Synoptique de partie Arithmétique

Synoptique de partie Arithmétique
Notation
– L’ensemble des nombres entiers et positifs : {0, 1, 2, 3, . . .} = N
– L’ensemble des nombres entiers, nég. et pos. :
{. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} = Z
– Nombres en notation positionnelle décimale : utilisant les signes 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9 et 0, et la place d’une chiffre désigne son valeur
Le nombre 52362 veut dire 2.100 + 6.101 + 3.102 + 2.103 + 5.104 , ou en
général : abcdef = a.105 + b.104 + c.103 + d.102 + e.101 + f.100
– Autres notations, p.ex. notation positionnelle binaire : utilisant les signes
1 et 0 et la place d’une chiffre désigne son valeur
Le nombre 10110 veut dire 0.20 + 1.21 + 1.22 + 0.23 + 1.24 , ou en général :
abcdef = a.25 + b.24 + c.23 + d.22 + e.21 + f.20
– Conversion du système décimale en binaire et Conversion du système binaire en décimale : Faites les multiplications et la somme des puissances
de 2
Nombres premiers et factorisation
– La division euclidienne de a par b : a = bq + r où q est le quotient et r le
reste (r < b)
– Un nombre a est divisible par b si a = bq + 0, le reste r égale zéro, on
nomme b le diviseur de a (b ≤ a)
– Un nombre a est un nombre premier si et seulement si (ssi.) l’unité et a
sont les seuls diviseurs de a
– Si un nombre n’est pas premier, on parle de nombres composés a =
a1 .a2 . . . an et les ai sont les facteurs de a.
– Théorème de Gauss : Si d divise le produit a et b, et si d est premier avec
a, alors d divise b.
– Un nombre a a toujours un diviseur premier
– Le crible d’Erastosthène, éliminer les multiples, ce qui reste, sont les
nombres premiers
– Il y a une infinité de nombres premiers
– Unicité de la Factorisation : Tout nombre peut être décomposé, de façon
unique, comme le produit de nombres premiers ou puissances de nombres
premiers
– Trouver les diviseurs premiers d’un nombre N , utilisant une liste de nombres
premiers
(faire la division par tout nombre premier pi qui est moindre que
√
N)
– Factorisations simples : 2, 3, 4, 5, 9 et 11
Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple
– Relations entre deux nombres entiers a et b : Si d divise a et b, d est un
commun diviseur de a et b.
Déterminer l’ensemble de diviseurs de deux nombres.
1
–
–
–
–
–
Le plus grand commun diviseur de a et b s’écrit pgcd(a, b) ; si pgcd(a, b)=1
alors a et b sont premiers entre eux.
Plus grand commun diviseur (pgcd) de deux nombres a et b. Application :
Simplifier une fraction, trouver le pgcd de numérateur et du dénominateur
Plus petit commun multiple (ppcm) de deux nombres a et b. Application :
Ajouter deux fractions avec des dénominateurs différents
Théorème qui aide à trouver le pgcd : a = bq +r, si r = 0 alors pgcd(a, b) =
b ; si r n’est pas 0 alors pgcd(a, b) = pgcd(b, r)
Algorithme d’Euclide : Trouver le pgcd de a et b. On commence avec
a = bq0 + r0 ; on poursuit b = r0 q1 + r1 etc. jusqu’à rn = rn−1 qn + rn+1 où
rn+1 = 0 ; si rn n’est pas 0, rn sera le pgcd(a, b). (+ Démonstration que
ri doit devenir égale à 0 à un certain moment.)
Propriétés de pgcd et ppcm : pgcd(a, b)×ppcm(a, b) = a×b ; pgcd(ka, kb) =
k × pgcd(a, b) ; ppcm(ka, kb) = k × ppcm(a, b)
Algorithme d’Euclide étendu et autres théorèmes
– Algorithme d’Euclide, propriétés : Finit toujours (quand r = pgcd(a, b)) ;
Pire cas : série de Fibonacci : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55...
– Théorème de Bachet-Bézout : quand a et b sont premiers entre eux, alors
il existe un u et v (nombres entiers pos. ou neg.) tel que ua + vb = 1
(démonstration)
– Résoudre ax + by = c avec l’algorithme d’Euclide
Systèmes de Restes et Congruences
– Répétition de division : un nombre N qui après division par n laisse r a
la forme générale : N = n.m + r, nombre pair p.ex. 2n, impair 2n/1
– Systèmes de restes sous addition et multiplication
– Systèmes de restes pour un nombre premier et pour nombre composé
– Notions de ‘groupe’, ‘anneau’, ‘corps’
– De problèmes de reste à modulo et congruence : “N a comme reste r1
après division par p1 ” devient N ≡ r1 (mod p1 ) (N = n.p1 + r1 )
– Puissances de nombres et leurs restes : Systèmes pour un nombre premier
et nombre composé
– Puissance de an modulo p
– Explication du binôme : (a + b)n :
Interprétation combinatoire : aaa, aab, aba, baa, bba, abb, bab, bbb ;
n!
Triangle de Pascal ; (a + b)n = Σi (n−i)!i!
an .bn−i
– Fonction d’Euler : φ(p)=nombre de tous les nombres relativement premier
à p, si p est premier, alors φ(p) = p − 1
– Petit théorème de Fermat ap−1 ≡ 1 (mod p)
– Analyse petit théorème Fermat pour nombres premiers et nombres composés
– Quelques applications du petit théorème de Fermat (raccourci pour trouver de restes, utile pour savoir si un nombre est premier avec assez hautre
probabilité)
2
Exemple de questions de partiel
1. Notation et factorisation
(a) Notez les dix premiers multiples de trois en notation binaire.
(b) Essayez d’en dériver une régularité qui peut être utilisée pour déterminer
si un nombre donné en notation binaire est divisible par trois ou non.
(Tuyau : pensez à la divisibilité par 11 et notez que 2=3-1)
(c) Déterminez si 3 divise le nombre binaire 1101101111
2. Pgcd et algorithme d’Euclide étendu
(a) Simplifiez la fraction 819
507 une première fois sans utliser l’algorithme
d’Euclide, pensez à trouver facteurs communs par simples testes de
divisibilité
(b) Simplifiez la fraction
(c)
819
507 avec l’algorithme d’Euclide
x
Donnez une fraction y , qui, multipliée par 819
507 , et moins l’unité, donne
une fraction unitaire (cad. une fraction n1 ). (Tuyau : notez qu’on
arrive à : 819x−507y
, si on peut faire de 819x − 507y l’unité, cela
507y
implique la solution de 819x − 507y = 1, n’oubliez aussi pas d’utiliser
plutôt les fractions simplifiés pour tout cela)
3. Restes et factorisation
(a) Donnez un ‘algorithme’ (séquence de pas qui mènent à la solution)
pour déterminer si un nombre est divisible par 55 (autre que la division euclidéenne).
(b) Appliquez cet algorithme à 607530 pour savoir si 55 divise ce nombre.
(c) Donnez le reste après division par 55 de 607533 × 9407 (Tuyau :
appliquez d’abord l’algorithme à 9405)
4. Restes
(a) Quel est le reste de 513422 multiplié par 342 modulo 17 ?
(b) Donnez les puissances de 0 à 17 de 3, 7 et 10 modulo 17.
1
(c) Quelle est la période de 17
en fraction décimale ? (Notez que les
puissances de 10 vous aident ici)
(d) Donnez le reste de 324
18
modulo 17. (Pensez à petit théorème Fermat)
5. Questions simples
(a) Ecrivez 121 en notation binaire
(b) Donnez la factorisation complète de : 22440
(c) Trouvez le pgcd de 273 et 525
(d) Donnez au moins deux solutions de 12x − 5y = 1
(e) Montrez que pour un nombre donné N qui a 2 comme reste après
division par 3, N 3 peut seulement être un nombre pair si le nombre
N a aussi reste 2 après division par 6.
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