Exercice 1. Etant donné un nombre réel α, on s`interesse à la série

Université Paris 7
Algèbre et Analyse fondamentales I
TD groupe PHY-1/2/3/4
MP3
L2 Physique
Octobre 2015
Séries
Exercice 1. Etant donné un nombre réel α, on s’interesse à la série
X
(−1)n
n≥0
α2n
.
(2n)!
(1)
1. Etudier la convergence simple et absolue de la série (1).
2. On écrit cos α en utilisant la formule de Taylor :
cos α = 1 −
α2n
α2 α4
+
− . . . + (−1)n
+ Rn (α) .
2
24
(2n)!
À l’aide d’une expression convenable du reste Rn (α), montrer qu’on a
lim Rn (α) = 0 .
n→+∞
En déduire à nouveau que la série (1) converge, et déterminer sa somme.
3. Application numérique : calculer cos(1) avec une erreur inférieure à 10−4 .
Exercice 2. On pose
un = √
(−1)n
.
n + (−1)n
1. Montrer qu’on a un ∼ vn (n → +∞) , où vn est le terme général d’une série convergente.
P
2. On pose wn = un − vn . Montrer que la série ( wn ) est divergente.
3. En déduire que la série de terme général un est divergente.
Quelle “morale” tirer de cet exercice ?
Exercice 3. Montrer que si la fonction g est continue positive et décroissante sur ]0, +∞[,
alors on a :
Z n
Z n+1
n
X
g(x)dx ≤
g(k) ≤ g(1) +
g(x)dx.
1
1
k=1
En déduire le comportement de la suite définie par un =
√1
n
Pn
k=1
√1 .
k
Exercice 4. Étudier la nature des séries dont voici le terme général :
1
(n!)
7) (3n)!
n
2) 1+log
2
n
√
5) e− n
2n+1
3n
8) 4n−1
10) 1!+···+(n−2)!
n!
13) 1 − cos n1
11) n · n n√
14) n2 e− n
1
1) n log
n
4) nln(a) (a > 0)
3
n
+5
3) 32n −11
6) n2 sin
1
2n
(n+1)4
n!+1
n
12) n! nx
9)
1
(0 < x et x 6= e)
Exercice 5. Étudier la convergence des séries (alternées) de termes généraux
r
(−1)n
(−1)n
−1 ,
vn = 1+(1/n) .
un = 1 +
n
n
Exercice 6. * Soit α > 0, et θ deux réels. On s’intéresse à la série de terme général
cos(nθ)
.
nα
1. Étudier la convergence dans le cas α > 1.
2. On considère le cas 0 < α ≤ 1. Etudier la convergence lorsque θ ≡ 0[π] (θ = kπ, k ∈ Z).
On pourra séparer les cas k pair et k impair.
P
3. On considère le cas 0 < α ≤ 1, avec θ 6= 0[π]. Montrer que An := nk=1 cos(kθ) est une
suite bornée. A l’aide de la transformation d’Abel, montrer que la série est convergente.
4. Sous les mêmes hypothèses que 3), montrer que la série n’est pas absolument convergente.
(On pourra utiliser, après l’avoir vérifié : | cos(nθ)| ≥ cos(nθ)2 = 12 (cos(2nθ) − 1).)
Exercice 7. * Soit (un ) une suite de réels positifs. Montrer que les séries de termes généraux
un et vn sont de même nature, où
un
vn =
.
1 + un
Exercice 8. * Soit (un ) une suite de nombres réels.
1. Montrer que, si la série de terme général un est absolument convergente, il en est de
même pour la série de terme général u2n .
2. Donner l’exemple d’une suite (un ) telle que la série de terme général un soit convergente
mais pas la série de terme général u2n .
2