Thermo
14
• e(x,t) énergie interne massique
• q(x,t, n) flux de chaleur par contact
vers Vt,
q
Wt
n
Vt
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Equation locale de conservation
de l'énergie
Meca2 Thermo
Conduction de la chaleur
qi =-S j=1,3 Kij ∂T/∂xj
q = - K(—xT)
d/dt ∫Vt (r e + r/2 |v|2) dVt
= ∫Vt (fV,v) dVt+ ∫∂Vt [(s(n),v)-q(n)] dSt
Matériau
K
métaux
r de/dt = Tr(s.de/dt) - divxq
Meca2 Thermo
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22/09/03
(W/(m.°K)
20 - 400
béton
2
céramique
2 - 50
polymères
22/09/03
15
0.3
Meca2 Thermo
18
2
2ème principe:
2ème fonction d'état s / irréversibilité
Généraliser le 2ème principe:
d/dt ∫Vt r s dVt ≥ - ∫∂Vt (q/T,n) dSt
T dS = Q
rT ds/dt ≥ - divxq
Plan (3)
•
•
•
•
1. Théorème de l'énergie cinétique
2. Conservation de l'énergie totale
3. Application des potentiels
4. Contraintes thermiques
= si réversible
22/09/03
Meca2 Thermo
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22/09/03
Meca2 Thermo
20
Thermoélasticité:
réversibilité mécanique
r e' = Tr(s.e') - div xq,
22/09/03
Meca2 Thermo
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•Dérivée d'une fonction de tenseur
Etat thermodynamique: e( s, e)
rT s'=-div xq
g' =def ∂g/∂t
e' = ∂e/∂ eij eij ' + ∂e/∂s s'
(Dee)ij =def ∂e/∂eij
r e' = Tr(s.e') + rT s'
e' = Tr(Dee.e') + ∂e/∂s s'
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Meca2 Thermo
22
22/09/03
Meca2 Thermo
e: Potentiel thermodynamique
Tr((s/r-Dee).e') + (T-∂e/∂s) s' =0
(s/r)ij =def ∂e/∂eij
22/09/03
Thermo-élasticité
d(s/r) /dt
s/r = Dee
23
dT/dt
Meca2 Thermo
24
Thermo-élasticité linéaire
= D2eee(de/dt) + ds/dt D2see
s/r =
Cs(e) + (s-s0) A
T-T0 = Tr(A.e) + a (s-s0)
= D2ese (de/dt) + ∂2e/∂s2 ds/dt
T = ∂e/∂s
22/09/03
Meca2 Thermo
25
22/09/03
Meca2 Thermo
26
22/09/03
Meca2 Thermo
27
3
Symétrie complète
de la rigidité élastique C
Applications du potentiel
•
Symétrie de
Dilatation thermique
e = (CT)-1 (s) - (T-T0) r/a (CT)-1 (A)
C
Cs = D2eee
• Dilatation thermique
• Chaleur latente
ee
s = cste
Module d'Young "adiabatique"
22/09/03
Meca2 Thermo
28
22/09/03
Dilatation thermique: a
(/ °K)
Acier
10 -5
Aluminium
2.10 -5
Béton
10 -5
Céramique
0.5 10 -5
Meca2 Thermo
10 10 -5
≈ E 10-4
31
c = capacité thermique
Matériau
c (J/(kg-°K)
Acier
500
Aluminium
900
Béton,
Céramique
1000
Polymère
22/09/03
Meca2 Thermo
30
Dilatation thermique
des barrages
s = l Tr(e) I + 2m e - aE/(1-2n) (T-T0) I
Chaleur latente
capacité thermique
T0 (s-s0) = c (T-T0) + c aE/(1-2n) Tr(e)
22/09/03
29
Coeff. dilatation a
Matériaux
Polymère
e = ee + eT
E(T), se(T), m(T) ….
e = (1+n)/E s - (n/E) Tr(s) I + a (T-T0)I
22/09/03
Meca2 Thermo
eT = a (T-T0) I
Meca2 Thermo
1000
22/09/03
≈ 10-5 E dT
Module d'Young "isotherme"
Meca2 Thermo
32
22/09/03
33
Diffusion de la chaleur
Plan (4)
•
•
•
•
Meca2 Thermo
r T s' = - div q
1. Théorème de l'énergie cinétique
2. Conservation de l'énergie totale
3. Application des potentiels
4. Contraintes thermiques
r c T' - b Tr(e') = div(K.(—T) )
•Conditions initiales
•Conditions aux limites externes,
internes
34
22/09/03
Meca2 Thermo
35
22/09/03
Meca2 Thermo
36
4
Freinage d'une roue
Navier-Thermique
Superposition
s = C(e - eT)
u = ue + uT
Divx C(e) - Divx CT(eT) + fV = r u''
Div xC(e) - a E/(1-2 n) —(T-T0) + fV = r u''
22/09/03
Meca2 Thermo
37
22/09/03
Meca2 Thermo
40
22/09/03
Meca2 Thermo
Meca2 Thermo
43
22/09/03
Meca2 Thermo
Divxs(ue) + fV
22/09/03
= r ae
Meca2 Thermo
39
Echangeur de chaleur fissuré
41
Dilatation d'un rail
encastré-encastré
Dilatation d'un rail
encastré-libre
22/09/03
38
Piston moteur diesel
Collecteur de gaz d'échappements
22/09/03
Meca2 Thermo
Divxs(uT) - Divx CT(eT) = r aT
22/09/03
Meca2 Thermo
42
Dilatation d'un rail bloqué en x
44
22/09/03
Meca2 Thermo
45
5
Analyse d'une barre dT imposé
chauffée
eT = a dT I
libre ou gênée
s=0
u=0
e(u) = eTS
e(u)= eT
e(u)= 0
u = adT xS
Résumé
Meca2 Thermo
• Autres comportements: élastoplasticité,
viscoélasticité (dissipation)
• Anisotropie et composites
• Chocs thermiques
• Chaleur radiative
r de/dt = Tr( s.d e/dt) - divxq
s = C(e - eT)
u = adT x s= -C(eT) s=adTC(e ƒe )
3
3
22/09/03
Extensions...
• Généralisation de la thermodynamique
classique
• Dimensionnement des pièces sous
contrainte thermique
46
22/09/03
Meca2 Thermo
47
22/09/03
Meca2 Thermo
48
Fin
E, n, r,
a, c, K
Prochain numéro:
puissances virtuelles
22/09/03
Meca2 Thermo
49
6