1 – DM3
Sciences Physiques MP 2016-2017
Devoir de Sciences Physiques n˚3 pour le 03-11-2016
Problème no 1 – Les télescopes infrarouges
Centrale MP 2014
Sujet adapté pour tenir compte des nouveaux programmes. . .
Ce sujet traite de l’observation, à l’aide de télescopes, des rayonnements infrarouges provenant de l’espace. Ces
rayonnements sont émis par des corps tels que des étoiles jeunes ou des poussières froides. L’observation dans
ce domaine de longueurs d’onde se heurte à plusieurs difficultés. D’une part, ces rayonnements sont fortement
absorbés par l’atmosphère. D’autre part, l’atmosphère et les instruments de mesure sont également sources de
rayonnement infrarouge. On peut s’affranchir du problème de l’atmosphère en embarquant le télescope sur un
satellite et de l’émission thermique de l’instrument en refroidissant les différents éléments à l’aide de puissants
systèmes cryogéniques. Cependant, les dimensions des télescopes en orbite étant limitées, leur résolution théorique est moins bonne que celle de certains télescopes au sol comme ceux du Very Large Telescope array (VLT)
de l’European Southern Observatory à Paranal au Chili qui bénéficient d’un ciel très pauvre en vapeur d’eau et
d’une atmosphère très stable.
A. Détection de rayonnement infrarouge
Les rayonnements infrarouges sont détectés par des instruments appelés bolomètres. Le principe de la détection
repose sur la variation de la résistance d’un matériau lors de son échauffement suite à une absorption de
rayonnement électromagnétique. La figure 1 présente le schéma de principe du bolomètre étudié dans cette
partie.
Rayonnement incident
Puissance Φi
Courant
R(T )
b
I
b
Cth
T (t)
Poutre de conductance
thermique Gth
Source froide à TS
Figure 1 – Schéma d’un bolomètre
Le bolomètre, de capacité thermique Cth , absorbe le flux électromagnétique incident Φi supposé constant. Il
possède par ailleurs une résistance électrique R(T ) fonction de sa température T supposée uniforme et est
parcouru par un courant d’intensité I. Le bolomètre est relié mécaniquement et thermiquement à une source
froide maintenue à la température TS par des poutres de conductance thermique Gth . On mesure les variations
de la tension V à ses bornes lorsque la résistance R varie. La résistance électrique R du matériau varie avec la
température en suivant la loi linéaire :
R(T ) = R0 + αR0 (T − TS )
où α et R0 sont des constantes caractéristiques du matériau. On suppose α < 0.
Généralités sur les détecteurs
1. Citer des détecteurs d’ondes électromagnétiques utilisés en travaux pratiques et le domaine des ondes
auxquels ils sont sensibles.
2. Dans quel intervalle de longueur d’onde se situent les rayonnements infrarouges ?
3. La loi de Wien relative à l’émission thermique d’un corps noir peut s’écrire λmax T = 2, 89 × 10−3 m · K.
Cette loi permet de caractériser le spectre de la puissance rayonnée par tout corps suivant le modèle du corps
noir en donnant la longueur du spectre pour laquelle l’émission est maximale. Expliquer, en le justifiant avec
des valeurs numériques, pourquoi il est nécessaire de refroidir les instruments d’un télescope, qu’ils soient sur
Terre ou dans l’espace (température de l’ordre de quelques dizaines de Kelvin).
Principe du bolomètre
Un montage électrique permet d’assurer dans le bolomètre la circulation d’un courant électrique d’intensité I.
La température du bolomètre obéit à une équation différentielle issue de l’application du premier principe de la
Thermodynamique :
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
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DM3 – 2
Cth
X
dT
=
Pk
dt
k
où
X
Pk représente l’ensemble des puissances reçues (Pk > 0) et des puissances perdues (Pk < 0) par le
k
bolomètre. On indique que le bolomètre perd la puissance suivante par conduction thermique à travers la
poutre :
Pth = Gth (T (t) − TS )
4. Montrer que la température du bolomètre vérifie l’équation différentielle suivante :
τ
dT
+ T (t) = β(Φi )
dt
Cth
et β(Φi ) est une fonction de Φi que l’on déterminera.
Gth − αR0 I 2
5. Expliquer pourquoi un coefficient α négatif garantit la stabilité du fonctionnement du dispositif.
6. Déterminer la température Tp (Φi ) du bolomètre qui reçoit un flux Φi en régime permanent.
où τ =
Temps de réponse du bolomètre
On s’intéresse dans un premier temps au temps de réponse du bolomètre. Pour cela, le système étant en équilibre thermique sous un flux électromagnétique incident Φi , on supprime brutalement le flux électromagnétique
incident à l’instant t = 0.
7. Tracer l’allure de l’évolution T (t), on précisera sur le graphe la signification de τ .
8. Expliquer qualitativement l’influence de la capacité thermique Cth et de la conductance thermique Gth sur
le temps de réponse du bolomètre.
Sensibilité du bolomètre
On souhaite enfin déterminer l’expression de la sensibilité S de l’instrument. Il s’agit de son aptitude à convertir
une variation du flux incident en une variation de la tension électrique V . On considère pour cela un flux incident
tel que Φi (t) = Φi0 + ϕ0 cos ωt et on s’intéresse à la variation de température par rapport à la température
d’équilibre Θ(t) = T (t) − T1 où T1 = Tp (Φi0 ).
9. Montrer qu’en régime forcé, l’amplitude Θ0 (ω) des variations de température du bolomètre peut se mettre
sous la forme :
A
Θ0 = √
1 + ω2τ 2
où A est une constante à préciser.
10. Déterminer, en régime forcé, l’expression de l’amplitude V0 des variations de la tension V (t) aux bornes
de R.
V0
11. En déduire l’expression de la sensibilité S(ω) =
.
ϕ0
12. Tracer l’allure de la courbe SdB = 20 log S en fonction de log ω.
13. Préciser la nature du filtre constitué par le détecteur. Comment peut-on justifier la chute de la sensibilité
en dehors de la bande passante ?
14. Dans quel sens faut-il faire varier la conductance thermique Gth pour augmenter la sensibilité dans la
bande passante ? Cela est-il en accord avec un gain de rapidité de la réponse du bolomètre ?
B. Un télescope unitaire du VLT
Deux objets ponctuels à l’infini A et B sont observés dans les directions faisant des angles iA = 0 et iB 6= 0 par
rapport à l’axe optique. Les deux directions dans lesquelles on observe à travers le télescope leurs images font
respectivement les angles i′A et i′B avec l’axe optique. Pour simplifier, on supposera que ces deux objets émettent
une unique radiation de longueur d’onde λ = 2, 00 µm. Le télescope est constitué de deux miroirs sphériques,
le miroir primaire qui reçoit le rayonnement infrarouge en premier et le miroir secondaire. Il est réglé de telle
sorte qu’il soit afocal.
15. Qu’est-ce que signifie le terme afocal pour un système optique ? Proposer un schéma d’un système afocal
réalisé avec des lentilles minces.
16. Représenter, sur le schéma précédent, les faisceaux infrarouges issus des points A et B. Expliquer grâce
à ce schéma la notion de grossissement G du système afocal, c’est-à-dire du télescope. Le télescope possède un
grossissement G = 6, 4.
JR Seigne
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On admet que les phénomènes de diffraction sont dus à la limitation du faisceau lumineux par le miroir primaire
de diamètre D = 8, 20 m. Ce miroir possède une distance focale f1 = 14, 4 m.
17. En assimilant, pour simplifier, le premier miroir à une simple lentille convergente de distance focale f1 ,
déterminer l’ordre de grandeur du rayon R de la tâche de diffraction (ou tâche d’Airy) qu’on observerait sur
l’image intermédiaire formée par le miroir primaire d’un objet ponctuel à l’infini envoyant une unique radiation
de longueur d’onde λ.
18. En déduire l’ordre de grandeur de l’ouverture angulaire ∆θ du faisceau image, définie par le fait que les
rayons émergent du télescope avec des angles i′A ± ∆θ et i′B ± ∆θ par rapport à l’axe optique.
19. En précisant le critère retenu, établir la relation que doivent vérifier les angles i′A et i′B pour pouvoir
discerner les images formées par le télescope.
20. En déduire la valeur numérique de la limite de résolution angulaire imin du télescope, c’est-à-dire l’angle
minimal entre deux étoiles pour que le télescope les discerne.
C. Le télescope interférentiel VLTI
Pour surmonter le problème précédent, on peut faire interférer les signaux optiques reçus par deux télescopes
(voir le schéma de la figure 2).
télescope 2
superposition
télescope 1
des faisceaux
ligne à retard
Figure 2 – Télescope interférentiel : principe du VLTI
On assimile les deux télescopes distants de a (variable jusqu’à 100 m) à deux trous T1 et T2 de taille négligeable,
de sorte que le VLTI sera équivalent au montage de la figure 3, où la lentille d’axe optique Oz, de centre O
possède une distance focale f ′ . Le foyer image de la lentille est noté F ′ et le plan focal est le plan d’observation.
T1 et T2 sont à une distance a/2 de l’axe optique.
x
T1
b
O
b
F′
z
T2
Figure 3 – Schéma équivalent du VLTI
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Observation d’une source ponctuelle dans la direction de l’axe optique
Un unique objet ponctuel à l’infini A est observé dans la direction de l’axe optique. Pour simplifier, on supposera
encore que cet objet émet une unique radiation de longueur d’onde λ = 2, 00 µm.
21. Où se trouve l’image géométrique A′ de A à travers la lentille ?
22. Calculer la différence de marche δ0 entre les ondes provenant de A et se recombinant en A′ , passant par
les deux trous T1 et T2 .
23. En déduire le rôle de la ligne à retard de la figure 2.
24. En quoi y a-t-il nécessité de la ligne à retard pour satisfaire aux conditions d’interférences ?
25. Dans quelle mesure peut-on considérer que le contraste des interférences vaut 1 ? Dans la suite, on supposera
effectivement que le contraste vaut 1.
26. Déterminer l’expression de l’intensité lumineuse IA (x) d’un point d’abscisse x dans le plan focal.
27. En déduire l’expression de l’interfrange.
28. Tracer l’allure de la figure d’interférence dans le plan xF ′ y telle qu’on pourrait l’observer avec une caméra
infrarouge.
Observation d’une source ponctuelle dans une direction différente de celle de l’axe optique
Un unique objet ponctuel à l’infini B est observé dans la direction iB 6= 0 par rapport à l’axe optique dans le
plan xOz avec les mêmes caractéristiques que A.
29. À quelle distance xB de F ′ se trouve l’image géométrique de B ?
30. Déterminer l’expression de l’intensité lumineuse IB (x) en un point d’abscisse x.
31. L’interfrange est-il différent de celui trouvé précédemment ?
Observation de deux sources ponctuelles
Deux objets ponctuels à l’infini A et B sont observés dans les directions iA = 0 et iB 6= 0 par rapport à l’axe
optique dans le plan xOz. Pour simplifier, on supposera que ces deux objets émettent une unique radiation de
longueur d’onde λ = 2, 00 µm et la même puissance lumineuse.
32. Ces deux sources sont-elles cohérentes ? Justifier la réponse.
33. En déduire l’intensité lumineuse IA∪B (x) en un point d’abscisse x.
34. Pour quelle(s) distance(s) a entre les deux télescopes y a-t-il brouillage des interférences ? On exprimera
le résultat en fonction de iB .
35. Proposer alors une méthode de détermination expérimentale de l’angle entre les deux étoiles composant
une étoile double.
36. Quelle est la valeur numérique (en secondes d’arc) de la limite de résolution angulaire imin du VLTI ?
JR Seigne
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Problème no 2 – Générateur à turbine et cogénération
E3A PSI 2011
Les industries, les hôpitaux et les villes sont des sites qui ont besoin d’un apport d’énergie très important :
les consommations d’électricité, de chaleur ou de froid y sont nécessaires conjointement. De petites turbines
à gaz intégrées à de grands immeubles, à des quartiers administratifs, à des centres commerciaux ou à des
usines assurent la stabilité et le contrôle local de leurs productions. La cogénération a l’avantage d’exploiter
la chaleur dégagée par les gaz d’échappement, habituellement dissipée dans l’environnement, pour délivrer de
façon combinée de l’énergie thermique et de l’énergie mécanique. L’une peut être utilisée pour le chauffage des
immeubles, alors que l’autre produit de l’électricité par couplage avec un alternateur.
A. Cycle de Carnot
Diagramme de Watt
Le cycle réversible de Carnot décrit par le fluide est constitué des quatre transformations suivantes :
– deux isothermes 1 → 1′ et 2 → 2′ de températures respectives T1 et T2 < T1 au cours desquelles sont échangés
les transferts thermiques respectifs Q1 et Q2 .
– deux adiabatiques 1′ → 2 et 2′ → 1 joignant les deux isothermes.
Ce cycle moteur est habituellement représenté dans le diagramme de Watt (P, V ) visualisant la pression P du
gaz en fonction du volume V qu’il occupe.
1. Comparer qualitativement les pentes des tangentes aux courbes représentant une isotherme et une adiabatique réversible en un point commun du diagramme (P, V ). Cette propriété étant indépendante de la nature
du fluide, exprimer, dans le cas du gaz parfait, le rapport de ces deux pentes en fonction du rapport γ de ses
capacités thermiques à pression et à volume constants.
2. En déduire la représentation du cycle moteur de Carnot en précisant son orientation, les états 1, 1′ , 2 et
2 du fluide, les isothermes T1 et T2 . Que représente l’aire du cycle ?
′
3. Définir le rendement η de ce cycle puis l’exprimer en fonction des températures T1 et T2 . Calculer sa valeur
pour T1 = 1 300 K et T2 = 300 K.
4. Ce rendement dépend-il de la nature du fluide considéré ? Justifier que la valeur du rendement de Carnot
ne peut être dépassée par aucun moteur réel fonctionnant entre les deux même sources de chaleur.
Diagramme entropique
Le diagramme entropique (T, S) est la représentation de la température T en fonction de l’entropie S du système
étudié.
5. Montrer que, lorsque la transformation subie par le fluide thermique est adiabatique et réversible, son
entropie est conservée.
6. Représenter le cycle de Carnot dans le diagramme (T, S) en précisant son orientation, les états 1, 1′ ,
2 et 2′ du fluide, les températures T1 et T2 ainsi que les entropies maximale et minimale du système, notées
respectivement Smax et Smin .
7. Exprimer ∆S1→1′ et ∆S2→2′ en fonction de Smax et Smin puis en fonction de Q1 , Q2 , T1 et T2 .
8. Comparer, en le justifiant, l’aire de ce cycle réversible à l’aire du cycle visualisé en diagramme de Watt.
Retrouver l’expression du rendement de Carnot par une méthode graphique.
B. Étude d’un générateur à turbine à gaz
Le schéma simplifié du générateur est représenté sur la figure 4.
L’énergie thermique est fournie dans la chambre de combustion et l’énergie mécanique est récupérée sur l’arbre
de transmission pour entraı̂ner le compresseur et actionner l’alternateur. Les éléments de la turbine à gaz
(compresseur, chambre de combustion, turbine, échangeurs thermiques) traversés par le fluide en écoulement
sont des système ouverts.
Premier principe pour un système ouvert
Les hypothèses suivantes seront adoptées tout au long du problème :
– le régime de fonctionnement de la machine est permanent,
– les variations d’énergie cinétique et d’énergie potentielle de pesanteur du fluide traversant chaque partie du
dispositif sont négligeables devant les autres formes d’énergie.
Le schéma de principe de l’étude est proposé à la figure 5.
Le volume de contrôle A′ BCD′ définit le système machine ouvert Σ0 . La masse de fluide gazeux contenue
dans ce volume est notée m0 (t) à la date t et m0 (t + dt) à la date t + dt. Le fluide s’écoule du réservoir de
pression Pe au réservoir de pression Ps < Pe . Pendant la durée dt, une masse δme (contenue dans le volume
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DM3 – 6
Carburant
(méthane)
Évacuation des gaz
2
Chambre de
combustion
3
4
Compresseur
ALT
Arbre de transmission
Alternateur
1
Turbine
Prise d’air atmosphérique
Figure 4 – Générateur à turbine à gaz
Σ0 (t)
A
Σ0 (t + dt)
B B′
A′
x′
A
x
Pe
Ps
D
D′
B B′
A′
x′
x
Pe
Ps
D
C C′
Σ(t)
D′
C C′
Σ(t + dt)
Figure 5 – Système ouvert en écoulement permanent
AA′ DD′ ) entre par l’ouverture de section Se et une quantité de matière de masse δms (contenue dans le volume
BB ′ CC ′ ) sort par l’ouverture de section Ss . Le système fermé Σ considéré pour cette étude occupe à l’instant t
le volume ABCD puis à l’instant t+ dt le volume A′ B ′ C ′ D′ . Pour les fluides entrant et sortant, u, h, v désignent
respectivement l’énergie interne massique, l’enthalpie massique et le volume massique du fluide. L’indice e est
relatif aux grandeurs d’entrée et l’indice s aux grandeurs de sortie. Les grandeurs d’échanges massiques entre
ce système et le milieu extérieur sont :
• le transfert thermique massique q,
• le travail massique d’écoulement ou de transvasement wp qui est exercé par les forces pressantes à l’entrée et
à la sortie de la machine,
• le travail massique utile wu fourni à l’intérieur de la machine par des pièces mobiles (ailettes ou pistons).
9. Établir un bilan de masse pour le système Σ entre les instants t et t + dt. En déduire une relation simple
entre δme et δms .
10. Déterminer en fonction de Ps , Pe , ve et vs , le travail massique de transvasement wp exercé par les forces
de pression sur le système Σ entre les instants t et t + dt.
11. En appliquant le premier principe de la Thermodynamique au système Σ entre les instants t et t + dt,
montrer que hs − he = wu + q.
Cycle de Brayton idéal
Le fluide utilisé dans les générateurs à turbine à gaz est l’air atmosphérique. Les étapes successives du cycle de
Brayton réversible décrit par l’air sont les suivantes :
– 1 → 2 : l’air atmosphérique s’engage en 1 dans le compresseur où il est comprimé de façon isentropique.
– 2 → 3 : l’air frais est ensuite admis dans la chambre de combustion où le gaz naturel est injecté et s’enflamme.
Le fluide est porté à des températures très élevées de façon isobare, sans apport de travail. Sa composition
n’est pas modifiée.
– 3 → 4 : le gaz chaud subit dans la turbine une détente isentropique. Cette détente est utilisée pour produire un travail mécanique dont une partie sert à faire fonctionner le compresseur alors que l’autre actionne
l’alternateur. À la sortie 4 de la turbine, les gaz d’échappement sont évacués vers l’atmosphère.
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– 4 → 1 : le gaz chaud qui s’échappe subit un refroidissement sans apport de travail au contact de la source
froide (l’air atmosphérique). Le transfert thermique est isobare.
La puissance fournie par la turbine est modulée grâce au débit d’air envoyé dans le compresseur à l’entrée
1 du dispositif et à la quantité de gaz naturel injecté dans la chambre de combustion. L’air atmosphérique,
le mélange initial (air-gaz naturel) et les gaz brûlés sont assimilés à un même gaz parfait. Le rapport de ses
capacités thermiques à pression et volume constants est supposé constant et égal à γ = 1, 4. Sa capacité
thermique massique à pression constante est : cp = 1 kJ · kg−1 · K−1 . Le cycle de Brayton est représenté sur
la figure 6 dans le diagramme entropique, où T est la température du gaz et s son entropie massique. L’air est
aspiré dans le compresseur à la pression P1 = 1 bar et à la température T1 = 300 K pour y être comprimé à la
pression P2 = 10 bar. On a T3 = 1 300 K. On posera pour simplifier :
λ=
P2
P1
γ−1
γ
et τ =
T3
T1
b
3
b
4
T
2
b
1
b
s
O
Figure 6 – Cycle idéal de Brayton
12. Démontrer la loi de Laplace relative au couple (P, T ) en précisant ses conditions d’utilisation. En déduire
T2 et T4 en fonction de λ, τ et T1 . Applications numériques.
13. Exprimer puis calculer le travail massique de compression w12 absorbé par le gaz (fourni au gaz par le
compresseur) au cours de la transformation adiabatique 1 → 2 en fonction de cp , λ et T1 .
14. À l’issue de la combustion (étape 2 → 3), la chambre fournit au gaz une énergie thermique massique de
combustion q23 qui amène la température de celui-ci à la valeur T3 = 1 300 K. Exprimer q23 en fonction de cp ,
λ, τ et T1 . Réaliser l’application numérique.
15. Exprimer puis calculer le travail massique wT récupéré par la turbine (fourni à la turbine par le gaz) au
cours de la transformation 3 → 4, en fonction de cp , λ, τ et T1 .
Le travail wc fourni au compresseur par la turbine est intégralement transféré au gaz par le compresseur au
cours de la transformation 1 → 2 : wc = w12 .
16. Écrire le travail utile wa fourni par la turbine pour actionner l’alternateur, puis l’exprimer en fonction de
cp , λ, τ et T1 , effectuer l’application numérique. Pour quelle valeur λmax de λ (fonction de τ ) ce travail wa est-il
maximal ? Comparer λmax à la valeur numérique de λ adoptée pour la turbine.
wc
17. Calculer le rapport R =
qui évalue la répartition entre le travail wc que fournit la turbine au
wa
compresseur et le travail utile wa qu’elle fournit à l’alternateur. Commenter.
18. Définir le rendement thermique η du générateur à turbine et l’exprimer en fonction du paramètre λ.
Calculer η pour le travail wa fourni par la turbine à l’alternateur et le comparer à celui d’un cycle de Carnot
fonctionnant entre les mêmes températures extrêmes.
19. Exprimer puis calculer le transfert thermique massique q41 reçu par le gaz au cours de la phase d’échappement 4 → 1 en fonction de cp , λ, τ et T1 . Cette énergie thermique est-elle récupérable ? Commenter.
JR Seigne
Clemenceau
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