Lycée Benjamin Franklin D. Blottière PTSI − 2014-2015 Mathématiques Programme de colle de la semaine n°30 Questions de cours Question n°1 : Définition de f (x) tend vers ℓ ∈ R quand x tend vers a ∈ R pour une fonction f ; définition de la notion de propriété locale en a ∈ R pour une fonction ; si une fonction admet une limite finie en a ∈ R, alors elle est bornée localement en a (preuve dans le cas a ∈ R). Question n°2 : Théorème de la limite monotone pour les fonctions (énoncé) ; la fonction Zx t2 x 7→ e − 2 dt 1 admet une limite finie en +∞. Question n°3 : Définition de la continuité d’une fonction sur un intervalle ; si une fonction est continue sur un intervalle I et s’il existe a ∈ I tel que f (a) > 0 alors f est f (a) minorée par 2 localement en a (preuve en s’appuyant sur un graphique). Question n°4 : Composition d’une limite de suite par une fonction (énoncé et preuve dans le cas où la suite converge vers a ∈ R et où la fonction admet pour limite ℓ ∈ R en a) ; la fonction sin n’a pas de limite en +∞ (preuve). Question n°5 : Cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires (énoncé et preuve par dichotomie) ; théorème des valeurs intermédiaires (énoncé : trois formulations d’un même résultat). Limites et continuité • Les 15 définitions des notions de limite pour une fonction. • Théorème sur l’unicité de la limite et définition du symbole lim pour les fonctions. • Définition de la notion de propriété locale en a ∈ R pour une fonction. • Si une fonction admet une limite finie en a ∈ R, alors elle est bornée localement en a. • Opérations sur les limites. • Composition d’une limite de suite par une fonction. • Passage à la limite dans une inégalité large pour les fonctions. • Théorème d’encadrement pour les fonctions. • Théorème de domination pour les fonctions. • Théorème de la limite monotone pour les fonctions. • Définition de la continuité (resp. continuité à gauche, continuité à droite) d’une fonction en un point. • Prolongement par continuité d’une fonction en un point. • Image d’une suite de limite a par une fonction continue en a. • Opérations sur les fonctions continues en un point. • Définition d’une fonction continue sur un intervalle. • Résultats sur la continuité des fonctions usuelles. • Opérations sur les fonctions continues. • Cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires et algorithme de dichotomie. • Théorème des valeurs intermédiaires (3 formulations d’un même résultat). • Calcul de l’image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone. • Définition d’un segment. • Théorème sur les extrema d’une fonction continue sur un segment. • Théorème de la bijection.